Cálculo Integral, 4ta Edición - Fuenlabrada

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Cua

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ón

Cálcu

lo

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ral

Sam

uel Fuenlabrada Trucios

Instituto Politécnico Nacional

Irma Rosa Fuenlabrada

Velázquez

Departamento de Investigaciones Educativas Centro de Investigación y de Estudios Avanzados

Instituto Politécnico Nacional

Revisor técnico Ing. Sabino Keb Queb Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (ESIME)

Instituto Politécnico Nacional

méxico • bogotá • buenos aires • caracas • guatemala • madrid • nueva york san juan • santiago • sao paulo • auckland • londres • milán • montreal

nueva delhi • san francisco • singapur • st. louis • sidney • toronto

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Editora: Irma Pérez Guzmán

Supervisora de producción: Marxa de la Rosa Pliego Diseño de portada: Paulina Olguín /Factor02

Cálculo integral

Cuarta edición

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS © 2013, 2007 respecto a la cuarta edición por: McGRAW-HILL INTERAMERICANA EDITORES, S.A. de C. V.

Punta Santa Fe,

Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A, Piso 17, Col. Desarrollo Santa Fe,

Delegación Álvaro Obregón C. P. 01376, México, D. F.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg. No. 736

ISBN: 978-607-15-0897-3

(ISBN 978-970-10-6195-4 tercera edición)

Agradecemos la lectura, los comentarios y las sugerencias del M. en C. Josueth Vázquez Román, Jefe de la Academia de matemáticas de la DGETI del Distrito Federal y profesor de matemáticas en el CETIS 50.

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Impreso en México Printed in Mexico

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Presentación

difícilmente se puede estar en desacuerdo con las propuestas educativas de la re

-forma integral de la educación media superior (riems), uno de cuyos pilares es el enfoque por competencias, que sustenta el marco curricular común, el cual, a su vez, sirve de punto de contacto de las instituciones educativas que están formando el sistema nacional de bachillerato.

al margen de la nueva terminología (por ejemplo, competencias genéricas, dis

-ciplinares y profesionales), los maestros siempre hemos querido que tú y todos los

alumnos accedan al conocimiento y pongan a prueba lo que han aprendido resol

-viendo problemas diversos; más aún, en el fondo quisiéramos promover en ti el gus

-to no sólo por la matemática sino también porque aprendas por iniciativa e interés propio.

sin embargo, una y otra vez los profesores comprobamos que la mayoría de

los estudiantes no tienen los conocimientos que supuestamente deberían haber ad

-quirido en niveles educativos anteriores y que más que gusto por el conocimiento matemático lo padecen como un mal necesario.

en cierta medida, ello se debe a que por un lado tenemos la cultura de los refor

-madores de la educación, que suelen presuponer la existencia de una escuela unifor

-me e independiente de particularidades contextuales, y por el otro, la cultura de los profesores frente al grupo.

en este marco, ¿qué te ofrecen los libros de matemáticas de la serie fuenla

-brada? ¿cómo puedes usarlos para desarrollar las competencias propuestas por la riems a la que nos referimos al principio de esta presentación?

para empezar, los libros de la serie tienen en cuenta las condiciones que encaran a diario los docentes en el aula, de quienes hay que señalar que en general asumen

con la mejor disposición la responsabilidad de modificar, en lo que está en sus ma

-nos, la enseñanza de la matemática a fin de posibilitar mejores aprendizajes.

estos libros son resultado de más de 30 años de práctica docente e investigación sobre el hacer y deshacer de los alumnos en el proceso de aprendizaje. en esta 4a.

edición se han hecho ajustes y reformulaciones del contenido temático y se han in

-corporado nuevos ejercicios.

en cada capítulo se hace una breve síntesis del contenido y su utilidad; los te

-mas se desarrollan mediante demostraciones que permiten la comprensión de los conceptos, los cuales se presentan en un lenguaje claro y accesible y con el apoyo de

diversos problemas resueltos (ejemplos). asimismo, se destacan las relaciones (fór

-mulas) empleadas en demostraciones posteriores y para la resolución de problemas. los textos resultan comprensibles para los alumnos como tú porque en ellos se incorporan, en la explicación y en la ejemplificación de los temas, conocimientos que debiste adquirir en cursos anteriores pero que a veces los estudiantes suelen no recordar o no los aprendieron bien, lo cual es la causa por la que no comprenden los nuevos conceptos que están aprendiendo.

en todos los capítulos hay dos secciones: "ejercicios" y "ejercicios de repaso"; en la primera se plantean problemas relacionados directamente con los contenidos recién estudiados, mientras que la segunda es una selección de ejercicios ilustrativos de los principales temas estudiadas en el capítulo.

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Dedicatoria

todos los ejercicios y problemas propuestos tienen los resultados respectivos, de modo que cuando los estudies puedas confrontar contra ellos lo que tú obtienes por respuesta y, en caso de que sean diferentes, sostengas al respecto un diálogo reflexivo con tu maestro y con tus compañeros.

se incorpora en esta nueva edición una sección denominada "lo que debes sa

-ber", en la que se presenta una lista de conceptos clave que debes haber aprendido al terminar de estudiar cada capítulo; en caso de no tener claridad sobre alguno de ellos, en esta sección puedes estudiarlos de nuevo.

fundamentalmente, con todo lo anterior se busca que, con la coordinación de tu profesor, durante la clase atiendas y participes en la discusión de ideas, plantees dudas y prestes atención a las explicaciones del maestro o de tus compañeros. Que tomes notas puntuales de lo que se está estudiando y de lo que llame tu atención

para que, posteriormente, consultes los libros otra vez con la certeza de que ahí ha

-llarás expuestos los conceptos explorados en clase.

en suma, ten la seguridad de contar con un libro escrito en un lenguaje adecua

-do a tu nivel en el que podrás revisar ejemplos y resolver ejercicios y problemas, lo que te permitirá afianzar y enriquecer tu conocimiento.

así, con los libros, las explicaciones del profesor y tu disposición por aprender se tenderá un puente que permitirá realizar cabalmente la reforma en la educación.

Los autores

“aprender algo es el más grande los placeres, no solamente para el filósofo, sino también para el resto de la humanidad, por pequeña que sea su capacidad para ello.”

para mis hijos: aristóteles

maría del consuelo y gustavo alberto, leitmotiv de mi vida.

para mi pequeño nieto emilio

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Características del libro

este libro consta de 15 capítulos, más un apartado de formulario. a continuación presentamos esquemáticamente la definición, organización y las características de cada sección que integra cada capítulo:

Entrada de capítulo

apertura del capítulo inicia con una breve introducción del tema a tratar.

