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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA PROGRAMA CIENCIAS BÁSICAS

100412 – ECUACIONES DIFERENCIALES CARLOS IVAN BUCHELI CHAVES (Director Nacional)

RICARDO GOMEZ NARVAEZ (Acreditador)

San Juan de Pasto, Julio 2010 1

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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO El presente módulo fue diseñado en el año 2009 por Carlos Iván Bucheli Chaves docente de la UNAD, ubicado en el CEAD de San Juan de Pasto, el Autor es físico-matemático, especialista en docencia universitaria, magíster en enseñanza problemita y otros. Se ha desempeñado como tutor de la UNAD desde 2001 hasta la fecha y ha sido catedrático de diversidad Universidades de Pasto.

El presente módulo ha tenido 4 actualizaciones y se han realizado por su autor Carlos Iván Bucheli Chaves.

El material ha sido revisado por la dirección de la Escuela de Ciencias básicas, Tecnología e Ingeniería: Jorge Eliécer Rondon y por su acreditador: Ricardo Gómez Narváez, los cuales han aportado para la calidad de este material.

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INTRODUCCIÓN

El curso de ECUACIONES DIFERENCIALES, es una de las temáticas con mayor grado de importancia en el desarrollo de la educación superior ya que esta se considera una de las herramientas de mayor utilidad especialmente en el área de la ingeniería. La estrategia para comprender esta rama de la

matemática, implica interés, dedicación compromiso y sobre todo responsabilidad. La enseñanza de las ecuaciones diferenciales ha experimentado una gran

evolución, tanto en términos pedagógicos como el contenido. Lo que una vez se pudo considerar como una colección de métodos, ha avanzado sustancialmente con el fin de proporcionar a sus investigadores diversos experiencias, que un reconocido matemático ha denominado conceptualización, exploración y solución de problemas de dificultad superior.

El curso de Ecuaciones Diferenciales, se ha sometido a diversos cambios estructurales con el único objetivo de consolidar un material práctico para el estudiante, este le permitirá instruirse con mayor facilidad y así obtener un mayor rendimiento académico.

El curso contiene material necesario para un completo aprendizaje de

ecuaciones diferenciales, los ejercicios desarrollados y propuestos no quieren otros conocimientos de los que se han trabajado a lo largo de la carrera. Se hace un desarrollo más o menos profundo, y un estudio detallado de las diferentes ecuaciones a tratar.

En el desarrollo del curso, el estudiante tiene la oportunidad de encontrar las definiciones de los temas tratados incluidos en tres unidades, así mismos

encontrará ejemplos prácticos por cada tema a tratar como también ejercicios para resolver. Una característica particular del modulo es la presentación resumida de los conceptos fundamentales a tener en cuenta en el desarrollo intelectual

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales INDICE DE CONTENIDO

UNIDAD I. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1.1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. 1.1.1. Fundamentos generales como apoyo a las ecuaciones diferenciales. 1.1.2. Conceptualización de una ecuación diferencial.

1.1.3. Resolución de una ecuación diferencial. 1.1.4. Clasificación de las ecuaciones diferenciales. 1.1.5. Ejercicios propuestos.

1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN. 1.2.1. Ecuaciones con variables separables.

1.2.2. Ecuaciones Homogéneas. 1.2.3. Ecuaciones exactas. 1.2.4. El factor integrante. 1.2.5. Ejercicios Propuestos.

1.3. CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN.

1.3.1. Trayectorias Ortogonales.

1.3.2. Los campos de fuerza. Una aplicación de las Ecuaciones diferenciales. 1.3.3. Aplicaciones de familias de curvas y trayectorias ortogonales.

1.3.4. Otras aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. 1.3.5. Ejercicios Propuestos.

UNIDAD II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR

2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN. 4

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2.1.1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden y métodos de solución.

2.1.2. La Solución General de una ecuación diferencial como Combinación Lineal de Soluciones Linealmente Independientes.

2.1.3. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas con coeficientes Constantes.

2.1.4. Operador para la solución de ecuaciones diferenciales. 2.1.5. Ejercicios Propuestos.

2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. 2.2.1. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n.

