FUNCIONES MONÓTONAS EN UN INTERVALO Siempre aumenta en I Conserva las desigualdades en I Siempre disminuye en I Invierte las desigualdades en I

Download (0)

Full text

(1)

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

FUNCIONES MONÓTONAS

f es estrictamente creciente ⇔ ∀p q, ∈Df, p<qf p

( )

< f q

( )

Siempre aumenta Conserva las desigualdades

f es estrictamente decreciente ⇔ ∀p q, ∈Df, p<qf p

( )

> f q

( )

Siempre disminuye Invierte las desigualdades

ESTRICTAMENTE CRECIENTE ESTRICTAMENTE DECRECIENTE

FUNCIONES MONÓTONAS EN UN INTERVALO

f es estrictamente creciente en I ⇔ ∀p q, ∈I, p<qf p

( )

< f q

( )

Siempre aumenta en I Conserva las desigualdades en I

f es estrictamente decreciente en I ⇔ ∀p q, ∈I, p<qf p

( )

> f q

( )

Siempre disminuye en I

Invierte las desigualdades en I

FUNCIONES MONÓTONAS EN UN PUNTO

f es estrictamente creciente en a

( ) ( )

( ) ( )

   > ⇒ > < ⇒ < ∈ ∀ ∃ a f x f a x a f x f a x a E x a E( )/ ( ) f es estrictamente decreciente en a

( ) ( )

( ) ( )

   < ⇒ > > ⇒ < ∈ ∀ ∃ a f x f a x a f x f a x a E x a E( )/ ( )

f estrictamente creciente en a f estrictamente creciente en a

Teorema f estrictamente creciente en a ⇔ E a( ) / x E a( ) ,x a, f x

( )

f a

( )

0 x a − ∃ ∀ ∈ ≠ > − f estrictamente decreciente en a E a( ) / x E a( ) ,x a, f x

( )

f a

( )

0 x a − ∃ ∀ ∈ ≠ < −

(2)

Teorema Si f es derivable en a, entonces:

( )

>0 ′ a f ⇒ f es estrictamente creciente en a

( )

<0 ′ a f ⇒ f es estrictamente decreciente en a

Si f′ a

( )

=0, no se puede afirmar nada, podría suceder "cualquier cosa" en a: ser estrictamente creciente, estrictamente decreciente o no ser ni estrictamente creciente ni estrictamente decreciente.

( )

>0 ′ a

f es una condición suficiente para que f sea estrictamente creciente en a, pero no es necesaria. Es posible que f sea estrictamente creciente en a siendo f′ a

( )

=0.

( )

<0 ′ a

f es una condición suficiente para que f sea estrictamente decreciente en a, pero no es necesaria. Es posible que f sea estrictamente decreciente en a siendo f′ a

( )

=0.

Ejemplo: Para a=0

( )

2 x x f = f

( )

x =−x2 f

( )

x =x3 f

( )

x =−x3

( )

0 =0 ′ f f no es ni estrictamente creciente ni estrictamente decreciente en 0

( )

0 =0 ′ f f no es ni estrictamente creciente ni estrictamente decreciente en 0

( )

0 =0 ′ f f es estrictamente creciente en 0

( )

0 =0 ′ f f es estrictamente decreciente en 0

Recta tangente con pendiente positiva en a 0 t m >

( )

0 fa > f es estrictamente creciente en a

Recta tangente con pendiente negativa en a 0 t m <

( )

0 fa < f es estrictamente decreciente en a

(3)

EXTREMOS LOCALES Máximos locales Extremos locales Mínimos locales   

Los extremos locales o relativos estrictos son aquellos puntos en los que la función no es creciente ni decreciente, sino que se produce un cambio en la monotonía. Este tipo de puntos se distinguen por ser aquellos cuya imagen es la mayor o menor de todas las imágenes de los alrededores. El término “local” o “relativo” indica que el valor de la función en a, f a , es el máximo o el mínimo de los alrededores, lo cuál no excluye que haya otros más alejados

( )

de a cuya imagen sea mayor o menor que f a

( )

. Hay que distinguir entre extremo local o relativo y extremo absoluto.

f tiene un máximo local en a ⇔ ∃E a( ) /∀ ∈x E a( ) ,xa, f x

( )

< f a

( )

f tiene un mínimo local en a ⇔ ∃E a( ) /∀ ∈x E a( ) ,xa, f x

( )

> f a

( )

f tiene un máximo local en a f tiene un mínimo local en a

Teorema

Si f es derivable en a, entonces:

f tiene un extremo local en a f

( )

a = 0 El recíproco no es cierto.

