Curso de Probabilidades para profesores de Ense˜nanza Media

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Curso de Probabilidades para profesores de

Ense˜nanza Media

Autor: Pierre Paul Romagnoli

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´Indice general

1. Introducci´on 7

1.1. Historia de las Probabilidades . . . 7

1.2. Probabilidad y Combinatoria . . . 14

2. Combinatoria B´asica 17 2.1. Introducci´on . . . 17

2.2. Preliminares . . . 18

2.3. Principios B´asicos . . . 19

2.4. Ejercicios . . . 25

2.5. Casillas y Bolitas . . . 26

2.5.1. Permutaciones y Combinaciones . . . 28

2.5.2. Bolitas semidistinguibles . . . 36

2.5.3. Grupos distintos . . . 39

2.5.4. Grupos permitiendo casillas vac´ıas . . . 39

2.5.5. Grupos sin casillas vac´ıas . . . 42

2.6. Recurrencia . . . 45

2.7. Ejercicios . . . 46

2.8. Combinatoria y Funciones . . . 51

2.9. El problema de los prisioneros . . . 53

2.10. Urnas y Azar . . . 56

2.10.1. Regreso a las casillas y bolitas . . . 57

2.10.2. El juego de las nueve bolitas . . . 64

3. Conceptos B´asicos de Probabilidad 71 3.1. Experimento y Espacio Muestral . . . 71

3.1.1. Afirmaciones y Sucesos . . . 73

3.1.2. Familias de Subconjuntos . . . 74

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4. Medida de Probabilidad 79

4.1. Caso finito o numerable . . . 79

4.1.1. Espacios Muestrales Finitos . . . 82

4.2. Propiedades B´asicas . . . 85

4.3. Probabilidad Condicional . . . 89

4.4. Independencia . . . 99

4.5. Ejercicios . . . 102

4.6. Probabilidades y el Infinito . . . 105

4.7. Ejercicios . . . 110

4.8. Familias Infinitas de Conjuntos . . . 110

4.8.1. L´ımite Mon´otono de Conjuntos . . . 111

4.8.2. L´ımites de Conjuntos y Borel Cantelli . . . 114

4.8.3. Experimento Producto . . . 117

4.8.4. Experimentos en R . . . 120

5. Variables Aleatorias 123 5.1. Introducci´on . . . 123

5.2. Funci´on de Distribuci´on . . . 130

5.2.1. Propiedades . . . 132

5.2.2. Tipos de Variables . . . 133

5.3. Funciones de una variable aleatoria . . . 138

5.4. Integral de funciones continuas por tramos . . . 140

5.5. Variables aleatorias discretas . . . 141

5.6. Variables aleatorias absolutamente continuas . . . 141

5.7. Cambio de Variables . . . 142

5.8. Ejemplos . . . 143

5.9. Funci´on Indicadora . . . 146

5.10. Ejercicios . . . 147

5.11. Momentos de una Variable Aleatoria . . . 148

5.11.1. Esperanza . . . 152

5.12. Ejemplos Discretos . . . 156

5.13. Ejemplos Continuos . . . 160

5.13.1. Varianza . . . 162

5.14. Momentos . . . 163

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´INDICE GENERAL 5

6. Distribuciones con Nombre Propio 167

6.1. Distribuciones discretas . . . 167

6.1.1. Equiprobable(N) . . . 167

6.1.2. Bernoulli(p) . . . 168

6.1.3. Binomial(N, p) . . . 168

6.1.4. Hipergeom´etrica(N, n, m) . . . 169

6.1.5. Geom´etrica(p) . . . 169

6.1.6. Pascal(k, p) . . . 170

6.1.7. Poisson(λ) . . . 171

6.2. Distribuciones absolutamente continuas . . . 171

6.2.1. Uniforme[a, b] . . . 171

6.2.2. Exponencial(λ) . . . 172

6.2.3. Normal(µ, σ2) . . . 172

6.2.4. Gamma(λ,p) . . . 174

6.2.5. Chi cuadrado(N) . . . 175

6.2.6. T de Student(N) . . . 176

6.2.7. F(N, M) . . . 176

6.2.8. Beta(a,b) . . . 176

6.2.9. Cauchy(µ, σ) . . . 176

7. Variables Aleatorias (continuaci´on) 179 7.1. Esperanza y Probabilidad . . . 179

7.2. Desigualdades en probabilidad . . . 180

7.3. Independencia . . . 182

7.4. Modelos Lineales y M´ınimos Cuadrados . . . 189

7.5. Covarianza . . . 191

7.6. Suma de Variables Aleatorias Independientes . . . 195

7.7. Ejercicios . . . 203

8. Teoremas L´ımite 207 8.1. Ley de los Grandes N´umeros . . . 207

8.2. Historia . . . 212

8.3. Sucesiones de Variables Aleatorias . . . 213

8.4. Teorema Central del L´ımite . . . 216

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Cap´ıtulo 1

Introducci´

on

1.1.

Historia de las Probabilidades

Las ra´ıces de la teor´ıa de probabilidades se remontan a los juegos de azar hace m´as de cuatro siglos. Las apuestas, de una manera u otra, son tan antiguas como la propia humanidad. Seg´un cuenta la historia, los chinos real-izaban ya juegos de azar organizados por el estado hace 2000 a˜nos. Durante la ´epoca del Imperio Romano, los juegos de azar tuvieron gran auge. Las apuestas deportivas eran parte de la vida de los romanos, incluso el propio Julio C´esar apostaba en los acontecimientos que se celebraban en los circos romanos.

A lo largo de la historia, se conoce la adicci´on al juego de emperadores romanos como Augusto y Claudio, as´ı como literatos espa˜noles, G´ongora y Argote, y rusos como Lermontov y Dostoievsky; este ´ultimo plasmar´ıa su tragedia en la obra cl´asica “El jugador”. Esto muestra c´omo la atracci´on ha-cia los juegos de azar se mantuvo en la historia tocando a todos los niveles sociales e intelectuales.

El azar ha sido abordado por fil´osofos, como Arist´oteles, quien sostuvo que entre las causas necesarias para cualquier fen´omeno hab´ıa que incluir causas accidentales, experiencias o no necesarias, que son el azar (correspon-dientes a acontecimientos naturales), y a la suerte o fortuna (correspondiente a los fen´omenos humanos).

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Figura 1.1: Romanos jugando a los dados

Durante la edad media hubo una gran actividad cient´ıfica y art´ıstica en Oriente y el nombre de azar parece haber venido desde Siria a Europa. La flor de zahar, que aparec´ıa en los dados de la ´epoca, podr´ıa ser el origen de la palabra.

Sin embargo los or´ıgenes de la teor´ıa de probabilidades que utilizamos hoy es mucho m´as reciente. Alrededor de 1640 en la sociedad francesa, los juegos de azar comenzaron a ser extremadamente populares y no sujetos a restricciones legales. Cada vez surg´ıan juegos m´as complejos con cartas, da-dos y otros artefactos y cada vez se apostaban mayores sumas de dinero, por lo que las casas de juego consideraron una necesidad el desarrollo de alg´un sistema para predecir sus ganancias. Es por esto que los ejemplos cl´asicos para explicar la teor´ıa de probabilidades tienen que ver con los juegos de azar. Sin embargo, la utilidad actual de las probabilidades va mucho m´as all´a de resolver juegos de sal´on y ser el alma de las fiestas (al menos en los salones en la sociedad francesa del siglo XVII).

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1.1. HISTORIA DE LAS PROBABILIDADES 9

Figura 1.2: Portada de la obra de J. Bernoulli

menos una vez en los 24 lanzamientos. La experiencia le indicaba que s´ı era conveniente y, por el contrario, sus c´alculos le dec´ıan que no. Aparentemente este y otro problemas planteados por el Chevalier llevaron a Pascal a man-tener un fluido intercambio de correspondencia con Pierre de Fermat, otro matem´atico franc´es. Este intercambio se considera el origen de los principios de la teor´ıa de las probabilidades. Posteriormente el matem´atico holand´es Christian Huygens en 1657, con conocimiento de las discusiones entre es-tos dos matem´aticos franceses, publica “De Ratiociniis in Ludo Aleae” que es considerado el primer libro de probabilidades (es m´as bien un manual para el jugador de dados). Durante el siglo 18 el inter´es en el desarrollo de matem´aticas para los juegos de azar se expandi´o r´apidamente siendo Jakob Bernoulli y Abraham de Moivre dos de los principales precursores de este desarrollo.