2.2.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior con coeficientes constantes. 2.2.3. Ecuación diferencial de orden superior homogénea y no homogénea con coeficientes constantes.

2.2.4. Métodos generales de solución de las ecuaciones diferenciales de orden superior.

2.2.5. Ejercicios propuestos.

2.3. CAMPO DE APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR.

2.3.1. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden 2.3.2. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior 2.3.3. Ecuaciones diferenciales de Euler.

2.3.4. Ecuaciones diferenciales de Chebyshev y de Bessel . 2.3.5. Ejercicios Propuestos.

UNIDAD III. ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES 3.1. GENERALIDADES DEL ESTUDIO DE SERIES.

3.1.1. Definición de serie matemática.

3.1.2. Clasificación de las series matemáticas.

3.1.3. Técnicas para resolver Ecuaciones Diferenciales mediante series matemáticas.

3.1.4. Definimos el concepto de punto ordinario y punto singular regular en una Ecuación diferencial.

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 3.2. SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS.

3.2.1. Estudio de Series De Potencias.

3.2.2. Propiedades y Convergencia de las series de potencias.

3.2.3. Solución de ecuaciones diferenciales de primer orden mediante Series de potencias.

3.2.4. Solución de ecuaciones diferenciales de orden superior mediante Series de potencias.

3.2.5. Ejercicios Propuestos.

3.3. FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS. 3.3.1. Funciones analíticas.

3.3.2. Series De Taylor.

3.3.3. Solución de ecuaciones diferenciales mediante Series de Taylor. 3.3.4. Series de MacLaurín.

3.3.5. Ejercicios Propuestos.

AUTOEVALUACION DEL CURSO 6

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales LISTADO DE TABLAS

Pag.

Tabla 1 ………... 40 Tabla 2 .……… 41 7

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales LISTADO DE GRÁFICOS Pag. 1) Gráfica 1 ……… 16 2) Gráfica 2 ……… 46 3) Gráfica 3 ……… 55 4) Gráfica 4 …..………... 55 5) Gráfica 5 ………. 56 6) Gráfica 6 ………...56 7) Gráfica 7 ………..105 8) Gráfica 8 ……….106 8

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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 1

Nombre de la Unidad ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Introducción Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una

ecuación de la forma F(x, y, y ') = 0 En la que aparecen una variable independiente, una variable dependiente y una primera derivada. La razón por la cual a las

ecuaciones de este tipo se les dice ecuaciones diferenciales ordinarias1

En esta unidad trataremos los siguientes aspectos de mucha Importancia en la ingeniería y sus diferentes proyecciones a la solución de problemas así: estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden,

clasificación, tipo, orden, linealidad y métodos de solución para las ecuaciones de variables separadas y

homogéneas. Donde los tipos de ecuaciones diferenciales a trabajar principalmente son las exactas y las lineales, veremos sus características, su modo de identificación y la manera de resolver cada una de ellas, dando ejemplos, ejercicios explicativos y aplicaciones para esta unidad. Justificación Las ecuaciones diferenciales, de primer orden, constituyen uno de los más importantes instrumentos teóricos y a su vez herramienta para la praxis y así

interpretar y modelar fenómenos científicos y técnicos de la mayor variedad. Son por eso de especial importancia práctica y teórica para los ingenieros de cualquier rama. El área de los sistemas ha penetrado prácticamente en todas las áreas de la tecnología, porque permite abordar y manejar sistemáticamente aspectos de optimización y logro de comportamientos deseados. El área de los sistemas es transversal y genérica. Transversal por aplicarse a varias áreas de conocimiento: sistemas mecánicos, eléctricos, de procesos, humanos,

económicos entre otras áreas, por eso se encuentra todo género de investigadores: ingenieros de todas las

disciplinas, economistas, físicos, matemáticos entre otros. Intencionalidades

Formativas

· Reconoce y distingue una ecuación diferencial de primer orden.

