v x = v. cos α v y = v. sen α

Download (0)

Full text

(1)

1

0.- Introducción al cálculo vectorial.

Magnitudes escalares y vectoriales

La gran variedad de cosas medibles (magnitudes) se pueden clasificar en dos grandes grupos:

Magnitudes escalares: Magnitudes que sólo requieren dar su valor. Por ejemplo 5,0 g ; 25 0 C ; 54,65 s

Magnitudes vectoriales: Magnitudes que para estar correctamente especificadas se requiere conocer:

Su valor, intensidad o módulo.

Su punto de aplicación.

Su dirección (representada por una recta)

Su sentido (que se representa por una punta de flecha)

Que usan para su representación flechas o vectores. Son ejemplos de éstas la velocidad, la aceleración o las fuerzas.

Suma de vectores Al sumar dos vectores se obtiene otro vector (vector suma o resultante).

Regla del paralelogramo: se construye un paralelogramo que tenga los vectores como lados y se traza la diagonal del mismo para obtener el vector suma. Si queremos obtener el valor del vector resultante, tendremos que hacer: Teorema de Pitágoras si el ángulo es 90º o 270º. Y teorema del coseno para ángulos distintos de los mencionados 90º, 270º y además 180º y 0º..

TP TC  Resta de vectores Al restar dos vectores se obtiene otro vector.

Para obtener el vector resta o diferencia se puede usar la regla del paralelogramo, teniendo en cuenta que la diferencia puede ser considerada como la suma de un vector y su opuesto:

Si queremos obtener el valor del vector resultante, tendremos que hacer el TP.:

La resta de B-A da lugar a un vector que tiene sentido contrario a A-B Si queremos saber el ángulo que forma con el eje x podemos utilizar la función tangente:

Componentes de un vector

Siempre podemos descomponer un vector en sus dos componentes. Es decir, obtener otros dos vectores perpendiculares que, actuando a la vez, produzcan el mismo efecto que el vector considerado actuando solo.

Expresión de un vector en función de los vectores unitarios.

Suma de dos vectores en función de sus componentes.

Se definen en primer lugar los llamados vectores unitarios. Estos son unos vectores que tienen módulo uno (1), cuya dirección es la de los ejes coordenados y su sentido el sentido positivo de éstos… y de la misma manera resulta muy sencillo expresar cualquier otro vector, así como la suma o resta de vectores.

Para trabajar en tres dimensiones solamente hay que definir un tercer vector unitario (k) orientado según el eje Z.

1.- Introducción:

1.1. El punto material

La cinemática es la parte de la física que se encarga del estudio de los movimientos sin tener en cuenta la causa que lo produce. La dinámica, en cambio, si tiene en cuenta dicha causa.

Se define el punto material como un objeto sin tamaño alguno pero con masa. Ya que permite hacer una descripción aproximada de sistema ignorando el tamaño y sobre todo porque hay un punto llamado centro de masas del sistema que evoluciona como si fuera una partícula con la misma masa del sistema, sometida a la acción de las fuerzas, y el estudio de su movimiento es mas simple..

2.- La posición. Para el estudio del movimiento de un punto debemos saber donde está en cada momento y eso podemos hacerlo de dos formas:

 Indicando la posición a lo largo de una trayectoria.

 Empleando un sistema de coordenadas.

2.1. La posición a lo largo de la trayectoria.

La trayectoria es el conjunto de puntos por los que pasa el punto material en su movimiento.

Posición “s”: es un punto en la trayectoria en la que se encuentra el móvil en un momento determinado.. Posición “s0”: es la posición inicial, es decir cuando t=0s.

La función s(t): es el registro de posiciones en función del tiempo y que definen la trayectoria.

A

B S AB

A A

tg ; invtg

B B

       

 A B

v vy

vx

α

X Y

j

4i 3 j

7i

v

1

 4 i  3 j

v

2

 7 i  j S  11i  4 j v

x

= v. cos α

v

y

= v . sen α

(2)

Dep. FYQ

www.elmaestrodeciencias.es

S.CH.M.

2

2.2. La posición mediante coordenadas en un sistema de referencia.

Un sistema de referencia (o de coordenadas) proporciona una forma de situar a un punto respecto a otro que hayamos establecido previamente y que sirve de referencia.

Coordenadas cartesianas: Son las formadas por los tres ejes (x,y,z) ortogonales (que forman ángulos de 90º entre sí) que nos permiten localizar un punto en el espacio; que vendría dado por un vector de posición

r   ( x , y , z )

.

Coordenadas polares: Se usan para determinar la posición de un punto que da vueltas alrededor de un punto O en el plano (X,Y), se usa el vector de posición

r   ( x , y )

y el ángulo

que forma

r

con el eje horizontal de abscisas.

2.3. El vector de posición.

El vector de posición en el instante t,

r(t )

se representa mediante una flecha que va desde el origen

) 0 , 0 , 0 (

O

de coordenadas hasta la posición del punto

P ( x , y , z )

En coordenadas cartesianas en el espacio, las componentes del vector

r   ( x , y , z )

coinciden con las coordenadas cartesianas del punto

P ( x , y , z )

.

El vector de posición

r(t )

determina la posición en función del tiempo, y los sucesivos vectores de posición van conformando la trayectoria.

2.4. El vector desplazamiento.

Definimos el vector desplazamiento entre dos puntos P y Q cuyos vectores de posición son r1 y r2

como la diferencia de estos dos vectores, así

r   r

2

r

1

El módulo del vector desplazamiento y el espacio recorrido coinciden

r    s

si la trayectoria es rectilínea y no hay cambio de sentido.