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En 1812 Pierre de Laplace publica su obra titulada “Th´eorie Analytique des Probabilit´es” en la que introduce nuevas ideas y t´ecnicas al c´alculo de las probabilidades. Se podr´ıa decir que antes de Laplace la teor´ıa de las proba-bilidades era tan s´olo un an´alisis matem´atico de los juegos de azar. Laplace extendi´o el uso de las probabilidades fuera del ´ambito de los juegos de azar. La teor´ıa de errores y la mec´anica estad´ıstica son algunos ejemplos.

En 1894, Karl Pearson analiz´o un gran n´umero de resultados de una deter-minada ruleta no justa (con distribuci´on no uniforme) y plantea los M´etodos de Casinos. Pearson sugiri´o utilizar los casinos como un laboratorio de teor´ıa de probabilidades y realizar experimentos en ellos.

Una de las mayores dificultades para desarrollar una teor´ıa de las proba-bilidades es obtener una definici´on que sea a la vez matem´aticamente consis-tente y simple para que sea aplicable a una gran variedad de situaciones. Esta b´usqueda tom´o m´as de tres siglos y estuvo marcada por mucha controversia. Finalmente, en 1933 una monograf´ıa del matem´atico ruso Andrei Kolgomorov (traducido al ingl´es en 1950 titulado “Foundations of Probability Theory”) dio una axiom´atica que es la base de la teor´ıa moderna de los probabilidades.

Es s´olo despu´es de la mitad del siglo XX, y a partir de los 1970’s que la teor´ıa de probabilidades se ense˜na como parte de todas las carreras pro-fesionales vigentes hoy en d´ıa. En la actualidad, su conocimiento se exige pr´acticamente en todos los estudios de postgrado de ingenier´ıa, ciencias so-ciales y ciencias de la salud.

La teor´ıa de probabilidades que presentamos a continuaci´on se basa en este enfoque axiom´atico. Asumiremos por lo tanto un conocimiento b´asico; Teor´ıa de conjuntos, cardinalidad de un conjunto y c´alculo diferencial en una variable.

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1.1. HISTORIA DE LAS PROBABILIDADES 11

tener en mente las preguntas a resolver antes de modelar. El modelo ser´a ade-cuado si es capaz de responder a estas interrogantes y ser´a mejor aun si es capaz de responder a nuevas interrogantes que surjan sin demasiado esfuerzo adicional.

En este curso se trabajar´a con fen´omenos aleatorios o lo que com´unmente se llama “azar”. En general un fen´omeno aleatorio no tiene en s´ı la propiedad de ser o no aleatorio. Lo aleatorio depender´a de la informaci´on que se tiene del fen´omeno, es decir del observador de dicho fen´omeno. En la mayor´ıa de los casos es la falta de informaci´on la que define un fen´omeno como aleatorio.

Por ejemplo, para un mismo fen´omeno, dos observadores diferentes pueden tener informaciones diferentes que hacen a un mismo fen´omeno aleatorio o determinista. Digamos cu´anto dinero tiene A en la billetera, es un fen´omeno aleatorio paraB, pero no necesariamente paraA. Muchas veces una situaci´on determinista puede ser modelada desde un punto de vista aleatorio, por ejem-plo, para simplificar los c´alculos sin desmejorar la soluci´on.

Fuera del campo de las matem´aticas y entrando un poco en la filosof´ıa la pregunta es si existe realmente el azar. A lo mejor, con informaci´on infinita todo lo que ocurre est´a perfectamente determinado. Esta es la opini´on de mucha gente. La f´ısica cu´antica no esta de acuerdo con esto por ejemplo el principio de incertidumbre de Heissenberg asegura que no es posible tener precisi´on infinita en la medici´on de la posici´on y la velocidad de una part´ıcu-la. Por otro lado se dice que Einstein dijo alguna vez que “Dios no juega a los dados”.

A continuaci´on agregamos un extracto de un texto de Francisco Jos´e Mart´ınez Mart´ınez (Universidad Nacional de Educaci´on a Distancia) titulado “Con-sideraci´on ontol´ogica del azar” para aquellos interesados en una discusi´on filos´ofica del azar.

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p´erdida de todo control, el ´unico que se refiere as´ı mismo sin acudir a ning´un otro principio y que toma su nombre de un castillo sirio de la ´epoca de las Cruzadas en el que se jugaba a un juego totalmente aleatorio. El azar en sen-tido estricto no se opone al orden sino que es “una x anterior a toda idea de orden y desorden”, de manera que podemos distinguir tres niveles ontol´ogicos: un azar original, originario y originante; una serie de ´ordenes constituidos; una serie de alteraciones de dichos ´ordenes que ser´an denominados fortuitas o azarosas. Los fen´omenos correspondientes a los tres primeros niveles de los cuatro antes considerados se refieren a estos azares que surgen como inter-rupciones en un mundo entendido como cosmos, es decir como una totalidad ordenada, mientras que el azar originario y primigenio corresponde al cuarto nivel aludido anteriormente.

El azar propiamente dicho es “silencioso” y no puede referirse a nada previo a s´ı mismo, como podr´ıan ser las series de acontecimientos o la idea misma de la necesidad y el orden. Los tres primeros tipos de azar son ejem-plos de un azar constituido o azar ligado a los acontecimientos, que supone como el tel´on de fondo sobre el que destaca una naturaleza ordenada y re-gular de la que constituye las excepciones. El azar propiamente dicho, azar original o azar constituyente, no necesita sino que m´as bien recusa la idea misma de naturaleza, respecto a la cual es primero y sobre cuyas regiones extiende un imperialismo sin fisuras. Este azar es inmanente y espont´aneo: no se refiere a ning´un principio exterior a s´ı mismo, ni para su existencia ni para su peculiar dinamismo. Como nos recuerda C. Rosset, al que hemos seguido hasta aqu´ı: “Azar es, precisamente,el nombre que designa la aptitud de la materia para organizarse espont´aneamente: la materia inerte recibe del azar lo que llamamos vida, el movimiento y las diferentes formas de orden”.

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1.1. HISTORIA DE LAS PROBABILIDADES 13

tras las apariencias familiares y naturales, lo siniestro, lo desacostumbrado, el monstruo no ya como excepci´on sino como lo natural (despu´es veremos una geometr´ıa de lo monstruoso en los fractales y una din´amica de lo mon-struoso en el estudio de las inestabilidades de sistemas tan familiares como los p´endulos).

A un nivel epistemol´ogico la noci´on, que no concepto, de azar se sit´ua en la frontera entre la filosof´ıa y la no filosof´ıa; es un anticoncepto que des-igna la imposibilidad del pensar , en el sentido plat´onico y racionalista de nombrar y definir, de asignar una naturaleza a las cosas. El azar designa una laguna, un vac´ıo, un no-ser como ´unico fundamento-abismo (Urgrund-Abgrund) de lo que hay. El pensamiento del azar es un pensamiento materi-alista no determinista, en el sentido que rechaza que adem´as del azar haya una estructuraci´on ´ultima de la realidad que establezca una concatenaci´on necesaria entre todos los acontecimientos. En este sentido dicho pensamien-to es un “materialismo del encuentro” (materialisme de la rencontre) en el sentido en que Althusser emplea este t´ermino en sus in´editos recientemente publicados, un materialismo abierto a la novedad y a la contingencia que rec-haza todo determinismo r´ıgido as´ı como todo finalismo teleol´ogico.

El pensamiento del azar, sin embargo, tampoco es indeterminista ya que distingue entre lo fortuito y lo arbitrario. Que lo que existe sea fortuito al es-tar constituido por el azar no significa que sea arbitrario, es decir, caprichoso y sin motivo. Las leyes naturales son azarosas, en el sentido en que pod´ıan haber sido de otra manera, pero una vez establecidas permiten producir re-sultados ciertos dentro de sus ´ambitos de validez. No cualquier combinaci´on es posible y las leyes descubiertas por las ciencias van restringiendo el campo de la posibilidad. Las leyes naturales, foedera naturai seg´un Lucrecio y “leyes provinciales” seg´un Montaigne, son generalidades que recortan en el continuo de lo real regiones de relativa estabilidad en la que se pueden esperar resul-tados ciertos.

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parciales por mencionar s´olo algunas.

1.2.

Probabilidad y Combinatoria

En general como se esboz´o un poco en la introducci´on los problemas que dieron origen a las probabilidades en occidente proven´ıan del juego de las apuestas. Es decir apostar a un cierto juego que ten´ıa una cantidad finita de resultados distintos posibles. En funci´on del resultado del juego y de la cantidad apostada la persona ganaba o perd´ıa una cierta cantidad de dinero.