· Clasifica ecuaciones diferenciales de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales · Reconoce la diferencia entre una solución particular y

una solución general de la ecuación diferencial. · Define campo de direcciones correspondientes a la ecuación diferencial de primer orden.

· Identifica ecuaciones diferenciales de variables separadas y homogéneas.

· Emplea el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. · Resuelve correctamente ecuaciones diferenciales homogéneas.

· Reconoce una ecuación diferencial exacta y las resuelve.

· Encuentra el factor integrante para una ecuación diferencial lineal.

· Resuelve ecuaciones diferenciales lineales.

· Identifica, distingue y resuelve correctamente ecuaciones diferenciales de Bernoulli.

· Realiza sustituciones adecuadas para poder resolver ecuaciones diferenciales con tipos ya conocidos empleando sustituciones.

· El estudiante plantea problemas correctamente

empleando la modelación con ecuaciones diferenciales de primer orden.

· Por ultimo, resuelve correctamente ecuaciones diferenciales lineales y cuantifica la importancia de la modelación matemática con ecuaciones diferenciales en la solución de problemas científicos.

Denominación de 1.1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES capítulos DIFERENCIALES.

1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN.

1.3. CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN.

CAPITULO 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Introducción

Dejaremos de lado las funciones de dos o más variables y comenzaremos con el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias, y así encontraras algunas

definiciones importantes que nos permitirán el estudio de diferentes tipos y métodos de solución a la ecuación para luego ubicarlas en el fascinante mundo de las matemáticas como herramienta de aplicación a nivel socioeconómico y

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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Se indican las estrategias que debes seguir para el provecho de la unidad, las mismas están orientadas a explicar los aspectos relacionados con las ecuaciones diferenciales, su estructura y aspectos básicos.

Lección 1: Fundamentos generales como apoyo a las ecuaciones diferenciales.

Ver modulo de Calculo diferencial y calculo integral Unad 2010.

Lección 2: Conceptualización de una ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a las variables independientes. Son ejemplos de ecuaciones diferenciales las siguientes:

f ( x ) + f ¢( x ) - 7 x = 0 y ¢ = 3 x y ¢ - c o s ( x ) = 0 y ¢¢¢ - y =3 x + 2 x y 5 0 x d d + = 2 2 d y 2 d y 3 y 0 dx d x + + = 2 2 d y 2 x dx = 2 2 d y y 0 d x + = 2 3 2 d y (1 dy ) dx dx = +

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 5 3 4 3 u u 6 x x ¶ ¶ - = ¶ ¶

En los anteriores ejemplos se observa que las ecuaciones cumplen la definición de ecuación diferencial, porque tienen derivadas de diferente orden y tipo (ordinarias y parciales), además en los ejemplos se observan diferentes notaciones de

derivada como lo hemos aprendido en el cálculo diferencial. En resumen podemos decir que una ecuación que tiene derivadas se llama ecuación diferencial.

A través de los ejercicios y actividades de esta franja, tendrás la oportunidad de verificar la comprensión del material en el cual las ecuaciones diferenciales parciales son muy importantes y útiles; sin embargo su manejo requiere del conocimiento profundo de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Lección 3: Resolución de una ecuación diferencial

Una función y = f (x) se dice que es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir y sus derivadas en la ecuación la reduce a una identidad. Por ejemplo, derivando y sustituyendo es fácil comprobar que

y = e-2x es una

solución de la ecuación diferencial:

Se puede demostrar que toda solución de esta ecuación diferencial es de la forma y = Ce-2x , solución general.

Donde C denota cualquier número real. Derivando la ecuación y = Ce-2x derivando y´= -2 Ce-2x

Reemplazando en la ecuación diferencial la función y su respectiva derivada, efectivamente existe una identidad -2 =Ce -2 x - 2 Ce-2x

d y 2 y 0 d x + =

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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Ejemplo:

Averiguar si las funciones dadas son solución de la ecuación diferencial: a) b) y = e2x c) y = 4e-x d) y = Cex Averigüemos: a) Como: 2 2 d y y s en x – s en x 2 s en x 0 dx - - = = - ¹