Ejercicios

aparecen después de haber estudiado un tema con extensión y complejidad considerables.

144 Cálculo integral 1. Para que puedas entender

mejor la diferencia con las integrales trigonométricas directas, completa el desarr

ollo que falta en los ejer cicios siguientes: a) ∫cos 3 2(+x dx)

Solución:1 2sen(3+2x)+C

u x u x x du x dx

= + ( )= + ( )= 32 32 2

b) tan 2 tan sec 1

2 2 2 x dx x x − − ( ) = ∫

Solución:tan(x−2)− +xC

2. Integra. Se incluyen algunas integr ales trigonométricas directas. a) ∫3cos25x dx

Solución:3 2x+203sen10x+C

b) ∫tan43x dx

Solución: 1 9 3 1

3 3 3 tanx−tanx+ +xC

c) sen3

2x dx

Solución:−12cos2x+61cos32x+C EJERCICIOS

Formulario

Integrales

1. ∫kdx=kx+C

2. ∫kf (x)dx=kf (x)dx+C

3. ∫[f (x) ±g(x)]dx=∫f (x)dx± ∫ g (x) dx

4. ∫[f (x)g(x)]dx= ∫ f (x)dx ∫ g (x) dx

5. u du u n C n n n

= ++ ≠ −

+

∫ 1 1 , con 1

6. u du du u uCL uC

= = + = +

∫ ∫1

ln

7. ∫sen udu=− cos u+C

8. ∫cos udu= sen u+C

9. ∫sec u tan udu= sec u+C

10. ∫sec2udu= tan u+C

11. ∫csc u cot udu=− csc u+C

12. ∫csc2 udu=− cot u+C

13. du a u uaC

22= +

∫ arc sen

14. du

a u a uaC

2+2=1 + ∫ arc tan

15. du u u a a auC

2 2

1

− = +

∫ arc sec

16. ∫ eudu=eu+

C

17. a du aa C u u =    + ∫ 1 ln

18. ∫tanu du=ln secu+C

19. ∫cotu du=lnsenu+C

20. sec ln sec tan

u du= u+ u+C

21. csc ln csc cot

u du= uu+C

22. du u2a2 1auuaaC

2 − = −++ ∫ ln

23. du a2u2 a1aauuC

2

− = −++

∫ ln

24. du u2a2= u+u2−a2+C

∫ ln La integración definida

en el cálculo de volúmenes

Sólido de revolución

Sea f una función no negativa en un intervalo cerra-do [a, b].

y a bx

y = f(x) O Si se gira esta región del plano alrededor

de cualquiera de los ejes del plano car-tesiano o de una recta del plano, al sólido resultante se le conoce como

sólido de revolución y al eje citado como eje de revolución

. Eje de revolución El volumen de un sólido de revolución se puede calcular por el método del disco

.

Método del disco para calcular el volumen

El caso más sencillo de un sólido de r

evolución es aquel en que un rectángulo gira alrededor de uno de sus lados.

r Δw

Uno de sus lados es el eje de revolución. Rectángulo donde r es el radio y w es su ancho.

CAPÍTULO 15

Capítulo 3 Integración de una función compuesta 39 Ejercicios de repaso

1. Calcula las siguientes integrales: a) ∫dx

Solución: x + C

b) ∫dxx

Solución: lnx+C

c) x dx3 4

Solución:47

3 4

x x+C

d) ∫5x dx3

Solución: 5 4 4 x+C

e) ∫2bx dx3

Solución: b x C 2

4+ f) x x

x xdx 4 2 3 2 1 1 − + −     ∫

Solución:x x x xC 5 3 2 5 3 1 2 1 − − ++

Ejercicios de repaso

con los ejercicios de esta sección concluyes el estudio de cada capítulo, los planteamientos de este apartado incluyen aplicaciones en todos los temas analizados. sirve como una herramienta de autoevaluación y guía de estudio.

Formulario

al final de tu libro encontrarás un formulario que te ayudará a identificar las operaciones básicas de la asignatura.

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Contenido

Capítulo 1 Diferenciales 1

Introducción 1

Consideraciones generales 1

Diferenciales 2

Interpretación geométrica de la diferencial 4

Diferenciación implícita 7

Diferenciales sucesivas de una función 8 Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 13

Introducción 13

Antiderivada 13

Definición 13

Integral indefinida 14

Fórmulas de derivación. Fórmulas de integración 15 Conceptos básicos de la integración 17 Capítulo 3 Integración de una función compuesta 27

Introducción 27

Sustitución por cambio de variable 27 Deducción de fórmulas para derivar integrales

de la forma

tanx dx,

cotx dx,

secx dx,

cscx dx 32

Capítulo 4 Constante de integración 45

Introducción 45

Cálculo de valor numérico de la constante C 45 Significa geométrico de la constante de integración 49 Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 51

Introducción 51

Recordatorio de trigonometría 51 Algunos procedimientos de integración de las funciones

trigonométricas directas 52

Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas 77

Introducción 77

Fórmulas de integración de funciones trigonométricas inversas 77 Algunos procedimientos de integración de las funciones

trigonométricas inversas 77

El integrando se expresa como la suma

de dos cocientes 79

Capítulo 7 Integrales inmediatas. Funciones exponenciales y logarítmicas 99 Fórmulas de integración exponencial 99 Fórmulas de integración logarítmica 108

Resumen de las integrales 125

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(8)

contenido vii

Capítulo 8 Métodos de integración. Integración de funciones

trigonométricas 127

Introducción 127

Algunos procedimientos de solución 127 Integración de la forma

sen um cosnu du

128 Integración de la forma

tanmusecnu du

133 Integración de la forma

cotmu cscnu du

135 Integración de la forma

senmucosnu du

137 Capítulo 9 Métodos de integración. Integración por partes 147

Fórmula de integración 147

Procedimiento de integración por partes 147 Capítulo 10 Métodos de integración. Integración por sustitución

trigonométrica 167

Desarrollo de la expresión a2 x2 = acosθ

168 Desarrollo de la expresión a2 +x2 = asecθ

169 Desarrollo de la expresión x2 a2 = atanθ

170 Procedimiento para resolver una integral

por sustitución trigonométrica 171 El integrando incluye una expresión de la forma a2 x2