Normalmente se dec´ıa que se estaba jugando a un juego de “azar” cuando el resultado del juego era incierto y s´olo se conoc´ıan los posibles resultados pero no cual de ellos iba a ocurrir. En muchas situaciones ocurr´ıa que todos los resultados posibles eran “igualmente probables”. Es decir ninguno de los resultados se distingu´ıa como un resultado que saliera con m´as frecuencia. Este concepto de “equiprobabilidad” (igualmente probable) es uno de los supuestos m´as comunes en los problemas discretos.

En este contexto para no complicarse la vida, uno puede enumerar los re-sultados posibles desde 1 hasta N y considerar que los resultados posibles es el conjunto{1, ..., N}. Es claro que vamos a considerar N >1 para que esto tenga algo de azar. Sin mucha dificultad en el caso equiprobable se concluye que “la probabilidad” de obtener un valorn ∈ {1, ..., N} es 1

N.

Consideremos ahora dos valores en {1, . . . , N}, para fijar ideas 1 y 2. Nos preguntamos por la probabilidad de que el valor obtenido sea “alguno” de los dos. Es claro que la respuesta es 2

N independiente de que los dos valores

seleccionados sean 1 y 2 o 2 y 3 cualquier otro par de valores distintos. Del mismo modo para un “grupo” de 3 elementos de {1, ..., N} la probabilidad ser´a 3

N.

Es claro entonces que si tengo un subconjunto A de{1, . . . , N} la prob-abilidad de que el valor obtenido pertenezca a A ser´a el cociente entre el n´umero de elementos distintos deA y el n´umero total de elementos N.

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amplia-1.2. PROBABILIDAD Y COMBINATORIA 15

mente conocida por cualquier aficionado a los juegos de azar. En este contexto el c´alculo de una probabilidad cualquiera es un problema de contar elemen-tos. Esto tiene sentido puesto que todos los posibles resultados b´asico son igualmente probables. En cualquier situaci´on donde esto no ocurra (igual-mente probable) esta f´ormula no ser´a necesaria(igual-mente correcta.

Otro de los razonamientos cl´asicos para definir probabilidades de manera “intuitiva” es de tipo frecuentista y se puede enunciar en palabras como:

“la probabilidad de que ocurra un sucesoA se puede aproximar al realizar el experimento muchas veces por el cociente entre el total de veces en que ocurri´o A sobre el total de veces en que se realiz´o el experimento”.

Es importante aclarar de inmediato que esto no es cierto en general. Las condiciones que determinan cuando este c´alculo es correcto son m´as comple-jas. Primero, este promedio no tiene porque converger a nada necesariamente. Segundo es muy posible que el experimento no se pueda repetir tantas veces sin introducir alguna perturbaci´on o bien que las realizaciones del experi-mento se influencien entre si.

Esto no quiere decir que este resultado nunca sea cierto. De hecho, vali-daremos este resultado para una gran familia de experimentos aleatorios m´as adelante al enunciar la Ley los Grandes N´umeros. Es por esto que hasta no poder explicar claramente cuando esto es cierto y cuando no, es que no va-mos a utilizar este principio para nada en nuestros razonamientos, ejemplos o justificaciones. Esto es contrario al estilo de la mayor´ıa de los textos cl´asicos de probabilidades que en general comienzan por esta definici´on intuitiva de probabilidad.

Volviendo a nuestro razonamiento de casos favorables en muchos de estos ejemplos de juegos los resultados posibles resultan no ser todos equiproba-bles y el problema de contar se vuelve m´as complejo. En este curso entonces vamos a comenzar por introducir las reglas b´asicas de la combinatoria que resuelven estos problemas de conteo.

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En un concurso de televisi´on se sortea un gran premio que est´a detr´as de una de tres puertas. El concursante ha seleccionado una de las puertas. El animador, para mantener el suspenso, abre una de las dos puertas que el concursante no escogi´o y le pregunta si quiere cambiarse de puerta. ¿Qu´e le conviene hacer al concursante ?

En un grupo de 68 personas. ¿Conviene o no apostar que hay al menos dos personas de cumplea˜nos el mismo d´ıa ?

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Cap´ıtulo 2

Combinatoria B´

asica

2.1.

Introducci´

on

La combinatoria es el nombre que reciben las t´ecnicas que se utilizan para resolver problemas de conteo. En este cap´ıtulo introduciremos las t´ecnicas b´asicas de la combinatoria que necesitaremos para este curso. Estas t´ecnicas no son m´as que una ´ınfima parte de toda esta teor´ıa. En estricto rigor la combinatoria es mucho m´as que t´ecnicas de conteo y es por eso que preferi-mos llamar a este cap´ıtulo combinatoria b´asica y no combinatoria a secas.

Se podr´ıa decir que las t´ecnicas de conteo son anteriores incluso a la matem´atica. La operaci´on b´asica de contar era utilizada por los pastores de anta˜no para saber si perd´ıan alguna oveja al volver a casa en ´epocas ante-riores al concepto de suma y de n´umero. El pastor simplemente llenaba su morral de piedras con una por cada oveja que sal´ıa y luego al regresar las devolv´ıa a medida que las ovejas regresaban a casa. Si le sobraban piedras sab´ıa que hab´ıa perdido algunas si alcanzaban justo entonces volvi´o con lo que se fue y si le faltaban piedras entonces se hab´ıa apropiado de los ovejas de alguien mas.

Es cierto que los griegos no prestaron mucha atenci´on a la combinatoria con la honrosa excepci´on del estudio de los n´umeros poligonales realizada por los pitag´oricos. En India en el siglo XII ya se conoc´ıan los coeficientes binomiales. Fue Lev´ı Ben Gerson en el siglo XIV el que realiz´o un estudio detallado de lo que se conoce hoy en d´ıa como permutaciones y

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ciones de un conjunto de objetos. Esto fue recuperado por Pascal y Fermat en sus estudios de los juegos de azar. A pesar de que al parecer fue Pascal el primero en relacionar los coeficientes binomiales con el teorema del binomio estos coeficientes ya eran conocidos para los ´arabes en el siglo XIII y por los chinos en el siglo XIV. De hecho Nicolo Fontano de Bresia m´as conocido como Tartaglia en su obra p´ostuma “Tratado general sobre el n´umero y la medi-da” estudi´o el rect´angulo aritm´etico que es equivalente al tri´angulo de Pascal.

2.2.

Preliminares

B´asicamente la definici´on informal de cardinal de un conjuntoAes “Can-tidad de Elementos”. Entonces cuando un conjunto A est´a formado por N

elementos distintos entonces tiene cardinal N. Para conjuntos infinitos se relaciona m´as con formalizar y extender el m´etodo de nuestro pastor del ejemplo de la secci´on anterior.

Para este curso nos contentamos con las siguientes definiciones:

- A tiene cardinal N N si existe una funci´on biyectiva entre A y

{1, . . . , N}.

- Atienecardinal numerable si existe una funci´on biyectiva entreAy N. - Atiene cardinal m´as que numerable si toda funci´on sobreyectiva entre

A y Nno es biyectiva.

Las propiedades b´asicas para comparar cardinales son las siguientes. Da-dos A yB dos conjuntos y f una funci´on f :A →B si denotamos con |A|y

|B| los cardinales de A y B respectivamente tendremos que:

- Si f es sobreyectiva entonces |A| ≥ |B|. - Si f es inyectiva entonces |A| ≤ |B|. - Si f es biyectiva entonces |A|=|B|.

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2.3. PRINCIPIOS B ´ASICOS 19

numerable es mayor que cualquier cardinal finito y cardinal m´as que numer-able es mayor que cardinal numernumer-able.

2.3.

Principios B´

asicos

El objetivo de esta secci´on no es aprender a contar, se supone que toda persona sabe hacerlo medianamente bien. El objetivo es formalizar un sis-tema para contar ordenadamente. Vamos a enunciar dos principios b´asicos en la teor´ıa de combinatoria el Principio de Multiplicaci´on y el Principio de Suma.

Informalmente podemos enunciarlos como:

Principio de Multiplicaci´on:

Si una operaci´on da n1 resultados distintos y otra operaci´on da n2 re-sultados distintos y adem´as cualquier resultado de la primera operaci´on es compatible con cualquier resultado de la segunda operaci´on. Entonces el total de resultados distintos al realizar la operaci´on conjunta (es decir la primera operaci´on seguida de la segunda operaci´on) es n1·n2. Esto se extiende a m´as de dos operaciones (digamos k) de manera natural.