Por tanto, y = sen( x) no es solución. b) Como y = e2x 2 2 d y y 0 d x - = y = sen(x) d y c o s ( x ) d x = 2 2 d y sen(x) dx = - dy dx = 2 2 d y dx 2 = 2 d y dx d y d x y = senx 2e2x 4e2x - y 4=e 2x – =e 2x 3e 2x ¹ 0

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Por tanto, y = e2x no es solución.

c) Como y = 4e-x = - y = 4e-x – 4e-x = 0

Por tanto, y 4e x = - es solución. d) Como y = Cex

Por tanto, y = Cex es solución. Ejemplo: Solución particular

Para la ecuación diferencial verificar que y = Cx3 es

solución y hallar la solución particular determinada por la condición inicial y = 2 cuando x = - 3.

Solución:

Sabemos que y = Cx3 es una solución, ya que = 3Cx2 , así que: dy dx = 2 2 d y dx = x d y 3 y 0 d x - = d y d x 2 2 d y dx 2 2 d y 4e x dx = - 2 2 d y dx Cex Cex - y C ex – C=e x 0 =

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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Además, la condición inicial y = 2 cuando x = - 3 implica que la Solución general es

y = Cx3 y remplazando la condición inicial se tiene: ( )3 2 = C - 3 por tanto

Luego concluimos que la solución particular es:

Para determinar una solución particular, el número de condiciones iníciales ha de coincidir con el de constantes arbitrarias en la solución general.

Recordemos que la solución de una ecuación diferencial no es una sola función, sino todo un conjunto de funciones (familía de soluciones).

Ejemplo: 4 4 y = y + c es la solución general de dy x3 0 dx - = Derivando y Tenemos: dy x3 dx

= al sustituir en la ecuación diferencial, la convierte en una identidad x3 = x3

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL

Geométricamente, la solución general de una ecuación diferencial de primer orden representa una familia de curvas o familia de soluciones, una para cada valor asignado a la constante arbitraria C.

x dy 3 y x (3 Cx 2 ) – 3(Cx 3 ) 0 dx - = = 2 3 27 y = - x 2 27 c =

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-UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales El término “condiciones iníciales” proviene de que, con frecuencia, en problemas donde interviene el tiempo, se conoce el valor de la variable dependiente o de alguna de sus derivadas en el instante inicial t = 0 .

El problema de valor inicial implica hallar la solución de una ecuación diferencial sujeta a una condición inicial Y(Xo ) = Yo , y es el punto de partida para

encontrar la familia de curvas.

Cabe aclarar que la solución del problema de valor inicial no es una familia de curvas, sino una curva de ellas que cumple las condiciones.

Ejemplo:

Al resolver la ecuación diferencial dy 2x dx

= es fácil observar que la solución general

es y = x2 + c generando una familia de curvas (familia de parábolas) y al dar una condición inicial se obtiene de esa familia de curvas una única curva, por ejemplo con la condición inicial y(2) = 5 tenemos que C = 1 por tanto la curva es

y = x2 +1 (veamos la gráfica demostrativa): Grafica 1

Grafica del programa derive y Editor Matemático Mathtype Fuente: Esta investigación

Autor: Carlos Buchely

Lección 4: Clasificación de las ecuaciones diferenciales Ver link ovas Texto. http://www.caribu.byethost8.com/ Gráfica de color rojo es la única

curva que satisface las condiciones iníciales y las otras curvas

pertenecen a la familia de curvas solución.

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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Lección 5: Ejercicios propuestos

Sistema de Aprendizaje Auto gestionado Asistido sostienen, que el aprendizaje es para toda la vida y el proceso de aprender también debe llevarse a cabo durante todo el tiempo que vivamos, además que cada individuo elabora y construye su aprendizaje y los procesos para lograrlo, de forma singular y de acuerdo a sus vivencias.