( )

0

fa = ⇒/ f tiene un extremo local en a

Una condición necesaria, aunque no suficiente, para que una función, derivable en a, tenga un extremo local en a, es que f

( )

a =0.

Por lo tanto, la tangente en los extremos locales será horizontal y para determinar éstos, buscaremos los valores que anulen a la primera derivada (puntos críticos de primer orden) y éstos serán los posibles extremos locales, si los hay. Para comprobar si un punto que anule a la primera derivada es un extremo, recurriremos a uno de los siguientes criterios:

Criterio de cambio de signo de la primera derivada

( )

0

fa = y f ′ pasa de ser positiva a ser negativa en a ⇒ f tiene un máximo local en a

( )

0

(4)

Criterio de la segunda derivada

Si f y f ’ son derivables en a:

( )

0

fa = y f′′

( )

a < ⇒ f tiene un máximo local en a 0

( )

0

fa = y f′′

( )

a > ⇒ f tiene un mínimo local en a 0

Si f

( )

a =0 y f′′

( )

a =0, no podemos afirmar nada: puede ser f estrictamente creciente en a, estrictamente decreciente en a o tener un extremo local en a.

Ejemplos: En a= : 1) 0 f x

( )

=x4; 2) f x

( )

= − ; 3) x4 f x

( )

=x3; 4) f x

( )

= − x3

Si existieran las sucesivas derivadas de f, se podría estudiar con dichas derivadas.

Supongamos que f

( )

a = y k es el orden de la primera derivada no nula en a, es decir: 0

( )

( )

( )

1)

( )

... k 0 fa = f′′ a = f′′′ a = = fa = y fk)

( )

a ≠ 0 entonces: Si k es impar:

( )

) 0 k f a > ⇒ f es estrictamente creciente en a

( )

) 0 k f a < ⇒ f es estrictamente decreciente en a Si k es par:

( )

) 0 k

f a > ⇒ f tiene un mínimo local en a

( )

)

0 k

f a < ⇒ f tiene un máximo local en a

Resumiendo:

k impar ⇒ f es monótona en a

(5)

CURVATURA: CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD. Convexa CURVATURA Cóncava ∪  

Para diferenciar entre funciones convexas o cóncavas observaremos si en las proximidades del punto a la recta tangente se encuentra por debajo o por encima de la gráfica, por suponer esto una diferencia importante en la forma de la gráfica, aunque se trate de funciones con el mismo tipo de monotonía.

Ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=a

( )

( )(

)

yf a = fa xa

de donde

( )(

)

( )

y= fa xa + f a

Llamando ta

( )

x a la ordenada de la recta tangente a f en a, se tiene

( )

( )(

)

( )

a

t x = fa xa + f a y damos las siguientes definiciones:

f es convexa en a si existe un entorno de a en el que la tangente en a se encuentra por debajo de la gráfica de la

función.

f es cóncava en a si existe un entorno de a en el que la tangente en a se encuentra por encima de la gráfica de la

función. f convexa en a ⇔ ∃E a( ) /∀ ∈x E a( ) ,xa, f x

( )

>ta

( )

x f cóncava en a ⇔ ∃E a( ) /∀ ∈x E a( ) ,xa, f x

( )

<ta

( )

x f convexa en a f cóncava en a Teorema Si f y f ′ son derivables en a:

( )

0 f′′ a > ⇒ f es convexa en a

( )

0 f′′ a < ⇒ f es cóncava en a

Si f′′

( )

a =0, no se puede afirmar nada, podría suceder "cualquier cosa" en a: ser convexa, cóncava o no ser ni convexa ni cóncava.