Una manera “gr´afica” de ver este principio es considerar el conteo como caminos posibles en un diagrama. Es decir, si una operaci´on tiene n resul-tados posibles, cada resultado se considera como un camino diferente. Si las operaciones no se interfieren entre s´ı entonces realizar ambas operaciones es como “pegar”(concatenar) los caminos (realizar un camino de la primera op-eraci´on y luego otro de la segunda opop-eraci´on).

n1·...·nk

z }| {

n1 →n2 →. . .→nk

Figura 2.1: Grafo de posibilidades

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fini-tosA y B se tiene que |A×B|=|A| · |B|.

La aplicaci´on m´as directa de este principio es la siguiente:

Aplicaci´on 1 Las distintas maneras de ordenar N N elementos distintos son:

N! =N ·(N 1)·. . .·2·1.

En efecto, asignar un orden a los N elementos equivale a asignar una posici´on a cada elemento. HayN posiciones para el primer elemento, (N−1) posiciones para el segundo elemento,. . ., 1 sola posici´on restante para el ´ulti-mo elemento. El principio de multiplicaci´on concluye el resultado. Por con-veniencia se define 0! = 1.

Enunciemos el segundo principio.

Principio de Suma

Si una operaci´on da n1 resultados distintos y otra operaci´on dan2 resul-tados distintos entre s´ı y de todos los resulresul-tados de la primera operaci´on y adem´as s´olo se puede realizar una de las dos operaciones (es decir realizar una no permite hacer la otra). Entonces el total de maneras distintas de re-alizar la operaci´on conjunta (es decir la primera o la segunda) esn1+n2. Lo mismo se aplica a un n´umero mayor de operaciones (digamosk).

. &

n1 n2 . . . nk

| {z }

n1+n2+...+nk

Figura 2.2: Grafo de posibilidades

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2.3. PRINCIPIOS B ´ASICOS 21

ser´a n1+n2+. . .+nk (ver figura 2.2).

De manera mas conjuntista esto quiere decir que dados dos conjuntos finitos y disjuntosAyB (es decirA∩B =φ) se tiene que|A∪B|=|A|+|B|.

Algunos ejemplos de aplicaci´on de estos principios (que nos sirven de repaso) son los siguientes:

Aplicaci´on 2 Dadode cardinal N N entonces el cardinal de P(Ω) es 2N.

En efecto como Ω tiene cardinalN el cardinal deP(Ω) ser´a el mismo que el cardinal de P({1, . . . , N}) que veremos es igual al cardinal de {0,1}N.

P({1,2,3,4}) | {0,1}4 P({1,2,3,4}) | {0,1}4

φ (0,0,0,0) {2,3} (0,1,1,0)

{1} (1,0,0,0) {2,4} (0,1,0,1)

{2} (0,1,0,0) {3,4} (0,0,1,1)

{3} (0,0,1,0) {1,2,3} (1,1,1,0)

{4} (0,0,0,1) {1,2,4} (1,1,0,1)

{1,2} (1,1,0,0) {1,3,4} (1,0,1,1)

{1,3} (1,0,1,0) {2,3,4} (0,1,1,1)

{1,4} (1,0,0,1) {1,2,3,4} (1,1,1,1)

Figura 2.3: Caso N=4

Entonces a cada elemento A deP({1, . . . , N}) le podemos asociar un el-emento {xn}Nn=1 de{0,1}N definido por xn= 0 si n /∈ A y xn = 1 si n ∈A.

Adem´as a cada elemento {xn}N

n=1 de {0,1}N le asociamos un elemento de

P({1, . . . , N}) definido como A={n∈ {1, . . . , N}|xn = 1}. Esto define una

biyecci´on entre estos dos conjuntos y por lo tanto tienen el mismo cardinal (ver figura 2.3).

Aplicando entonces el principio de multiplicaci´on el cardinal de {0,1}N

(22)

Aplicaci´on 3 Si lanzo un dado de seis lados o una moneda entonces los resultados posibles son 6 + 2 = 8.

Estos dos simples principios combinados permiten obtener resultados bas-tante complejos.

Ejemplo 1

Supongamos que una placa de autom´ovil consta de dos letras distintas, seguidas de tres d´ıgitos, de los cuales el primero no es cero. ¿Cu´antas placas diferentes pueden grabarse?

Este es un ejemplo sencillo en el que se aplica el principio de multipli-caci´on. La primera letra puede colocarse de 26 maneras diferentes (suponien-do que el alfabeto consta de 26 letras), la segunda letra de 25 maneras (puesto que la letra que se escoge como primera no puede utilizarse de segunda letra). Para el primer d´ıgito hay nueve posibilidades y para cada uno de los otros dos d´ıgitos 10 maneras. Por lo tanto, pueden grabarse 26·25·9·10·10 = 585,000 placas diferentes.

Ejemplo 2

En una mesa redonda conN 6asientos se sientan 3 personas. ¿De cu´antas maneras distintas se pueden sentar? ¿De cu´antas maneras distintas, respecto del total, se pueden sentar de modo que no haya 2 de ellos contiguos?

En el primer caso, el total de manera posibles se calcula directamente por el principio de multiplicaci´on: hay N lugares para sentar a la primera per-sona, pero s´oloN−1 lugares para sentar a la segunda persona y, finalmente,

N−2 lugares para sentar a la tercera y ´ultima persona. Esto da un total de

N ·(N 1)·(N 2) maneras distintas.

(23)

2.3. PRINCIPIOS B ´ASICOS 23

2 N 5

%

N

&

N 5 N 6

Figura 2.4: Esquema de posibilidades favorables

deN asientos. Sin embargo, los asientos contiguos al asiento de esta primera persona no pueden ser ocupados. Es por ello que para sentar a la segunda persona s´olo disponemos del total N menos los tres asientos prohibidos.

Ahora bien, supongamos que ubicamos a la segunda persona a una silla de distancia de la primera persona. Claramente esto lo podemos hacer de 2 formas diferentes (pues, o bien sentamos a la segunda persona a la derecha o a la izquierda de la primera). Entonces, en este caso, tendremos 5 posiciones que no podremos ocupar. Es decir, en ambos casos (sentar a la segunda per-sona a izquierda o derecha de la primera), tendremos N 5 asientos para sentar a la tercera persona.

Si ubicamos a la segunda persona a m´as de dos sillas de distancia de la primera habr´an, 6 asientos prohibidos: los 3 correspondientes a la primera y los tres correspondientes a la segunda. As´ı, una vez que ubiquemos a la primera y segunda personas, tendremos N 6 lugares para ubicar a la ter-cera. Cabe notar que en este caso, hemos considerado en sentar a la segunda persona a m´as de dos sillas de distancia de la primera lo que quiere decir disponemos de N 5 asientos para sentar a la segunda persona.

En resumen, luego de ubicar a la primera persona, habr´an 2 lugares para los cuales hay N−5 asientos para sentar a la tercera persona; habr´anN−5 asientos para los cuales hay N 6 maneras de sentar a la tercera persona (ver Figura 2.4).

En consecuencia al combinar el principio de suma y de multiplicaci´on hay

(24)

5

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

5

Figura 2.5: Casos favorables para N=16

sillas no son posibles para la tercera persona.

A continuaci´on veremos c´omo aplicar los principios de suma y multipli-caci´on para resolver problemas de probabilidades.

Ejemplo 3

Un curso est´a formado por 12 ni˜nos y 4 ni˜nas. Si se escogen tres estudiantes del curso al azar, ¿Cu´al es la probabilidad de que sean todos ni˜nos?

Resp: Por el Principio de Multiplicaci´on el total de maneras de selec-cionar a 3 estudiantes al azar es 16·15·14.

El total de maneras de seleccionar al primer estudiante como ni˜no son 12. Si el primero es un ni˜no, entonces el total de maneras de seleccionar a otro ni˜no son 11puesto que hay 11 ni˜nos entre los 15 restantes. Finalmente, si los primeros dos escogidos son ni˜nos, entonces el total de maneras de que el tercero sea ni˜no es 10 puesto que quedan 10 ni˜nos entre 14.

(25)

2.4. EJERCICIOS 25

probabilidad obtenemos:

12 16·

11 15 ·

10 14 =

11 28. Ejemplo 4

A un jugador le reparten 5 cartas de una baraja corriente de 52 cartas. ¿Cu´al es la probabilidad de que sean todas espadas?

Resp: Por el principio de multiplicaci´on el total de maneras de repartir 5 cartas es 52·51·50·49·48.