A. Clasificar las ecuaciones diferenciales de acuerdo con su tipo y orden: 1)

Sol. Ordinaria y de primer orden 2)

Sol. Ordinaria y de segundo orden 3)

Sol. Ordinaria y de segundo orden 4)

Sol. Parcial y de segundo orden. d y 3 x y x 2 d x + = 2 2 d y 2 d y y 1 d x d x + + = 2 2 d x d y 4 x e t d t d t + - = 2 2 u d u s e c ( t ) t d t ¶ + = ¶

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Sol. Ordinaria y de segundo orden.

B. Verificar que la función dada es solución de la ecuación diferencial. 1. y = C1cos x + C2 sen x ,

2. 1 2

y = C e-x cos x + C e-x senx , 3.

u = e –t sen bx ,

C. Hallar la solución particular que pasa por el punto (-4,4) y2 = Cx3 ,

Miscelánea de ejercicios

1. En las siguientes ecuaciones diferenciales establece el orden, el tipo y la linealidad. 2 2 4 0 2 0 8 8 0 y y y y y x d y d y d x d x y y y y ¢¢ + ¢ - = ¢¢ = + = ¢¢¢ - ¢¢ + ¢ - =

2. Verifique que la función dada es una solución de la ecuación diferencial. 2 2 2 ( d y ) 3 ( d y ) 4 y 0 d x d x + - = 2 2 d y y o d x + = 2 2 d y 2 d y 2 y 0 d x d x + + = 2 2

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¶ ¶ = ¶ ¶ 2 x ( d y ) 3 y 0 d x - =

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 2 2 3 4 32; 8 2 0; 1 ( ) ; 1 dy y y dx x dy xydx y x dy x dy y y x dx dx + = = + = = - + = = +

3. verifique la solución de la ecuación diferencial d y 1 x d x x y

+ =

Donde su solución es y2 = 2(ln(x) + x + c) (como x > 0 , no se necesita de valor absoluto).

- Grafique la familia de curvas o familia solución. - Encuentre una solución particular cuando y (1) = 4 5 x 4 = 20

2 x 8 = 16

Algunos casos importantes de Derivadas n . n - 1 . a . y = x y = n x b . y = c y = o s n c o s n n e . - 1 . c . y = c x y = n c x d . y = x y = x

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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales c o s s e n e e . x . x e . y = x y = x f . y = y = 1 g ± ± . . . . g . y = l n x y = x h . y = f x g x y = f x x 2 0 g g g g ® ¹ g g g g g . . . . . . i . y = f x g x y = f x x + fx x j . y = f x g x g x y = f x x - f x x [ g x ]

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 1 2 . . 1 1 . 0 . 0 . s n c o s 0 . . 1 s n 1 . s e c ta n . c o s . c s c n n a d x b dx c n n c e d x e c n n d a d x a c a L o g a e e K x d x K x c K K f d x c x g e x c h xdx x c i K x d x s e n K x c K j x dx c - ò ò + ® ¹ - + ò + ® ¹ ò + ® > - ò + ® ¹ ò + é ù ò ê ú + ë - û ò +

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n x n x x x 2 2 = x + c x = x = = = = L n x = x = = = -c tg x

CAPITULO 2: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Introducción

En este aparte daremos a conocer técnicas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Como lo es la solución de ecuaciones por el método de separación de variables, solución de ecuaciones diferenciales homogéneas, solución de

ecuaciones exactas y utilización del factor integrante. Entonces se da a conocer los procedimientos respectivos y a su vez ejemplos que afianzaran el aprendizaje.

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Una ecuación de primer orden y primer grado puede reducirse a la forma: M (d, y ) dx + N(x, y ) = 0

Siendo M y N funciones de X e Y òM(x, y)dx + ò N(x, y)dy = K Siendo una solución de la ecuación.