172 El integrando incluye una expresión de la forma a2 +x2

176 El integrando incluye una expresión de la forma x2 a2 179

Capítulo 11 Métodos de integración. Integración por fracciones parciales 185

Introducción 185

El resultado de la integración de una función racional impropia puede expresarse como la suma de un polinomio y de una

función racional propia 185

Caso 1. Todos los factores lineales del denominador

son distintos 187

Caso 2. Algunos de los factores lineales del denominador

se repiten 191

Caso 3. Todos los factores cuadráticos (irreducibles)

del denominador son distintos 193 Caso 4. Algunos factores cuadráticos (irreducibles)

del denominador se repiten 195

Capítulo 12 Métodos de integración. Integración por racionalización 215

Introducción 215

Racionalización de expresiones que incluyen potencias fraccionarias de a + bx, como a bx p q a bx r t

+

(

)

,

(

+

)

215

Racionalización de expresiones que únicamente 217 incluyen una potencia fraccionaria de x 217

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(9)

Racionalización de expresiones que incluyen diferentes potencias fraccionarias de x, como xa b, xc d

219 Racionalización de expresiones que incluyen una potencia

fraccionaria del tipo

(

a +bx

)

m n

224 Racionalización de expresiones que incluyen funciones

racionales de sen u y de cos u en el denominador 227

Capítulo 13 La integral definida 233

Antecedentes históricos 233

Suma de Riemann 235

Propiedades de las sumas de Riemann 237 Fórmulas de las sumas de Riemann 237 Sumas de Riemann notación con sigma 238 Áreas (interpretación intuitiva) 240 Integración definida como el límite de una suma

(interpretación intuitiva) 241 Sumatorias de Riemann (continuación) 243 La integral definida como límite de las sumatorias

de Riemann 247

Procedimiento para calcular la integral definida 247 Integrales definidas por cambio de variable

(cálculo de nuevos extremos) 250

Capítulo 14 La integral definida en el cálculo de áreas 255 Teorema fundamental del cálculo 255

Áreas 255

Áreas entre dos curvas en un intervalo 263

Capítulo 15 La integración definida en el cálculo de volúmenes 273 El sólido de revolución con un agujero.

El método de las arandelas 279 Longitud de un arco (curva) 283

Formulario 287

Integrales 287

Diferenciales 288

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(10)

Diferenciales

CAPíTULO

1

Introducción

En este capítulo analizaremos la diferencial de una función. Para resolver integrales es necesario aplicar un procedimiento llamado cambio de variable, en el cual se requie-re calcular la diferequie-rencial de la exprequie-resión seleccionada. La integral ∫ cos 2xdx se resuelve por cambio de variable.

Consideraciones generales

En cálculo diferencial aplicamos una regla general de derivación conocida como derivada por definición. Con esta regla podemos obtener las fórmulas para derivar todo tipo de funciones.

En cálculo integral, sin embargo, no existe una regla general que se pueda apli-car para integrar las diferenciales. En realidad, cada caso requiere un trato especial. La integración es un proceso de ensayos; por esa razón, en este libro te presentare-mos diversas fórmulas y métodos para facilitar su estudio.

Los científicos y los matemáticos que usan integrales en su trabajo utilizan con frecuencia las tablas de integrales. Sin embargo, muchas de las fórmulas que apare-cen en ellas se obtuvieron a partir de los métodos de integración que analizaremos en este texto. Por eso te recomendamos no utilizar estas tablas hasta que hayas de-sarrollado suficiente experiencia en los métodos de integración normales. Además, te sugerimos no mecanizar los métodos, sino que trates de entenderlos dentro de la estructura general del cálculo. Es conveniente que resuelvas sólo los ejercicios propuestos y los que señale tu profesor. Si tienes dificultad con algunos, insiste en obtener la solución; revisa la parte teórica y los ejemplos desarrollados para aclarar y afirmar tu conocimiento.

Consideramos oportuno citar algunos conceptos de René Descartes, quien en uno de sus libros señala: “Separar y jerarquizar las dificultades procediendo de la menor a la mayor cuando se aborda un tema nuevo (…)”.

En efecto, es recomendable que la enseñanza se plantee bajo un esquema gradual de dificultad. Hay profesores que por impresionar a sus alumnos empiezan por los temas más difíciles y dejan hasta el último los más sencillos. “Conviene dirigir toda la fuerza del espíritu a las cosas más sencillas y fáciles de entender y detenerse en ellas largo tiempo hasta acostumbrarse a intuir la verdad con claridad y distinción”.

Una vez que tienes un conocimiento firme o eres capaz de manejar los métodos para resolver un problema, debes practicar y trabajar con ese conocimiento el tiem-po que sea necesario para dominarlo. Sólo hasta entonces serás capaz de resolver otros problemas semejantes e incluso de mayor complejidad.

Si no comprendes el desarrollo de un problema y sólo lo repites, caerás en una mecanización que no te brindará ningún beneficio, pues por sí sola, la repetición causa entorpecimiento.

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El estudio de la parte teórica y de los ejercicios de este libro te facilitará la so-lución de los problemas que tu profesor te dicte y que seguramente propondrá para el examen.

En cálculo diferencial dividimos infinitesimalmente una línea, un área, un vo-lumen o cualquier otro cuerpo multidimensional representado por una ecuación; es decir, hacemos divisiones cada vez más pequeñas. En cálculo integral, por el con-trario, la suma total de estas divisiones se acerca cada vez más al resultado que se desea: una distancia, un área, un volumen o cualquier otro parámetro.

El cálculo es una disciplina sencilla en sus conceptos fundamentales, pero difícil y compleja en su aplicación.

En el libro Cálculo diferencial, los autores definen:

“La derivada de una función con respecto a una variable es el límite del incre-mento de la función entre el increincre-mento de la variable cuando el increincre-mento de la variable tiende a cero.

Se expresa:

derivada = = lím ∆ ∆ ∆ → dy dx

y x x 0

Cuando el límite de la razón existe, se dice que la función tiene una derivada”.

Diferenciales

Definición

La diferencial de una función es el producto de la derivada de la función por el incre-mento de la variable independiente.