Como hay 13 cartas de espadas el total de maneras de que la primera carta sea de espadas es 13. Dado esto el total de maneras que la segunda carta sea de espadas es de 12. Dado lo anterior el total de maneras de que la tercera carta sea de espadas es 11. Como antes el total de maneras que la cuarta sea de espadas es 10 y finalmente que la quinta sea de espadas es 9. Luego, por el Principio de Multiplicaci´on el total de maneras de obtener todas de espadas es 13·12·11·10·9. Entonces al considerar favorables sobre posibles como la probabilidad obtenemos:

13 52·

12 51·

11 50·

10 49·

9 48 =

33 66640.

2.4.

Ejercicios

1. ¿Cu´al es la probabilidad de obtener 3 caras en 5 lanzamientos de una moneda equilibrada?

2. Si se tira un dado de 6 caras 5 veces, ¿Cu´al es el valor de aparici´on del seis m´as probable obtenido?

3. Se saca una letra al azar de “assisine” y una letra al azar de “assassin”. ¿Cu´al es la probabilidad de que las letras coincidan?

(26)

respuesta si los n´umeros est´an entre 0 y 9?

5. Se sientan 3 personas en una mesa (no redonda) con N 6 asientos. Calcular la probabilidad que:

(i) Queden los 3 contiguos.

(ii) Queden exactamente 2 contiguos.

(iii) No queden dos contiguos.

2.5.

Casillas y Bolitas

Vamos a introducir algunas t´ecnicas cl´asicas que se obtienen al combinar los dos principios anteriores. Para hacer todo mas did´actico en un principio vamos a considerar que el experimento consiste siempre en lanzar una canti-dad finita de bolitas en una canticanti-dad finita de casillas (o urnas). Las casillas est´an numeradas y ser´an siempre distinguibles. Las bolitas estar´an tambi´en numeradas de antemano. El procedimiento consiste en lanzar de todas las maneras posibles todas las bolitas una a una en las casillas (ver figura 2.6. Sin embargo lo que se contar´a no ser´a de el total de maneras diferentes en que se realiz´o este procedimiento sino la cantidad de configuraciones diferentes de casillas llenas con bolitas.

(27)

2.5. CASILLAS Y BOLITAS 27

1 2 N-1 N

1

2 n-1

n

3 4

5

Figura 2.6: Casillas y Bolitas

casilla.

(28)

2.5.1.

Permutaciones y Combinaciones

El caso mas simple considera n bolitas que se colocan en N casillas de modo que s´olo hay espacio para una bolita en cada casilla. Obviamente para lograr que todas las bolitas queden en alguna casilla es necesario queN ≥n.

Por el principio de multiplicaci´on el total de configuraciones distintas es:

N ·(N 1)·. . .·(N−n+ 1) = N! (N −n)!

En efecto colocar todas las bolitas equivale a asignar una casilla a cada bolita. Hay N casillas posibles para la primera bolita, (N 1) casillas posi-bles para la segunda bolita,. . ., (N−(n−1)) casillas posibles para lan-´esima bolita.

Es importante contar de acuerdo al procedimiento que se realiz´o. En este caso, la acci´on es lanzar las bolitas. No se est´a, por ejemplo, pensando en cu´al bolita es asignada a cada casilla.

Esto se conoce como el total de permutaciones posibles de n elementos enN casillas.

1 2 3

1 2 3 4

1 3 2

1 2 3 4

2 3

1 2 3 4

1

2 3

1 2 3 4

1

1 2 3

1 2 3 4

2 3

1 2 3 4

1

1 2 3

1 2 3 4

1 3 2

1 2 3 4

2 3

1 2 3 4

1

2 3

1 2 3 4

1

1 2

3

1 2 3 4

2 3

1 2 3 4

1

1 2 3

1 2 3 4

1 3 2

1 2 3 4

2 3

1 2 3 4

1

2 3

1 2 3 4

1

1 2 3

1 2 3 4

2 3

1 2 3 4

1

1 2 3

1 2 3 4

1 3 2

1 2 3 4

2 3

1 2 3 4

1

2 3

1 2 3 4

1

1 2 3

1 2 3 4

2 3

1 2 3 4

1

Figura 2.7: Caso N=4 y n=3 (Total=24)

(29)

2.5. CASILLAS Y BOLITAS 29

N!

(N−n)!n! =

µ

N n

En el fondo, ahora las configuraciones se diferencian s´olo por las casil-las que tienen una bolita y casil-las que no tienen ninguna bolita, y no por el n´umero de la bolita en cada casilla. Evidentemente, el n´umero de configura-ciones distintas disminuye. En vez de realizar otro procedimiento de conteo intentemos utilizar el conteo anterior. Podemos considerar las configuraciones distintas en que las bolitas son distinguibles y luego tomar un pincel y borrar el n´umero en las bolitas. Esto quiere decir que hay grupos de n! configura-ciones que antes eran diferentes que ahora resultan ser todas iguales. Otra manera de visualizar esto, es pensar en que se obtendr´a una misma config-uraci´on fijando las casillas que recibir´an las bolitas lanz´andolas en todos los ´ordenes posibles (que son n!).

En este caso estamos considerando el total decombinaciones posibles de

n elementos en N casillas.

1 2 3

1 2 3 4 5

1 3 2

1 2 3 4 5

2 3

1 2 3 4 5

1

2 3

1 2 3 4 5

1

1 2

3

1 2 3 4 5

2 3

1 2 3 4 5

1

1 2 3 4 5

1 2 3

1 2 3 4 5

1 3 2

1 2 3 4 5

2 3

1 2 3 4 5

1

2 3

1 2 3 4 5

1

1 2 3

1 2 3 4 5

2 3

1 2 3 4 5

1

1 2 3 4 5

Figura 2.8: Caso N=4 y n=3

(30)

decir que siempre el n´umero de permutaciones ser´a n! veces el n´umero de combinaciones al considerar n bolitas en N casillas.

Veamos algunas aplicaciones sencillas:

Aplicaci´on 4 Se tienen N elementos distintos, el total de subconjuntos de

n elementos con N ≥n es:

µ

N n

= N!

(N −n)!n!

Primero transformemos este problema en uno en que se utilicen bolitas y casillas. Podemos decir que N elementos distintos ser´an N casillas distintas y un subconjunto den elementos se representa como ocuparn de estas casil-las con bolitas que no queremos distinguir y que determinar´an los elementos presentes en el subconjunto. La cantidad¡N

n

¢

recibe el nombre decoeficiente binomial.

Aplicaci´on 5 Es posible aplicar la combinatoria para probar algunos resul-tados del ´algebra cl´asica.

∀a, b∈R,(a+b)N = N

X

n=0

µ

N n

anbN−n.

Por definici´on:

N

(a+b)N = (za+b)·. . .}| ·(a+b{)

Cada elemento de este producto es una suma de 2N productos de N

letras a’s y b’s. De estos elementos hay algunos que son iguales, que son aquellos en que el n´umero dea’s en el producto es el mismo. Es decir si ten-gon∈ {0, . . . , N}a’s el total de b’s debe serN−n y el t´ermino esan·bN−n.

Entonces los elementos distintos del producto anterior son entonces de la forma an·bN−n con n en {0, . . . , N}. Para formar alguno de estos t´erminos

(31)

2.5. CASILLAS Y BOLITAS 31

Para concluir basta aplicar el principio de suma en que considero los posi-bles resultados como el n´umero dea’s en el producto que es un n´umero entre 0 y N.

Esta aplicaci´on es la que da el nombre de coeficiente binomial a la can-tidad ¡Nn¢. Enunciemos algunas propiedades interesantes de los coeficientes binomiales que nos ser´an de utilidad.

Lema 1 Dados N, n∈N y n≤N

1. Si n≥1, ¡nN1¢+¡Nn¢=¡Nn+1¢.

2. Si n≥1, ¡N n

¢

n =N¡N−1

n−1

¢

.

Demostraci´on 1 (1) Por definici´on

µ

N n−1

+

µ

N n

=

µ

N!

(N −n+ 1)!(n−1)! +

N! (N −n)!n!

= (N + 1)! (N −n+ 1)!n!.

(2) Por definici´on

µ

N n

n = N!·n

(N −n)!n! =N

(N 1)!

(N 1−n+ 1)!(n−1)! =N

µ

N 1

n−1

1

1 2 1

1 3 3 1

4 6 4 1

1

10 10 5 1

5 1

(32)

La propiedad 1 del lema 1 permite construir los coeficientes binomiales con un procedimiento que se conoce como elTri´angulo de Pascal (ver Figura 2.9). Los distintos niveles del siguiente “tri´angulo” corresponden a los coefi-cientes que van apareciendo sucesivamente cuando N = 1, N = 2, etc...