( )

0

f′′ a > es una condición suficiente para que f sea convexa en a, pero no es necesaria. Es posible que f sea convexa en a siendo f′′

( )

a =0.

(6)

Ejemplo: Para a=0

( )

4 f x =x f x

( )

= − x4 f

( )

x =x3 f

( )

x =−x3

( )

0 0 f ′′ = f es convexa en 0

( )

0 0 f ′′ = f es cóncava en 0

( )

0 0 f ′′ = f no es ni convexa ni cóncava en 0

( )

0 0 f ′′ = f no es ni convexa ni cóncava en 0 PUNTOS DE INFLEXIÓN

Los puntos de inflexión de una función f son aquellos en los que la tangente atraviesa a la gráfica. En ellos la función no es ni convexa ni cóncava sino que se produce un cambio en la curvatura, de cóncava a convexa o viceversa.

Como f no es convexa ni cóncava en un punto de inflexión a:

f y f ′ derivables en a ⇒

( )

( )

no es convexa en 0 no es cóncava en 0 f a f a f a f a ′′  ⇒ > /    ′′ </      ⇒ f′′

( )

a = 0 Teorema Si f y f ′ son derivables en a:

f tiene un punto de inflexión en a f′′

( )

a = 0 El recíproco no es cierto.

( )

0

f′′ a = ⇒/ f un punto de inflexión en a

Una condición necesaria, aunque no suficiente, para que una función dos veces derivable en a, tenga un punto de inflexión en a, es que f′′

( )

a = . 0

Por lo tanto, para determinar los puntos de inflexión, buscaremos los valores que anulen a la segunda derivada (puntos críticos de segundo orden) y éstos serán los posibles puntos de inflexión, si los hay.

Para comprobar si un punto que anule a la segunda derivada es un punto de inflexión, recurriremos a uno de los siguientes criterios:

Criterio de cambio de signo de la segunda derivada

Si la segunda derivada cambia de signo en a, f tiene un punto de inflexión en a.

( )

0

f′′ a = y f ′′ pasa de ser negativa a ser positiva en a ⇒ f tiene un punto de inflexión en a

Punto de inflexión cóncavo-convexo

( )

0

f′′ a = y f ′′ pasa de ser positiva a ser negativa en a ⇒ f tiene un punto de inflexión en a

(7)

Criterio de la tercera derivada

Si f , f ′ y f ′′ son derivables en a:¨

( )

0

f′′ a = y f′′′

( )

a ≠0 ⇒ f tiene un punto de inflexión en a

( )

0

f′′ a = y f′′′

( )

a > ⇒ f tiene un punto de inflexión cóncavo-convexo en a 0

( )

0

f′′ a = y f′′′

( )

a <0 ⇒ f tiene un punto de inflexión convexo-cóncavo en a

Si f′′

( )

a = y 0 f′′′

( )

a = , no podemos afirmar nada: puede ser f convexa en a, cóncava en a o tener un punto de 0 inflexión en a.

Ejemplos: En a= : 1) 0 f x

( )

=x4; 2) f x

( )

= − ; 3) x4 f x

( )

=x3; 4) f x

( )

= − x3

Si existieran las sucesivas derivadas de f, se podría estudiar con dichas derivadas.

Supongamos que f′′

( )

a =0 y k es el orden de la primera derivada no nula en a, es decir:

( )

= ′′′

( )

= = 1)

( )

=0 )

( )

≠0 ′′ − a f y a f a f a fk k entonces: Si k es par: fk)

( )

a >0 ⇒ f es convexa en a ∪ fk)

( )

a <0 ⇒ f es cóncava en a ∩ Si k es impar:

fk)

( )

a >0 ⇒ f tiene un P.I. cóncavo-convexo en a fk)

( )

a <0 ⇒ f tiene un P.I. convexo-cóncavo en a

Figure

Updating...

References

Related subjects :