Para expresar la diferencial de una función usamos la letra d colocada antes de la función.

a) Sea la función y = x4

Su primera derivada es y= 4x4 1− =4x3 Su diferencial se expresa

dy = 4x3∆x

b) Calcula la diferencial de la función

y = 3x2 para x = 4 y el Dx = 0.2

y x x

dy x x

′ =

( )

=

= ∆

3 2 6

6

Sustituyendo:

d x

( )

3 2 = 6 4 0 2

( )( )

. = 4 8. EJEMPLOS 1

d

dxx nx n = n−1

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(12)

Capítulo 1 Diferenciales 3

Para expresar la derivada de una función podemos utilizar cualquiera de las formas siguientes:

Df (x) Cauchy f ′ (x) Lagrange

y ′ Lagrange dy

dx Leibnitz (Se lee “derivada de y con respecto a x”) Por lo tanto:

derivada = = lím ∆

∆ =

( )

=

( )

= ∆ →

dy dx

y

x Df x f x y

x 0 ′ ′

Sea la función y = f (x)

La primera derivada se expresa así: dy

dx= f x

( )

Si multiplicamos ambos miembros por dx, tenemos:

dy = f ′(x)dx

la cual aceptamos como otra definición de la diferencial de una función y se lee: la diferencial de una función es igual al producto de la derivada por la diferencial de la variable independiente.

a) Calcula la diferencial de y = 5x3 − +x 2

y x x

y x

d x x x dx

= − +

= −

− +

(

)

=

(

)

5 2

15 1

5 2 15 1

3 2

3 2

b) Calcula la diferencial de y = 1−3x

y x

y

x

d x dx

x

= −

= − −

(

)

= − − 1 3

3 2 1 3

1 3 3

2 1 3 ′

EJEMPLOS 2

Una vez señalada la función de la que hay que obtener su diferencial, debemos calcular su primera derivada.

d dxx d dxC

=

=

1

0

d dx u

du dx u =

2

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(13)

Interpretación geométrica de la diferencial

En la gráfica de la función y = f (x) observamos:

AD x

CD y

= ∆ = ∆

D

C dy

A

x

x

y

α

α ∆x

x + ∆x B

E F

O y

x

En el triángulo rectángulo ADB

tan

tan

α

α ∆ ′

=

= =

( )

BD AD

BD AD xf x (1)

Al considerar la definición inicial de la diferencial tenemos:

dy = ′ ( ) ∆f x x de donde en (1)

dy = BD

La diferencial de una función y = f (x) en un punto es el incremento de la tangente a la curva en ese punto.

Entonces, de acuerdo con la gráfica anterior: ∆ =y CD dy; = BD serán aproxi-madamente iguales cuando ∆ =x AD sea muy pequeño.

Calcula la diferencia de la función y = 5x2 para x = 4 y el Dx = 0.2

y x

y x

= =

5

10

2

′ Sustituyendo:

dy f x x

d x

=

( )

( )

=

( )( )

=

5 2 10 4 0 2. 8 0.

EJEMPLO 3

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(14)

Capítulo 1 Diferenciales 5

a) Calcula el incremento aproximado del área de un cuadrado, cuyo lado mide 5 m, si éste recibe un aumento de 0.002 m.

Fórmula del área de un cuadrado: A = l 2

l = 5 m Dl = 0.002 m

El área del cuadrado depende de la magnitud del lado, por lo que decimos que el área es función del lado

A = f (l) = l 2 A ′ = f ′(l) = 2l dA = f ′(l)  dl dA = 2l × dl

dA = 2(5)(0.002) = 0.020 m2 Incremento = 0.020 m2

b) Determina el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo, cuyo lado mide 2 m, al aumentar el lado 0.003 m.

Fórmula del volumen de un cubo v = l 3

l = 2 m Dl = 0.003 m

v ′ = f ′(l) = 3l 2

dv = f ′(l)dl dv = 3l 2× dl

dv = 3(2)2(0.003) = 0.036 m3 Incremento = 0.036 m3 c) Si 36 = 6, calcula el valor aproximado de 38.

Función:

y x

x =

=

∆ = − =

36 6

38 36 2

y x

y f x

x dy f x dx

=

=

( )

=

=

( )

′ ′

1 2

dy dx

x

= = = =

= + =

2

2 2 36

1

6 0 166

38 6 0 166 6 166

.

. .

EJEMPLOS 4

Problemas que se resuelven en forma aproximada,

calculando el incremento de una función

Los números reales tienen estructura de campo.

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(15)

Fórmulas de diferenciación

Considerando que la diferencial de una función es el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente, aceptamos que a cada fórmula de deri-vación desarrollada en el curso de cálculo diferencial le corresponde una diferencia-ción, la cual citamos a continuación:

En las fórmulas que siguen u y v son funciones de x, C es una constante y n un número natural.

a) Calcula d x

(

5 2 2x+4

)

Primero aplicamos la fórmula 3; para el primer y segundo términos aplicamos las fórmulas 4 y 6. Para el último término aplicamos la fórmula 1.

d x

(

5 2 2x+ 4

)

= d x

( )

5 2 d

( )

2x + d

( )

4 = 10xdx 2dx Factorizando dx:

=

(

10x−2

)

dx EJEMPLOS 5

1. d(C) = 0(dx) = 0

2. d(x) = 1(dx) = dx

3. d(u + v − w) = du + dv − dw

4. d(Cu) = C du

5. d(uv) = udv + vdu

6. d(un) = mun − 1du

7. d u v

vdu udv v

  = −2

8. d(sen u) = cos u du

9. d(cos u) = −sen u du

10. d(tan u) = sec2 u du

11. d(cot u) = −csc2 u du

12. d(sec u) = tan u sec u du

13. d(csc u) = −cot u csc u du

14. d u du

u arc sen

(

)

=

1 2

15. d u du

u arc cos

(

)

= −

1 2

16. d u du

u arc tan

(

)

=

+

1 2

17. d u du

u

arc cot

(

)

= −

+

1 2

18. d u du

u u arc sec

(

)

=

2 1

19. d u du

u u arc csc

(

)

= −

2 1

20. d u du u ln

( )

=

21. d u du u b b

log

ln

(

)

=

22. d(eu) = eudu

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(16)

Capítulo 1 Diferenciales 7

b) Calcula d x + x

 sen  2

Primero aplicamos la fórmula 3; para el primer término aplicamos la fórmula 2 y para el segundo término aplicamos la fórmula 8.

d x x d x d x

dx x +     =

( )