Veamos a continuaci´on un ejemplo en que utilicemos el principio de suma para resolver un problema de combinatoria.

Ejemplo 5

Una delegaci´on de 4 estudiantes de un colegio se selecciona todos los a˜nos para asistir a la asamblea anual de la Asociaci´on de Estudiantes. (i) ¿De cu´antas maneras puede escogerse la delegaci´on si hay 12 estudiantes elegibles? (ii) De todos los estudiantes se tiene dos hermanos que no est´an dispuestos a estar ambos en la delegaci´on ¿De cu´antas maneras puede escogerse ahora la delegaci´on? (iii) Ahora se tiene dos hermanos que no est´an dispuestos a asistir el uno sin el otro ¿De cu´antas maneras puede escogerse ahora la del-egaci´on?

Resp: Es importante notar que una delegaci´on corresponde a un subcon-junto de 4 elementos.

(i) El total de delegaciones de 4 estudiantes de un grupo de 12 es ¡124¢ = 495.

(ii) El total de delegaciones que no incluyen a los hermanos son ¡104¢ = 210. El total de delegaciones que incluye a un hermano pero no al otro son

¡10

3

¢

= 120 puesto que se debe seleccionar s´olo a los otros tres miembros. Como son dos hermanos el total de delegaciones que incluye a uno de los dos pero no los dos juntos es 2¡10

3

¢

= 240.

Por el principio de suma entonces el total de delegaciones es 210 + 240 = 450.

(iii) Llamemos C y D a los estudiantes casados. Si C y D no van, entonces la delegaci´on puede escogerse de ¡10

4

¢

(33)

2.5. CASILLAS Y BOLITAS 33

Veamos algunos ejemplos en que se utilizan permutaciones.

Ejemplo 6

Hallar el n´umero de “palabras de tres letras diferentes” que pueden formarse con las letras a, b, c, d, e y f.

Resp: La primera letra puede escogerse de 6 formas diferentes la segun-da letra se puede escoger de 5 formas diferentes y la ´ultima letra se puede escoger de 4 formas diferentes.

Por el Principio de Multiplicaci´on hay 6·5·4 = 120 posibles palabras de tres letras sin repetici´on.

Ejemplo 7

¿Cu´antas se˜nales diferentes, cada una de 8 banderas colocadas en una l´ınea vertical, pueden formarse con un conjunto de 4 banderas rojas, 3 blancas y una azul?

Resp: El total de se˜nales diferentes, si todas las banderas fuesen distin-guibles, ser´ıa 8!. Dado que hay 4 banderas rojas que no se diferencian entre s´ı, todas estas maneras se pueden agrupar en grupos de 4! se˜nales que no se distinguen. Lo mismo ocurre con el grupo de 3 banderas blancas por lo que el total de se˜nales diferentes ser´a entonces 8!

4! 3! = 280. Ejemplo 8

¿De cu´antas maneras distintas se puede acomodar una reuni´on de 7 per-sonas, (i) En una fila de 7 sillas, (ii) Alrededor de una mesa redonda?. Dos configuraciones son distintas si alguna persona tiene un vecino distinto a la derecha o la izquierda.

Veamos (i). Las siete personas pueden distribuirse en una fila de 7·6·5·

4·3·2·1 = 7! maneras distintas.

(34)

las otras seis personas pueden acomodarse de 6·5·4·3·2·1 = 6! maneras diferentes alrededor de la mesa.

Este es un ejemplo de permutaci´on circular.

Ejemplo 9

Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. (i) ¿Cu´antas posibilidades de preguntas a responder tiene? (ii) ¿Cu´antas bilidades si las tres primeras preguntas son obligatorias? (iii) ¿Cu´antas posi-bilidades si tiene que contestar 4 de las 5 primeras preguntas?

Resp: (i) El total de subconjuntos de 8 preguntas de un total de 10 es

¡10

8

¢

=¡10 2

¢

= 45.

(ii) Si contesta las 3 primeras preguntas entonces puede escoger las otras 5 de las 7 ´ultimas preguntas lo que da un total de¡75¢=¡72¢= 21posibilidades. (iii) Si contesta las 5 primeras preguntas entonces puede escoger las otras 3 de las 5 ´ultimas lo que da ¡53¢= 10 posibilidades.

La otra posibilidad es que seleccione 4 de las 5 primeras preguntas y las otras 4 de las 5 ´ultimas. El total de maneras de seleccionar 4 preguntas de 5 es ¡5

4

¢

= ¡5 1

¢

= 5. Por el Principio de Multiplicaci´on puede escoger las 8 preguntas de 5·5 = 25maneras. Para concluir por Principio de suma existen 10 + 25 = 35 posibilidades a responder.

Veamos algunas aplicaciones m´as probabil´ısticas.

Ejemplo 10 Un estante tiene 6 libros de matem´aticas y 4 de f´ısica ordena-dos en un mismo estante. Hallar la probabilidad de que 3 libros determinaordena-dos de matem´aticas est´en juntos.

Resp: El total de maneras de ordenar los libros es 10!. Los tres libros pueden ordenarse de 3! maneras. El resto de los 8 libros pueden ordenarse de 8! formas. Entonces, la probabilidad pedida ser´a de 8!3!

(35)

2.5. CASILLAS Y BOLITAS 35

Una caja contiene 8 bolas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se extraen 3 bolas aleatoriamente de la caja. Determinar la probabilidad de que (a) las 3 bolas sean rojas, (b) las 3 bolas sean blancas, (c) 2 sean rojas y 1 blanca, (d) al menos 1 sea blanca, (e) se extraiga una de cada color, (f) las bolas sean ex-tra´ıdas en el orden rojo, blanco, azul.

Resp: (a) Al considerar favorables sobre posibles como probabilidad la respuesta pedida es el n´umero de grupos de 3 bolas que se pueden tomar de un total de 8 bolas rojas, dividido por el n´umero de grupos de 3 bolas que se pueden formar de un total de 20 bolas. Es decir, (83)

(20 3)

= 14 285. (b) Como en el caso anterior esta probabilidad es (33)

(20 3)

= 1 1140.

(c) Una vez m´as la probabilidad ser´a{(grupos de 2 entre 8 bolas rojas)·(grupos de 1 entre 3 bolas blancas)}:{n´umero de grupos de 3 bolas entre 20}= (82)·(

3 1)

(20 3)

= 7

95.

(d) La probabilidad de no obtener ninguna bola blanca es (

17 3)

(20 3)

= 34 57. Por lo tanto, la probabilidad de obtener al menos 1 blanca es complementaria por lo tanto ser´a 134

57 = 2357.

(e) La probabilidad de que aparezca una de cada color es (

8 1)(

3 1)(

9 1)

(20 3)

= 18 95. (f) La probabilidad de extraer las bolas en orden rojo, blanco y azul es 1

3! · 1895 = 953 usando (e). Ejemplo 12

Se reparten 52 cartas de una baraja corriente en partes iguales a cuatro per-sonas que llamaremos Norte(N), Sur(S), Este(E) y Oeste(O).

(i) SiS no tiene ases, hallar la probabilidad de que su compa˜neroN tenga exactamente 2 ases.

(ii) Si N y S juntos tienen 9 corazones, hallar la probabilidad de que E yO

(36)

Resp: (i) Para cualquiera de los 4 jugadores hay ¡39 13

¢

grupos distintos de cartas que pueden recibir. Si S no tiene ases entonces hay 39 cartas, que necesariamente incluyen los 4 ases, repartidas entre N, E yO. Hay ¡42¢ grupos de 2 ases que N puede recibir de los 4 ases y¡3511¢ grupos de 11 cartas de las 394 = 35 cartas que no son ases. As´ı, la probabilidad pedida ser´a

¡4

2

¢¡35

11

¢

¡39

13

¢ = 650

2109

(ii) Hay 26 cartas, que contienen exactamente 4 corazones, repartidos en-treE yO. Hay¡2613¢grupos distintos de 13 cartas que E puede recibir de estas 26. Esto fija el grupo de cartas que recibir´aO (es decir s´olo una posibilidad). Hay¡42¢ pares de corazones queE puede recibir de los 4 posibles y¡2211¢grupos de 11 cartas de las 264 = 22 que no son corazones.

Entonces la probabilidad pedida es:

¡4

2

¢¡22

11

¢

¡26

13

¢ = 234

575

2.5.2.

Bolitas semidistinguibles

Pasemos a un caso intermedio entre distinguir todas las bolitas y no dis-tinguir a ninguna. Consideremos el caso en que las bolitas se pueden agrupar en dos tipos (digamos blancas y negras).