Para intervalos de tiempo muy pequeños se cumple que

r    s

3.- La velocidad. Es una magnitud que indica la rapidez con la que varía la posición de un móvil en relación al tiempo.

3.1. La velocidad media.

Para un recorrido (sin cambio de sentido) entre los puntos 1 y 2 que se inicia en t1 y finaliza en t2. Definimos la velocidad media o rapidez del movimiento como.

1 2

1 2

t t

s s t v

m

s

 

 

Definimos el vector velocidad media para un recorrido entre los puntos 0 y 1 que se inicia en t0 y finaliza en t1.como

0 1

0 1

t t

r r t v

m

r

 

  

Si el movimiento es rectilíneo entonces

v

m

v

m

3.2. La velocidad

instantánea. La velocidad instantánea será.

t v s

 

si el denominador es muy pequeño.

Y el vector velocidad instantánea será:

t v r

  

si el denominador es muy pequeño.

La definición de velocidad instantánea es más precisa cuanto menor sea el intervalo de tiempo.

Matemáticamente se define la velocidad instantánea con la función derivada.

dt r v d

  

3.3. La velocidad y el sistema de referencia.

El movimiento es relativo, depende del sistema de referencia que se use para su observación (respecto al que se mida). En los movimientos cotidianos se suele elegir un punto de la superficie de la Tierra como origen de coordenadas respecto al que medir.

4.- La aceleración. Es una magnitud que indica la rapidez con la que varía el vector velocidad de un móvil en relación al tiempo.

Para un recorrido (sin cambio de sentido) entre los puntos 1 y 2 que se inicia en t1 y finaliza en t2. Definimos el vector aceleración media como la variación del vector velocidad con respecto del tiempo

0 0

t t

v v t a v

f f

m

 

 

 

En el S. Inter., el módulo de la aceleración media se mide en m/s2

Matemáticamente se define la velocidad instantánea con la función derivada.

dt v a d

  

4.1. Componentes de la aceleración.

4.2.La aceleración tangencial.

4.3. La aceleración normal o centrípeta.

Dado que el vector velocidad puede cambiar en módulo y en dirección, definimos:

Aceleración tangencial (at): indica cómo cambia el módulo del vector velocidad con el

tiempo

u

dt dv t

a

t

v  

 

 lim 

es un vector con la misma dirección que el vector velocidad, y con el mismo sentido si el modulo de la velocidad aumenta y sentido contrario si disminuye.

Aceleración normal o centrípeta (aN): mide el cambio de la dirección del vector velocidad.

dt u v d t a

N

v

 

 ·

 

es un vector que tiene la dirección del radio de curvatura y sentido hacia

(3)

3

el centro de la curva.

La expresión que mide el módulo de la aceleración normal o centrípeta es:

R a

N

v

2

4.4 Las componentes de la aceleración también son vectores.

La aceleración tangencial es paralela a la velocidad, es decir tangente a la trayectoria y la aceleración normal es perpendicular a la aceleración tangencial y dirigida hacia el centro de curvatura.

a   a

t

a

N

aa

t2

a

N2

4.5. Clasificación de los movimientos según su aceleración.

dt u a

t

dv

R a

N

v

2

2 2

N t

N t

a a a

a a a

  

MOVIMIENTO RECTILINEO

(mru) UNIFORME

Posición: Ponemos las ecuaciones escalares, ya que MR

) )·(

( ) ( ) (

· )

(

0

s

s m m m t v s t

s     

(mruv)

UNFORM.

VARIADO

Posición: Ponemos las ecuaciones escalares, ya que MR

2 2 2 0

0

) ( ) )(

( ) ( ) (

2 ·

· 1 )

(

s s s m s m m m

t a t v s t s

Velocidad:

s s m s m s

t m a v t

v ( ) 

0

 ·  ( )  ( )  (

2

) Combinación lineal:

s m m s

m s

s m a v

v 2 · · ( ) (

2

) (

2

2 2

2 2

0

2

    

(4)

Dep. FYQ

www.elmaestrodeciencias.es

S.CH.M.

4

MOVIMIENTO

RECTILINEO

(mru)

UNIFORME

Posición:

) )·(

( ) ( ) (

· )

(

0

s

s m m m t v s t

s     

s/t v/t MRU

(mruv)

UNFORM.

VARIADO

Posición:

2 2 2 0

0

) ( ) )(

( ) ( ) (

2 ·

· 1 )

(

s s s m s m m m

t a t v s t s

s/t v/t a/t MRUV

Velocidad:

s s m s

m s

t m a v t

v ( ) 

0

 ·  ( )  ( )  (

2

)

Combinación lineal:

s m m s

m s

s m a v

v 2 · · ( ) (

2

) (

2

2 2

2 2

0

2

    

CIRCULAR

(mcu)

UNIFORME

Posición angular:

) )·(

( ) ( ) (

· )

(

0

s

s rd rd rd t

t       

Ecuaciones que ligan RC

) )·(

( ) (

·

) )·(

( ) (

·

) )·(

( ) (

·

2

2

rd

m s rd s

r m a

rd m s rd s

r m v

rd rd m m r s

ECUACIÓN DE LA ACELERACIÓN NORMAL

r r

a

n

v

2

·

2

 

 (mcuv)

UNIFORM.

VARIADO

Posición angular:

2 2 2 0

0

) ( ) )(

( ) ( ) (

2 ·

· 1 )

(

s s s rd s rd rd rd

t t

t

   

Velocidad angular:

s s rd s

rd s

t rd

t ) · ( ) ( ) ( )

(  

0

    

2

s rd rd s

rd s

rd ) ( ) ( )·

(

·

·

2

2 2

2 2

2 2

0

2

       

(5)

5

Figure

Updating...

References

Related subjects :