+     = +    sen sen 2 2 1 2 cos 

   = +    d

dx x dx

dx x dx

2 2 1 2 cos factorizando dx: =  + 

1 1 

2cos2x dx

Diferenciación implícita

Hecha la derivación se despeja dy:

Diferenciar

x y y

x y y

d

dx x y y d dx d x dx d − = − − = − −

(

)

=

( )

( )

5 2

5 2 0

5 2 0

5 2 2 2 yy dx d y dx y dy dx dy dx dy dx y 2 2 0

1 10 2 0

10 2

( )

( )

= − − = − −

(

)

= −− −

(

+

)

= − 1

10 2 1

dy dx y

EJEMPLO 6 Multiplicando por −1

dy dx y

dy y dx

10 2 1

10 2 1

+

(

)

= +

(

)

=

( )

Como: 1 10 2 dx dx dy dx y

( )

= = +

01_Calculo_Integral.indd 7 07/04/13 11:48

(17)

Diferenciales sucesivas de una función

La segunda diferencial de una función es la diferencial de la primera, considerando para dx un valor fijo.

dy f x dx

d y f x d x

=

( )

=

( )

′ ″

2 2

La tercera diferencial resulta igual a la diferencial de la segunda (si dx es constante) y así sucesivamente.

Calcula la tercera diferencial de y = 4x5 −5x2 −1

d 4x 5x 1 20x 10x dx

5 2 4

(

)

=

(

)

d2

(

4x5 5x2 1

)

=

(

20x4 10x dx

)

=

(

)

− −

(

)

= 

(

)

80 10

4 5 1 80 10

3

3 5 2 3 2

x dx

d x x d x d x

= 240x d x2 3 EJEMPLO 7

Para que evalúes tus conocimientos, revisa los conceptos clave estudiados en este capítulo, que se enlistan a continuación, ¿sabes a qué se refieren? Si tienes dudas, ¡estúdialos nuevamente!

• Regla de los cuatro pasos • Integración

• Tablas de integrales • Diferencial de una función

Lo que debes saber

f x u

du dx

u x

x

( )

= ′

= ∆

∆ →lím0

01_Calculo_Integral.indd 8 07/04/13 11:48

(18)

Capítulo 1 Diferenciales 9

Ejercicios de repaso

1. Calcula las diferenciales de las siguientes funciones:

a) y = 5x2 Solución: dy = 10x dx

b) y = 3x4 −5x3 +4x −1 Solución: dy =

(

12x3 15x2 +4

)

dx

c) y = 3−5x Solución: dy =

5 2 3 5

dx x

d) y = 3

(

x − 4

)

2 Solución: dy = 2 33 4

dx x

e) y = senx Solución: dy = cosxdx

x 2 sen 1 2

f) y = tan 2x Solución: dy = 2sec22xdx

01_Calculo_Integral.indd 9 07/04/13 11:48

(19)

g) y

x

= cos 3 Solución: dy = 3

3

2 sen

x dx x  

 

h) f x x x

( )

=

− 3

1 Solución: f (x) dx =

3 2

1 1

(

)

(

)

(

)

x dx

x x

i) y = tanx− 2x Solución: dy =

(

sec2x 2

)

dx

j) y x

a

= arc sen Solución: dy = dx

a2 x2

k) y = arc cotx2 Solución: dy = + 2

1 4

xdx x

l) y = arc cosx

3 Solución: dy = − −

dx x

9 2

m) y =

(

3x3 −1

)

Solución: dy = 9x dx2

01_Calculo_Integral.indd 10 07/04/13 11:48

(20)

Capítulo 1 Diferenciales 11

n) y = 2 x 2

sen Solución: dy = cosx dx

2

o) y = lnx2 Solución: dy = 2

xdx

p) y = arc cos 2x Solución: dy = −

− 2 1 4 2

dx x

q) Calcula el valor aproximado de 39 si 36 = 6 Solución: 6.25

r) Determina el valor aproximado de 3129 si 3125 = 5 Solución: 5.053

s) Calcula el incremento del área de un cuadrado de lado 7 m al aumentar el lado 3 mm. Solución: DA = 0.042 m2

t) Calcula el incremento aproximado del volumen de un cubo de lado 5.3 m al aumentar el

lado 0.007 m. Solución: DV = 0.589 m3

01_Calculo_Integral.indd 11 07/04/13 11:48

(21)

u) Determina el valor aproximado en el aumento que tendrá el área de una esfera de 8 cm de radio cuando el radio aumenta 3 cm. Solución: DA = 603.19 cm2

2. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) La expresión dy

dx = f x

( )

representa la diferencial de la función f(x).

b) dy = f x dx

( )

es igual a dy = f x

( )

x.

c) Para calcular la diferencial de una función no es necesaria la derivada de la función.

d) Es imposible calcular la diferencial de funciones implícitas.

Solución: a) Falsa b) Verdadera c) Falsa d) Falsa 3. Resuelve aplicando las diferenciales

a) Calcula el valor aproximado de 27 Solución: 5.2

b) Calcula el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado de 60 cm, si éste

recibe un aumento de 0.5 cm. Solución: DA = 30 cm2

01_Calculo_Integral.indd 12 07/04/13 11:48

(22)

Antiderivadas.

Integración indefinida

Introducción

Para estudiar el crecimiento de las poblaciones, los expertos utilizan la fórmula dy

dt = ky. Si la población (y) crece cuando aumenta el tiempo (t), se aplica la ley de cre-cimiento natural. Si la población disminuye mientras transcurre el tiempo, se aplica la ley de decrecimiento natural. La fórmula que se utiliza para estos cálculos es una derivada y para encontrar la función que pueda aplicarse a un determinado problema, necesitamos expresarla primero como una ecuación diferencial dyy = kdt y después integrar cada miembro de la igualdad, quedando de la siguiente manera: dy

y =

k dt

.

CAPÍTULO

2

Antiderivada

La adición y la sustracción son operaciones inversas, al igual que la división y la multiplicación; lo mismo se puede decir de elevar una potencia y extraer la raíz correspondiente. En cálculo diferencial estudiamos el problema para obtener la de-rivada f ′(x) de una función f (x).

Ahora nos ocuparemos del problema inverso, es decir, dada la derivada f ′(x) trataremos de obtener la función f (x).

Definición

A una función F se le llama antiderivada de una función f, en un intervalo cerrado I, si F ′(x) = f (x) para todo valor de x en el intervalo cerrado.