Aplicaci´on 6 Se tienen N bolitas en una urna de las cuales m N son blancas y las N −m restantes son negras. Se extraen n N bolitas de la urna. ¿Cuantos de estos subconjuntos contienen exactamente r m bolitas blancas?.

(37)

2.5. CASILLAS Y BOLITAS 37

1 2

3

4 5

1 2

1 3

1 4

1 5 2 3

2 4

2 5

3 4 4 5 3 5

Figura 2.10: Caso N=5 n=3 y r=2

Para obtener exactamente r bolitas blancas al extraer n bolitas es nece-sario que las n−r bolitas restantes sean todas negras. Notemos para que esto sea posible r≤m´ın{n, m} y adem´as r≥m´ax{0, n−(N −m)}.

Consideremos un subconjunto de n bolitas que tiene r bolitas blancas y n −r bolitas negras. El subconjunto de r bolitas blancas es uno de los subconjuntos distintos de r bolitas de un total de m bolitas blancas. El subconjunto de n−r bolitas negras es uno de los subconjuntos distintos de

n−r bolitas de un total de N−m bolitas negras. Aplicando el principio de multiplicaci´on esto da un total de:

µ

m r

·

µ

N −m n−r

.

Esto es la cantidad de subconjuntos distintos de n bolitas distinguibles de las cuales hay r bolitas blancas y n−r negras. Esta cantidad es distinta si consideramos que s´olo se distingue el color de la bolita. Al “borrar” los n´umeros se produce una distorsi´on porque las configuraciones que quedan iguales no tienen la misma cantidad de elementos (ver figura 2.10).

(38)

probabilidad de obtener una bola blanca y una negra. Por un lado llegamos a la conclusi´on que la probabilidad es 6

10 y por otro que la probabilidad es 1

3!!!. No existe ninguna contradicci´on lo que ocurre es que en el segundo caso la probabilidad no se calcula como favorables sobre posibles. Esto lo discutiremos en mas detalle en el pr´oximo cap´ıtulo.

Una aplicaci´on “real” de lo anterior se utiliza para estimar poblaciones que son demasiado grandes para realizar un m´etodo exhaustivo (contarlos a todos).

Ejemplo 13 Para estimar la poblaci´on N de salmones en un lago se toma una muestra de m salmones que se marcan de alguna manera y se devuelven al lago. Se espera un tiempo razonable antes de tomar una segunda muestra de

n salmones. Se cuentan los salmones marcados, digamos k. Una estimaci´on razonable de N ser´ıa considerar el valor de N que maximiza la probabilidad de que haya k salmones en el lago. Este tipo de razonamientos se conoce en estad´ıstica como estimador m´aximo veros´ımil.

Utilizando el razonamiento anterior la probabilidad de obtenerksalmones marcados de una muestra de n sabiendo que hay N salmones es:

¡m

k

¢

·¡Nnmk¢

¡N

n

¢ .

Ejercicio Propuesto 1 ¿C´omo se encuentra valor deN que maximiza este suceso?.

Una generalizaci´on del problema de los tipos y que se relaciona con el ´algebra es la siguiente:

Aplicaci´on 7 Se tienen N bolitas, m1 de tipo 1, m2 de tipo 2,· · ·, mn de

tipo n con Pn

i=1

mi =N. Se lanzan las N bolitas sobreN casillas con a lo m´as una bolita por casilla. Si s´olo se distingue el tipo de las bolitas el total de configuraciones distintas es:

N!

(39)

2.5. CASILLAS Y BOLITAS 39

En efecto hayN! configuraciones distintas deN bolitas distinguibles enN

casillas. Sin embargo dado que no se distinguen todas las bolitas entre si hay varias configuraciones dan la misma configuraci´on con respecto a los tipos. M´as precisamente en las casillas que tienen bolitas del mismo tipo es posible intercambiarlas sin cambiar la configuraci´on. Esto se puede hacer dem1! para el primer tipo de elementos, dem2! maneras para el segundo tipo,. . ., demn!

maneras para el ´ultimo tipo. Por lo que hay m1!·m2!·. . .·mn! de reordenar

sin cambiar la configuraci´on de los tipos.

En consecuenciam1!·m2!·. . .·mn! configuraciones de bolitas distinguibles

dan una sola configuraci´on diferente con respecto a los tipos. Dado que el total de configuraciones era N! se concluye.

Esto nos permite demostrar el Teorema del Multinomio que dice que dados ∀a1, . . . , an R se tendr´a que:

(a1+. . .+an)N = n

X

m1=0 NX−m1

m2=0 . . .

N−nP1

i=0mi

X

mn=0

N!

m1!·m2!·. . .·mn! am1

1 ·. . .·amnn

La demostraci´on sigue las mismas l´ıneas que en el caso del teorema del binomio.

2.5.3.

Grupos distintos

Consideramos ahora un caso mas complejo en que se lanzanN bolitas so-bre n casillas permitiendo m´as de una bolita por casilla. Observemos que los roles denyN est´an invertidos con respecto a la secci´on anterior lo que puede llevar a confusi´on. Pero para los efectos de la presentaci´on de los resultados es m´as conveniente de esta manera. Primero vamos a enunciar los resultados para los distintos casos en estudio y a continuaci´on vamos a probarlos con las t´ecnicas que ya vimos anteriormente.

2.5.4.

Grupos permitiendo casillas vac´ıas

(40)

(N +n−1)! (n−1)!

1 2

1

2

1

2

1 2

2 2

1 2

1 2

1 2

2 2

2 1

1

1

1

1

Figura 2.11: Caso N=2, n=3 (Total=12)

En la figura 2.11 se muestran las configuraciones posibles con 2 bolitas y 3 casillas. Si las bolitas ahora no son distinguibles el total de configuraciones distintas aceptando casillas vac´ıas es:

µ

N +n−1

n−1

Figura 2.12: Caso N=2, n=3 (Total=6)

En el caso de la figura 2.11 las configuraciones distintas se reducen ahora a las mostradas en la figura 2.12.

(41)

2.5. CASILLAS Y BOLITAS 41

“marcas” y se consideran todas las configuraciones posibles (que incluyen todos los ordenes de los elementos) que son (N +n−1)!. Sin embargo, hay

n 1 objetos iguales (las marcas) por lo que el total de configuraciones distintas es:

(N +n−1)! (n−1)!

Para ilustrar el razonamiento consideremos los posibles resultados para el ejemplo de la figura 2.11. Con esta nueva notaci´on si denotamos las marcas por el s´ımbolo | entonces esto se reescribe como:

12|| |21| 1|2| |2|1 21|| ||12 2|1| 2||1

|12| ||21 |1|2 1||2

Si no se distinguen las bolitas entre si entonces el total de configuraciones distintas disminuye en un factor de N! (como al pasar de combinaciones a permutaciones) y por lo tanto da:

(N +n−1)! (n−1)!·N! =

µ

N +n−1

n−1

Una vez mas para ilustrar el razonamiento para el ejemplo de la figura 2.12 con esta notaci´on notando las marcas por | y las bolitas por ° los resultados se reescriben como:

° ° || °| ° | | ° °| | ° |° || ° ° °||°

Ejemplo 14

¿Cuantos comit´es distintos de 5 personas compuesto de 3 hombres y 2 mu-jeres se pueden formar con un total de 7 hombres y 5 mumu-jeres?

(42)

2.5.5.

Grupos sin casillas vac´ıas

Si s´olo se consideran las configuraciones en que todas las casillas tienen alguna bolita ser´a necesario queN ≥n. En ese caso el total de configuraciones ser´a:

N!

µ

N 1

n−1

En la parte izquierda de la figura 2.13 se muestran las configuraciones para el casoN = 4 yn= 3. Al considerar que las bolitas no son distinguibles entre si el total de configuraciones en que hay al menos una bolita por casilla disminuye y es:

µ

N 1

n−1

En la parte derecha de la figura 2.13 se muestran las configuraciones dis-tintas para el mismo caso pero sin distinguir las bolitas (en vez de 72 s´olo hay 3!!).

Veamos como probar estas f´ormulas. Dado un orden (N! posibles) de las

N bolitas. Repartir las bolitas en n casillas sin dejar ninguna sin bolitas equivale a repartir n−1 “marcas” como anteriormente pero ahora s´olo en-tre losN−1 espacios entre las bolitas. Esto se puede hacer de¡N−1

n−1

¢

maneras.

