Determinar si la siguiente integral converge o diverge.

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(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

TERCER EXAMEN EXTRAORDINARIO Sinodales: Ing. Irlib Blancas Ríos

Fis. Pedro Ramírez Manny 1 de diciembre de 2014 Semestre 2015-1

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2 horas.

1. Calcular el valor medio de la función f x

( )

= x2 9 , en el Intervalo

3, 3

.

15 Puntos

2. Determinar si la siguiente integral converge o diverge.

( )

0

2 x

x x

e

dx

15 Puntos

3. Efectuar las siguientes integrales:

( ) ( ) ( )

2 2

4 3

2

9 4 4 4 2

1 1

9

ln x x x x x

a ) dx b ) dx c ) x sen x dx

x x

x ln x

+ + + + +

+ +

 −  

30 Puntos

3EE15-1

(2)

4. Calcular área de la región limitada por la curva de

r = 2 + 2 sen

10 Puntos

5. Calcular la derivada direccional de la función

z = x

2

cos 2 y

en el punto de coordenadas 2, 2

  

 

  y en la dirección del vector

3 i 4 j

v = −

15 Puntos

6. Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie

y = e x cos z

en el punto de coordenadas

P (

0, 1, 0

)

.

15 Puntos

(3)

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

SOLUCIÓN TERCER EXAMEN EXTRAORDINARIO

1 de diciembre de 2014 Semestre 2015-1

1. El valor medio es

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

3

3 3 2

3 3

3 3

9 9

3

3 3 3 3

3 3

9 3 9 3

3 3

27 9 27 9 36

6 6

6

x dx x x f c

f c

f c

f c

+

= =

− − +

= − −

− − − +

= =

=

15 Puntos

2. Es una integral impropia

( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0

2

2 lim 2

2 2 2 2 2

b

x x

b

x x x x

e x x dx e x x dx

e x x dx x x e x e e c

→

− = − =

− =− − − − + +

 

(4)

S3EE15-1

2

2

2 2 2

x

x x

x x e

x e xe

− − =− + x e

2 x

− 2 e

x

+ 2 xe

x

+ 2 e

x

( )

2

2 2

0 0

2 0

2 lim lim

2 2

lim lim 0

La integral impropia converge y su valor es cero.

x x

x

x x b

b b b

b b

b b

e x e c

e

e x x dx x e b

e b

e e

→ →

→ →

− = +

− = = = 

= =  = =

10 Puntos 3. a) Por sustitución trigonométrica

( )

( ) ( )

2

2

2

9 ln ln

ln 3sec sec

ln 9 3

1 3sec tan

ln 9

tan ln 9 3tan

3

x x

dx x

x x

dx d

x

x x

 

  

 

+  = =

=

= −  − =

3

( )ln x −2 9 lnx

θ

(5)

( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

2 2

9 3sec

3sec tan 9 sec 3 sec

3 tan

9 ln sec tan 3 tan

ln 9

9 ln ln ln 9

3 3

9 ln ln ln 9 ln 9

d d d

I C

x x

I x C

I x x x C

       

  

+ = +

= + + +

= + + +

= + + +

  

b) Por fracciones parciales

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

4 3 2

2 2

3 2 4 3 2

4 3 2

3 2

3 2

2

2

2 2 2

4 4 4 2 1

3

1 1 1 1

3

1 4 4 4 2

3 3 3 2

3 3 3 3

1

3 1

2 1 1

1 1 1

1 1

1 1

x x x x

dx x dx

x x x x

x

x x x x x x x

x x x x

x x x

x x x

x x dx

x x

A Bx C

x x

x x

x x

 

+ + + + =  + + − 

 

+ +  + + 

+

+ + + + + + +

− − − −

+ + +

− − − −

= + −

+ +

 + 

 = +  + +

 + + + + 

 

 

(6)

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

2

2 2

2 2

2

2

1 1 1

1 ; 1 2 1

2 0 ; 1 1

2 1 ; 1 2 2 2

1 1 2 1 1

2

1 1 1

1 2 2 2

1 1

1 1

1 1 1 1 2 1 1

2 1 2 2 1 2 1

1 1 1

ln 1 ln 1 tan

2 4 2

3 1

2 2

A x Bx C x

si x A A

si x A C C

si x A B C

B B

x

dx dx

x x

x x

I dx x dx dx

x x x

I x x ang x C

I x x

= + + + +

= − = =

= = + =

= = + +

= + + = −

+

= + + +

+ +

= +     + + +

= + − + + +

= +

 

  

(

2

)

1 1

ln 1 ln 1 tan

4 2

x+ + x + − ang x+

c

c) Por partes

( )

1 2

1 2

2

2 2

2 2

u x dv sen x dx

du dx dv sen x dx de donde

x

u x

du dx dx x du

x

sen u du x x senu du

x cos u c por lo que

v x cos x

= =

= =

=

=  =

=

= − +

= −

 

 

(7)

S2EE14-2

15 Puntos 4. Sea

( )

 

 

2

2

2

2

2 2

1 2

21 2 2

2

2 2 4 8 4 4 8 4

b

a

A f d entonces

A sen d

Si sen sen sen sen

 

 

   

=  

= +

+ = + + = + +

(

1 cos 2

)

2

− 

( ) 

2

2

2 2

2

4 8 2 2 2 6 8 2cos 2

6 8 2cos 2 6 8 cos 2

6 6

2 2

6

sen sen sen

A sen d sen

A

A u

   

     

 

= + + − = + −

= + − = − −

 

=  + =

=

15 Puntos

( )

( )

2 2 1

2 2

2 2

2

x x cos x x cos x dx

x x cos x cos xdx

x cos x xsen x c

x cos x xsen x C

=

= − +

= − + +

= + +

 

(8)

5. Sea

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

2 2

5

3 4

5 5

2 2 2 2

4 8

3 4

4 8

5 5

12 32

5 5

12 32

1 0

5 5

12 5

v

P ,

Si v un vector unitario en dirección de v es

u ,

f x cos y i x sen y j f cos i sen j

La derivada direccional será

df cos , sen ,

ds

cos sen

sen df

ds

 

 

 

=

 − 

=  

 = −

 = −

 − 

= −  

= +

= − +

= −

15 Puntos 6. Sea

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

0 1 0

0 0

1

0 1 0 0 1 0 0

0 0

1 1 0 1 1

1 1 0

0 0

x x

P , ,

F cos z i j sen z k

r r x, y, z , , x , y , z

F cos i j z

Entonces

, , x , y , z

x y

x y x y

e e

e

ecuación del plano tan gente

 = + − + −

− = = =

 = − +

− + − + =

− =

− =

15 Puntos

Figure

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Referencias

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