Por comodidad, este concepto se expresa con la frase “F (x) es una antiderivada de f (x)”.

Las expresiones integral indefinida y función primitiva son sinónimos de la pala-bra antiderivada.

a) Integra las siguientes expresiones:

• 3x dx2 es la diferencial de x3

x3 es la antidiferencial de 3x dx2

• −sen xdx es la diferencial de cos x

cos x es la antidiferencial de −sen xdx

EJEMPLOS 1

02_Calculo_Integral.indd 13 07/04/13 11:53

(23)

Las funciones (1, 2 y 3) representadas por f (x) = x4+C, donde C es una constante (un número real no especificado) tienen por derivada F x

( )

= 4x3.

Integral indefinida

A la operación de calcular la antiderivada (primitiva) de una función se le llama

integración y se denota con el símbolo ∫, que es la inicial de la palabra suma.

Si F (x) es una función primitiva de f (x) se expresa:

y =

f x dx

( )

= F x

( )

+C si y sólo si F ′(x) = f (x) La expresión

f x dx

( )

es la antiderivada de f (x)

∫ es el signo de integración y se lee "integral de"

f (x) Integrando

dx Diferencial de la variable

x Variable de integración

F(x) Función primitiva

C Constante de integración si en la expresión

y =

f x dx

( )

= F x

( )

+C (1)

y como en la definición de la antiderivada señalamos que F ′(x) = f (x), sustituimos en la expresión anterior:

( )

=

( )

+

F x dx f x C queda:

d

dx f x dx d

dx F x C

f x F x

( )

  =

[

( )

+

]

( )

=

( )

Dado que la derivación y la integración son operaciones inversas, podemos obtener las fórmulas de integración directamente de las fórmulas de derivación.

b) Deriva las siguientes expresiones: • f x

( )

= x4

F x

( )

= 4x3 • f x

( )

= x4 −6

F x

( )

= 4x3

f x

( )

= x4 + 4 5 F x

( )

= 4x3

02_Calculo_Integral.indd 14 07/04/13 11:53

(24)

Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 15

Fórmulas de derivación. Fórmulas de integración

d

dxk = 0

• La derivada de una constante respecto a x es cero. d

dxkx k dx d

dx kf x kf x =

( )

[

]

= ′

( )

k dx kx C

kf x dx k f x dx

= +

( )

=

( )

• La derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función.

d

dx

( )

x =1

• La derivada de una variable con respecto a sí misma es igual a la unidad.

De suma o diferencia

d

dx

[

f x

( )

± g x

( )

]

= f x

( )

± g x

( )

[

f x

( )

± g x dx

( )

]

=

f x dx

( )

±

g x dx

( )

• La derivada con respecto a x de la suma o diferencia de un número finito de funciones es igual a la suma o diferencia de sus derivadas.

De potencia

A partir de aquí consideraremos a u como cualquier función de la variable x.

d

dxu nu dx

n = n−1 u du u

n C

n = n

+ + +

11 con n≠−1

• La derivada de una función u elevada a un exponente entero positivo es igual al producto del exponente por la función u elevada a ese exponente disminui-da en uno, por la derivadisminui-da de la función u.

Si n = −1

u du

udu du

u u C

l u C

=

= +

= +

1 1

ln

n

El campo de los núme-ros complejos incluye a los números imagi-narios puros y a los números reales.

02_Calculo_Integral.indd 15 07/04/13 11:53

(25)

Trigonométricas

d

dxsenu = cosu dudx

cosu du =senu+C

• La derivada del seno de una función u es el coseno de la función u multiplica-do por la derivada de la función u respecto a x.

d

dxcosu = −senu dudx

senu du = −cosu +C

• La derivada del coseno de una función u es igual a menos el seno de la función

u, multiplicado por la derivada de la función u con respecto a x.

d

dxtanu = sec u dudx

2

sec2u du = tanu +C

• La derivada de la tangente de una función u es igual al cuadrado de la secante de la función u, multiplicada por la derivada de la función u con respecto a x.

d

dxcotu = −csc u dudx

2

csc2u du = −cotu+C

• La derivada de la cotangente de una función u es igual a menos la cosecante cuadrada de la función u, multiplicada por la derivada de la función u respec-to a x.

d

dxsecu = sec tanu u dudx

sec tanu u du = secu +C d

dxcscu = −cotu dudx

csc cotu u du = −cscu +C tan

cot sen

sec

u du u C

u du u C

u du u

= +

= +

= +

ln sec

ln

ln sec taan

ln csc cot u C

u du u u C

+

= − +

csc

Algunas de las fórmulas de integración citadas pueden estar multiplicadas por una constante.

d

dx

( )

uv = u dvdx +v dudx

• Las derivadas de un producto de dos funciones son igual a la primera función por la derivada de la segunda, más la segunda función por la derivada de la primera.

Se usará para deducir el método de integración por partes.

02_Calculo_Integral.indd 16 07/04/13 11:53

(26)

Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 17

Conceptos básicos de la integración

La integral de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma algebrai-ca de las integrales de las funciones

f x

( )

+ g x

( )

h x dx

( )

f x dx g x dx h x dx

[

]

=

( )

+

( )

( )

A cada integral habría que sumarle una constante C, pero solamente se escribe la del final porque la suma de varias constantes es otra constante.

A continuación analizaremos con detalle los procesos que seguimos para resol-ver cada integral presentada en los ejemplos anteriores.