(43)

2.5. CASILLAS Y BOLITAS 43 1 2 4 1 4 3 1 4 2 4 2 1 1 2 1 3 3 1 2 2 4 1 1 2 3 1 1 3 1 2 2 1 3 1 1 3 3 4 2 3 2 3 1 2 1 3 1 3 3 4 3 4 2 4 2 4 3 4 3 4 2 4 2 4 3 4 3 4 2 4 2 4 4 1 3 4 3 2 4 3 1 3 1 2 2 1 2 4 4 2 1 1 3 2 2 1 2 1 1 2 1 4 4 1 2 1 1 2 2 3 1 2 1 2 4 1 4 2 4 2 4 3 4 3 1 3 1 3 4 3 4 3 4 3 4 3 2 4 2 3 4 3 4 3 1 3 2 1 2 4 1 2 3 2 3 1 1 3 1 4 4 1 3 3 2 1 1 3 4 1 1 4 1 3 3 1 4 1 1 4 4 2 3 4 3 4 1 3 1 4 1 4 4 2 4 2 3 2 3 2 4 2 4 2 3 2 3 2 4 2 4 2 3 2 3 2 2 3 1 2 1 4 2 1 3 1 3 2 2 3 2 4 4 2 3 3 1 2 2 3 4 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 4 4 1 3 4 3 4 2 3 2 4 2 4 4 1 4 1 3 1 3 1 4 1 4 1 3 1 3 1 4 1 4 1 3 1 3 1

Figura 2.13: Caso N=4, n=3 (Total=72)(Total=3)

(44)

Si las bolitas no se distinguen entre si entonces el total de configuraciones disminuye en un factor de N! lo que da ¡Nn11¢. Finalmente entonces para el ejemplo considerado en la figura 2.13 con esta notaci´on notando las marcas y las bolitas como en el caso anterior obtenemos las posibilidades

° ° | ° | ° °| ° °| ° °| ° | ° °

Ejercicio Propuesto 2 Otra manera de deducir las f´ormulas para este caso es considerar que se saca un grupo den bolitas del total de N y se coloca una en cada casilla y ahora se considera todas las configuraciones de N−n boli-tas en n casillas permitiendo ahora casillas vac´ıas. ¿Se obtienen los mismos resultados?.

Veamos una aplicaci´on del resultado anterior (que no es tan directa) que se conoce como el “Coupon Collector Problem” o problema del coleccionista de cupones.

Aplicaci´on 8 Un coleccionista de cupones va a comprar n cupones de un total deN. ¿Cu´al es el total de configuraciones distintas (cuantos cupones de cada tipo) que puede obtener el coleccionista?. Son todas las configuraciones igualmente probables?.

En un contexto general dada una infinidad de elementos de N tipos dis-tintos el total de configuraciones distintas (al reconocer por tipo) de n de estos elementos es:

µ

N +n−1

n

Si se intenta resolver pensando que cada tipo es una bolita la cuenta es imposible de hacer con los resultados que tenemos. Sin embargo podemos considerar los tipos como casillas y cada elemento ser´a una bolita que de-ber´a caer en alguna casilla (el tipo que le corresponde). Por lo tanto por el resultado anterior se tendr´a que el total de configuraciones distintas de n

bolitas no distinguibles que se reparten en N casillas es:

µ

n+N 1

N 1

=

µ

n+N 1

n

(45)

2.6. RECURRENCIA 45

Claramente las configuraciones no son todas igualmente probables.

Ejemplo 15

(i) ¿De cu´antas maneras 3 americanos, 4 franceses, 4 daneses y 2 italianos pueden sentarse en una fila, de modo que aquellos de la misma nacionalidad se sienten contiguos?

(ii) Resolver el mismo problema si se sientan en una mesa redonda.

Resp: (i) Existen 4! ordenes posibles para que las 4 nacionalidades se ordenen en una fila. Hay 3! maneras de sentar a los americanos contiguos, 4! maneras de sentar a los 4 franceses contiguos, 2! maneras de sentar a los italianos contiguos. Por el principio de multiplicaci´on el total de maneras de sentarlos es 4!·3!·4!·4!·2! = 165,888.

(ii) Como ya se hab´ıa comentado en problemas anteriores al considerar una mesa redonda del total de 4! ordenes posibles para las nacionalidades en realidad s´olo 3! corresponden a configuraciones diferentes puesto que al rotar la mesa los vecinos no cambian. Hay 3! maneras de sentar a los 3 americanos contiguos, 4! maneras de sentar a los 4 franceses contiguos, 4! maneras de sentar a los 4 daneses y 2! maneras de sentar a los 2 italianos. Por el prin-cipio de multiplicaci´on esto da 3!·3!·4!·4!·2! = 41,472 posibles ordenes.

2.6.

Recurrencia

En esta secci´on vamos a dar una peque˜na introducci´on a algunas t´ecnicas de recurrencia que se utilizan frecuentemente para resolver problemas en probabilidades y combinatoria.

Comencemos algunos ejemplos simples. Dadon N seaPn el n´umero de

(46)

Al reemplazar recursivamente la ecuaci´on anterior encontramos la expre-si´on siguiente para el valor de Pn:

Pn= 1·Pn−1 = 1·2·Pn−2 =. . .=n!

Esto coincide con la que sab´ıamos de la secci´on de combinatoria y parece un poco exagerado resolverlo de esta manera.

El m´etodo en general lo podemos describir como sigue:

1. Se define una cantidad desconocida que depende de un ´ındice entero naturaln∈N digamos Pn.

2. Se establece el valor deP1(puede serP0) que marca el punto de partida de la recurrencia.

3. Se establece una ecuaci´on de recurrencia paraPn. Es decir una ecuaci´on

que despeja el valor de Pn en funci´on de los valores de Pk con k < n.

M´as formalmente:

Pn+1 =Fn(P1, . . . , Pn)

Establecer una recurrencia en muchos casos no es dif´ıcil y casi natural. Sin embargo encontrar la expresi´on de Pn expl´ıcitamente como funci´on de n

de la recurrencia no es una tarea f´acil en general.

Existen m´etodos para resolver estas ecuaciones de recurrencia en ciertos casos particulares que se asemejan bastante a los m´etodos de resoluci´on para ecuaciones diferenciales ordinarias.

2.7.

Ejercicios

1. ¿Cu´antas se˜nales diferentes, cada una de 6 banderas colgadas en una l´ınea vertical, pueden formarse con 4 banderas rojas id´enticas y 2 azules id´enticas?

(47)

2.7. EJERCICIOS 47

2. ¿Cu´antas permutaciones distintas pueden formarse con todas las letras de cada una de las palabras (i) tema, (ii) campana, (iii) estad´ısticas? Resp: (i) 24, (ii) 840, (iii) 12!

3!2!2!2!.

3. Cuatro libros diferentes de matem´aticas, seis diferentes de f´ısica y dos diferentes de qu´ımica se colocan en un estante. ¿De cu´antas maneras distintas es posible ordenarlos si: (a) los libros de cada asignatura deben estar todos juntos, (b) solamente los libros de matem´aticas deben estar juntos?

Resp: (a) 4!6!2!3!=207360, (b) 9!4!=8709120.

4. Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre s´ı, ¿De cu´antas formas posibles pueden ordenarse?

Resp: 10! 5!2!3!.

5. De un total de 5 matem´aticos y 7 f´ısicos, se forma un comit´e de 2 matem´aticos y 3 f´ısicos. ¿De cu´antas formas puede formarse el comit´e, si (a) puede pertenecer a ´el cualquier matem´atico y f´ısico, (b) un f´ısico determinado debe pertenecer al comit´e, (c) dos matem´aticos determi-nados no pueden estar en el comit´e?

Resp: (a) 350, (b) 150, (c) 105.

6. ¿Cu´antas ensaladas pueden prepararse con lechuga, escarola, endibia, berro y achicoria?

Resp: 31.

7. Se extraen 5 cartas de una baraja de 52 cartas. Hallar la probabilidad de extraer (a) 4 ases, (b) 4 ases y un rey, (c) 3 diez y 2 jotas, (d) un 9, 10, jota, reina, rey en cualquier orden, (e) 3 de un palo y 2 de otro, (f) al menos un as.

Resp: (a) 1 54145, (b)

1

649740, (c) 1

108290, (d) 64 162435, (e)

429 4165, (f)

18472 54145. 8. Determinar la probabilidad de aparici´on de tres seises en 5 lanzamientos

de un dado equilibrado. Resp: 125

3888.

9. A un jugador le reparten 5 cartas una tras otra de una baraja corriente de 52 cartas. ¿Cu´al es la probabilidad de que todas sean espadas? Resp: 33

Figure

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Referencias

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