La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Si k es una constante que está como factor en el integrando se puede poner como factor de la integral, como ya lo hicimos en los dos ejemplos anteriores.

kf x dx

( )

= k

f x dx

( )

a)

(

5x2 +7x 2

)

dx

En este ejemplo f x

( )

= 5x g x2,

( )

= 7x h x,

( )

= 2, por lo tanto:

5 7 2

5 7 2 5

3 7

2 2

2

2 3 2

x x dx

x dx x dx dx x x x C

+ −

(

)

=

+ − = + − +

b) x x

x dx

4 3 2 + 4

 

Primero separamos el integrando en tres fracciones y después aplicamos la fórmula.

x x

x dx

x x

x

x x

x x dx

x

4 2 4 2

4 2

3 4 3 4

3

− +

 

  =  − + 

= −

xx dx xdx

x dx x dx dx x

x x x C

+

= − +

= − + +

4

3 4

1 4

3

2 4

3

4 2 ln

EJEMPLOS 2

02_Calculo_Integral.indd 17 07/04/13 11:53

(27)

La integral de una función u de una variable x elevada a un exponente es igual a la función elevada al exponente original más uno, todo dividido entre el exponente original más uno.

u x du x u x n n

n

( ) ( )

=

[

( )

]

+

+

1 1

Dado que u es una función de x, esta notación puede abreviarse de la forma siguiente:

u du u n

n = n

+

+

11 con n ≠ −1 Si n = −l

u du

u du du

u

=

=

1 1

= lnu +C

= L|u| + C

Esta fórmula se lee: “La integral de la diferencial de una función dividida entre la función es igual al logaritmo natural de la función”.

a)

7x dx2 = 7

x dx4

= 7 +

5 5

x C

b) 2

5

2 5

3 3

x dx =

x dx

= 

   +

= +

2 5 4

1 10

4

4 x C

x C

a) x dx2 x2 1 c x3 c

2 1 3

=

+ + = +

+

En este ejemplo n = 2

b) dx

x = x +C

ln

Se toma el valor absoluto de x porque no hay logaritmos de números negativos, por eso se escribe ln |x|.

EJEMPLOS 3

EJEMPLOS 4

02_Calculo_Integral.indd 18 07/04/13 11:53

(28)

Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 19

Dentro del signo de integración se pueden conmutar los factores del integrando. Para no complicar el desarrollo de una integral al aplicar los signos de agrupación y del valor absoluto, éste se coloca en el resultado final.

c) x dx = x dx = x C x C x C

+ + = + = +

+

1 2 1 2 1 3 2 3 2

1

2 1 32

2 3

d) dx

x x dx

x C x

2 1 2

1

2 3 1

1

2 2

3

3 3 1 2

= =

− +  

  + = 

− − + −



 + = − − +

C 1x C

4 2

En el ejemplo 3, el radical se expresó como exponente fraccionario aplicando la siguiente ley de los radicales:

am a

n = m n, en este caso m = 1 y n = 2

Para resolver el ejemplo 4 primero pasamos x3 al numerador de la fracción aplicando la siguiente ley de los exponentes:

1 am a

m = −

x x

(

2 1

)

3dx =

(

x2 1

)

3x dx

EJEMPLO 5

x dx2 x

x dx

Este desarrollo no es correcto porque la variable de integración x quedó fuera del signo de integral.

EJEMPLO 6 Por ningún motivo la variable de integración puede quedar fuera del signo de

inte-gración.

En algunos casos la integración se facilita si primero se realizan las operaciones indicadas (productos o cocientes de polinomios).

02_Calculo_Integral.indd 19 07/04/13 11:53

(29)

a)

(

2x +1

)

(

x −3

)

dx

Primero realizamos la multiplicación de los binomios. El producto que resulte será el integrando.

2 1 3 2 3 1 3

2 6 3

2 5 3

2

2

x x x x x

x x x

x x

+

(

)

(

)

=

(

)

+

(

)

= − + −

= − −

2 1 3 2 5 3

2 5 3

2

2

x x dx x x dx

x dx x dx dx

+

(

)

(

)

=

(

− −

)

= − − =

22 5 3

2

3 5 2 3

2 2

3 2

x dx x dx dx

x x x C

− − =     −   − + =

33 5 2 3 3 2

xxx+C

b) x

x dx 3 1 2 − −

Primero realizaremos la división. El cociente que se obtenga será el integrando.

)

x x x x x x x x x x x − − − + − − + − − + + + 2 1 2 2 1 2 4 4 1 4 8 7 2 4 3 3 2 2 2 2 x

x x x x

3

2 1

2 2 4

7 2 −

− = + + + −

x

x dx x x x dx

x dx x dx dx

3

2

2 1

2 2 4

7 2 2 4 − − = + + + −     = + +

++ − = + + + −

7 2

2 4 7

2 2

dx x

x dx x dx dx dx

x EJEMPLOS 7

La integración se facilita si primero se realizan las operaciones indicadas de productos y cocientes de polino-mios.

02_Calculo_Integral.indd 20 07/04/13 11:53

(30)

Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 21

Otras integrales se pueden resolver al sumar y restar al integrando una misma can-tidad.

En la última integral u = x− 2; du = dx

= + 

  + +

= + + + +

=

x x x du

u

x x x u C

x

3 2

3 2

3

3 2 2 4 7

1

3 4 7

1 3

ln

++ x2 + 4x+7ln x2 +C

xdx x +

5

Para resolver este ejemplo debemos tomar el número 5 de la expresión x + 5. Este número se suma y se resta al numerador; la integral que resulte se descompone en dos integrales.

xdx x

x

x dx

x

x dx x dx

dx dx

x

+ =

+ − +

= +

+ +

− +

= −

+

5

5 5 5 5 5

5 5 5

55

Para resolver la segunda integral, al denominador le llamaremos u y dado que la integral estará en función de u, necesitaremos obtener la diferencial de u.

u = x + 5 du = 1(dx) = dx

Ahora realizaremos el cambio de variable en las dos integrales:

= −

= − +

dx du

u

x u C

5

5 ln

Sustituimos el valor de u:

xdx

x + = xx + +C

5 5ln 5

EJEMPLO 8

02_Calculo_Integral.indd 21 07/04/13 11:53

(31)

Recuerda que la diferencial de una función es dy = f x dx

( )

, donde f ′(x) es la de-rivada de la función. La dede-rivada de x + 5 es 1 porque d

dxx =1 y dxd 5 = 0.

Para que evalúes tus conocimientos, revisa los conceptos clave estudiados en este capítulo, que se enlistan a continuación, ¿sabes a qué se refieren? Si tienes dudas, ¡estúdialos nuevamente!

• Integral indefinida • Función primitiva

• Antiderivada

• Método de integración

Lo que debes saber

Ejercicios de repaso

1. Calcula las siguientes integrales:

a)

dx Solución: x+C

b)

3dy Solución: 3y+C

c) dx x

Solución: ln|x| + C

d)

x3 4dx Solución: 4

7

3 4

x x +C

02_Calculo_Integral.indd 22 07/04/13 11:54

(32)

Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 23

e)

5x dx3 Solución: 5

4 4 x +C

f)

2bx dx3 Solución: b x C

2

4 +

g) 3 4

1 2 x dx

Solución: 1

2x x +C

h) dy y3

Solución: − 1 +

2y2 C

i) dx y3

Solución: 1

3

3 x +C

j) x x

x x dx

4 2

3 2

1 4

1

− + −

 

 

Solución: x x

x x C

5 3

2

5 3

1 2

1

− − + +

k)

4x dx Solución: 4

5x x +C

02_Calculo_Integral.indd 23 07/04/13 11:54

(33)

l)

3x dx2 Solución: 3

5 2 3

x x +C

m) dx x2 3

Solución: 3 3x +C

n) 33 352 xx dx

 

 

Solución: − 4 −153 +

x x C

o)

5 5x dx Solución: 10

3 x 5x +C

p) x dx

x

(

)

+

33 Solución: x− 6 ln |x+ 3|+C

q) x

x dx

+ +

2

1 Solución: x + ln |x − 1| + C

r) x x

x dx

2 3 +5

Solución: 2

5 2 10

2

x xx x + x +C

02_Calculo_Integral.indd 24 07/04/13 11:54

(34)

Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 25

s) x dx x

3

1 −

Solución: x3 x2 x x C

3 + 2 + +ln − +1

t)

(

y +2

)

(

y−1

)

dy Solución: y y3 2 y C 3 2 −2 +

u) 4 2 −

(

)

xx dx Solución: 32 16

3

2 5

2

xx x + x x +C

2. Indica si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas.

a) xdx = xC − +

2 3

3

b) y dx6 y7 C 2

1 14

= +

c)

5x dx−1 = lnx +C

Solución: a) Falsa b) Verdadera c) Falsa

02_Calculo_Integral.indd 25 07/04/13 11:54

(35)

3. Calcula las siguientes integrales.

a)

x

(

2x2 +x −3

)

dx Solución: 4 7

2

5 2

3 2

x x + x xx x +C

b) x x

x dx

2 3 2

2

+ +

+

Solución: 1

2

2

x + +x C

c) x dx

x

(

)

+

11 Solución: x − 2ln |x + 1| + C

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(36)

Integración de una función

compuesta

Introducción

La probabilidad y la estadística son herramientas que se utilizan en diversas disciplinas. En probabilidad mane-jamos el concepto de valor esperado o esperanza matemática, que en el caso de una variable aleatoria continua se calcula con la siguiente integral:

xf x dx

( )

−∞

Observa que en el integrando se tiene el producto de x por una función también en términos de x.

Debido a que en cálculo integral no tenemos una fórmula directa para resol-ver esta integral, debemos realizar la multiplicación y después hacer la integra-ción, proceso que puede resultar complicado. Otra alternativa es aplicar el méto-do conociméto-do como métométo-do de sustitución el cual resulta más sencillo.

CAPÍTULO

3

Sustitución por cambio de variable

A pesar de que existen varias técnicas para realizar una sustitución, el propósito de todas es identificar en el integrando una función que esté multiplicada por la dife-rencial de esa función y así poder aplicar una fórmula de integración.

En el método de sustitución, se escoge una literal. En nuestro caso, se eligió la u, que se iguala a la función que incluye el integrando.

Identifica en las siguientes integrales su función y su diferencial.

a) sen 7x 7 dx u x

du x ( )

( )

( )

Señalamos:

u x

u x x

=

( )

=

7

7

EJEMPLOS 1

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(37)

Observa que la variable de la función es y, así que la diferencial en el integrando está incompleta porque dy no se multiplica por 5, como en la diferencial que calculamos.

En el primer ejemplo hemos escogido la literal u. A continuación señalamos u(x) indicando con ello que u está en función de x, en seguida con du(x) calculamos su diferencial.

Algunos autores y profesores, por costumbre y comodidad, proceden de la si-guiente forma cuando piden integrar una expresión como la que se muestra a con-tinuación:

sen 7 7

7

7

x dx

u x

du dx

u du

( )

= =

Desde luego que este procedimiento es correcto, pero no debes olvidar que la varia-ble u en el primer ejemplo está en función de x y en el segundo de y. Esta aclaración te será de gran ayuda en cursos superiores.

Para que puedas identificar en el integrando la función y su diferencial, analiza-remos varios ejemplos.

Ahora calcularemos la diferencial aplicando la fórmula dy = f x dx

( )

. En este caso como tenemos u x

( )

= 7x, la fórmula será du x

( )

= f x dx

( )

, con

f x d

dx x

( )

= 7 = 7.

du x

( )

= 7dx 7x es la función y 7 dx su diferencial.

b) cos 5y dx u y du y( ) ( )

 

Señalamos:

u y

u y y

=

( )

=

5

5

Como en el ejemplo anterior, calculamos la diferencial; en este caso como la variable es y, u y

( )

= 5y y du y

( )

= f y dy

( )

con f y d

dy y

( )

= 5 du y

( )

= 5dy

5y es la función y dy la diferencial (incompleta).

x2 +3 2 2x dx

(

)

( )

Existen dos formas de resolver este ejemplo. La primera es a partir del método de sustitución y la otra es desarrollando la operación que se indicó en la página 17, del capítulo 2.

EJEMPLO 2

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(38)

Capítulo 3 Integración de una función compuesta 29

Primero lo resolveremos por sustitución:

x x dx

u x

u x x u x du x

2 2

2

2 3 2

3

+

(

)

( )

=

= +

( )

=

( ) ( )

++

( )

=

3

2 du x xdx

En este ejemplo du = f x dx

( )

, donde f x d

dx x x

( )

=

(

2 + 3 2

)

.

El integrando está completo porque incluye la función multiplicada por su diferencial. Por lo tanto, se puede aplicar la fórmula de integración de la potencia de una función.

Sustituyendo:

=

u du2

Integrando:

= u3 +C 3

Con el valor de u, queda:

=

(

x +

)

+C 2 3 3

3

Otra solución se encuentra desarrollando la operación en el integrando:

x2 +3 2 2x dx

(

)

( )

El integrando es un polinomio, por eso podemos desarrollar su producto e integrar término a término.

x2 + 3 2 2x dx x4 6x2 9 2x dx

(

)

( )

=

(

+ +

)

( )

=

(

2x5 +12x3 +18x dx

)

= 2

x dx5 +12

x dx3 +18

x dx

= 2 + + +

6

12 4

18 2

6 4 2

x x x C

= 1 + + +

3 3 9

6 4 2

x x x C

u du u

n c

n n

=

+ +

+1

1

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Figure

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