Lección 1: Ecuaciones con variables separables

En este aparte comenzamos estudiando técnicas para resolver familias específicas de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Como una ecuación diferencial de primer orden que se puede escribir en la forma: Donde M es una función continua de x solamente, y N una función continua de y solamente. Para este tipo de ecuaciones, todos los términos en x se pueden unir con dx y todos los términos en y con dy, y se obtiene una solución por integración. El procedimiento de resolución se denomina separación de variables. Los pasos necesarios son los siguientes:

1. Expresar la ecuación en forma diferencial: M ( x ) N ( y ) d y 0

d x + =

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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales De la siguiente ecuación:

M(x ) dx + N(y ) dy = 0 Despejando obtenemos: M(x ) dx = - N (y)dy

2. Integrar para obtener la solución general: Despejando obtenemos:

Ejemplos de separación:

ECUACION DIFERENCIAL EN VARIABLES SEPARABLES EJEMPLO

Hallar la solución general de:

Solución: Para empezar, observamos que y = 0 es una solución. Con el fin de hallar otras soluciones, supongamos y ¹ 0 y separamos las variables así: (x 2 + 4 ) dy = xy dx Forma diferencial ò M ( x ) d x + ò N ( y ) d y = C ò M ( x ) d x = - ò N ( y ) d y + C x 2 3 y d y 0 d x + = 3 y d y = - x 2 d x ( s e n x ) d y c o s x d x = d y = ( t a n x ) d x 2 y 1 x d y d x e = + 1 2 y 1 d y d x e x = + ( x 2 4 ) d y x y d x + =

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Separar variables Integrando, obtenemos: 2 4 dy x dx y x = + ò ò Integrar

Como y = 0 también es solución, podemos escribir la solución general como: Solución general

Recuerde que en ciertos casos no es posible escribir la solución general en la forma explicita y=f(x), por tanto se puede utilizar la derivación explicita para verificar dicha solución.

Ejemplo:

xydx + ex2 ( y2 -1)dy = 0 Donde y es diferente de 0 Donde la solución general es

ex2 + y2 -ln y2 = 2c. Ejemplo

Por el método de separación de variables encuentre la solución general de la ecuación diferencial y encuentre su solución particular.

y¢ + 2y = 2 Con la condición y = 1/ 2 si x = 4 Solución: 2 4 dy x d x y x = + 2 1 1( 4 ) 2 L n § y ¨ = L n x + + C § y ¨ = e C1 x 2 + 4 y = ± e C 1 x 2 + 4 y = C x 2 + 4

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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Por tanto por separación de variables

dy 2 2y dx = - Entonces 2 2 dy dx y = - integrando 2 2 dy dx y = - ò ò se tiene: ln 2 2 2 y x c - § ¨ = +

Remplazando la condición inicial c = - 4 por tanto la solución particular es ln 2 2 4 2 y x - § ¨ = - (solución implícita). Ejemplo

Hallar la ecuación de una curva que pasa por el punto (2,6) y tiene pendiente 2 y

x

Solución: como la interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la curva entonces 2

dy y dx x =

Separando variables e integrando se llega a 2 dy dx y x ò = y ¹ 0 Entonces ln y 1 c x § ¨ = - + donde y=e-(1/x)+c =ce-1/x

como y = 6 y x = 2 6=ce-1/2 C = 6e1/2 por tanto la curva que se pide es

y=6.e1/2e-1/x simplificando y=6.e(1/2-1/x)

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Al trabajar con las constantes en el método de separación de variables dicha constante aparece cuando integramos el lado derecho o sea dx por tanto utilizamos una sola constante C.

Lección 2: Ecuaciones Homogéneas

Una función f (x, y),es homogénea de grado n si para un número real n satisface la siguiente identidad:

f (tx,ty) = tn f (x, y)

Veamos con ejemplos si la función es homogénea o no.

a) f (x, y ) = x2y - 4 x 3 + 3xy 2 es una función homogénea de grado 3 porque: f (tx,ty) = ( )2 ( ) ( )3 ( )( ) 2 tx ty - 4 tx + 3 tx ty

= t3 (x2y)- t3 (4x3 ) + t 3 (3xy2 ) = t3 (x2 y - 4 x3 + 3xy 2 )

= t3 f (x, y)

b) f (x, y ) = xe x/y + y sen (y / x) es una función homogénea de grado 1 porque: f ( t x , t y ) t x e x / y t y s e n t y tx = + t ( x e x / y y s e n y ) x = +

(30)

CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales c) (x, y) = x + y2 no es homogénea porque

f (tx , ty ) = tx + t 2 y 2 t (x + ty 2 ) ¹ t n (x + y 2 )

d) f (x, y) = x2 + 2xy Es homogénea de grado 2 2 2 ( , ) ( ) 2( )( ) ( , ) ( 2 ) f tx ty tx tx ty f tx ty t x xy = + = + e) f ( x, y) = x3 y - xy 3 + 5 No es homogénea (verificar)

En una mayoría de casos se puede verificar si una función es homogénea si observas el grado de cada término de la función. Como ejemplo a lo anterior veamos ejemplos:

f ( x, y) = x2 y + y 2 x + y3 El grado de los 3 términos es 3 por tanto es homogénea de grado 3

f (x, y) = x5 +12xy Esta función tiene dos términos de grado 5 y 2 respectivamente por tanto no es homogénea.

Ahora veamos si una ecuación diferencial es homogéneas.

DEFINICION DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS: Si la ecuación diferencial tiene la forma:

M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y = 0 Y cumple con la propiedad: = tf ( x , y )

(31)

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n M tx ty t M x y y N tx ty t N x y = =

Se dice que la ecuación diferencial es homogénea siempre y cuando tienen el mismo grado n.

MÉTODO DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA Si la ecuación diferencial tiene el mismo grado de homogeneidad se pueden

reducir a una ecuación de separación de variables utilizando una sustitución y = ux o x = vy, Donde u y v son variables dependientes.

Si elegimos y = ux entonces ( , ) ( , )[ ] 0 d y u d x x d u M x u x d x N x u x u d x x d u = + + + =

Por homogeneidad del mismo grado

[M (1, u ) + u N (1, u ) d x + x N (1, u ) d u = 0

Y por tanto por homogeneidad la ecuación se transforma a variables separadas y procedemos a resolverla con los procedimientos para separación de

variables, explicado con anterioridad en el modulo. Veamos lo anterior con ejemplos:

(32)

CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Resolver la ecuación:

Solución:

Aquí M = y 2 y N = x 2 - x y . Ambas son homogéneas y de segundo grado “X” y “Y” . Además tenemos.

Haciendo la sustitución y = ux , se obtiene: O sea

A fin de de separar las variables, dividimos por ux, esto da: Integrando se tiene:

Pero Luego la solución general es: y 2 d x + ( x 2 - x y ) d y = 0 y 2 x 2 dy xy dy dx dx + = 2 2 dy y dx xy x = - 2 1 x d u u u dx u - + = - u d x + x (1 - u ) d u = 0 d u (1 u ) d u 0 x u - + = c u c , u u L n x L n u u C L n u x C u ux e e e u x C e + + - = = + = = = u y x =

(33)
(34)

CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales El aprendizaje significativo permite al estudiante, tener mayor conciencia sobre lo que se aprende y de los procesos que utiliza para su consolidación, así como darse cuenta del arsenal de herramientas disponibles para abordar los retos. Ecuaciones Homogéneas. Son de la forma y f y . x ¢ = æ ö ç ÷ è ø

Se hace el cambio de la función y(x) por u(x) mediante y=ux, transformándose así la E.D. en una de variables separadas.

Ejemplo: resolver la ecuación xy 2 dy y 3 x 3 dx

= -

La ecuación la escribimos x y 2 d y - ( y 3 - x 3 ) d x = 0

Como es una ecuación diferencial homogénea de grado 3 sustituimos Y = ux por tanto ( ) 2 ( ) (( )3 3 ) 0

dy udx xdu

x ux udx xdu ux x dx = +

+ - - =

Haciendo distribución y reduciendo la ecuación se tiene: u 2 x 4 d u = x 3 d x Como

x 0 , u 2 d u 1 d x x

(35)

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Integrando y3 = 3ln§x¨+ 3c reemplazando la sustitución Y = ux entonces

u = y / x obtenemos

y 3 = 3 x 3 ln § x ¨ + 3c x 3

Ejemplo: Comprueba que la ecuación diferencial (x - y)dx+ xdy = 0

es homogénea de grado 1 y al resolver la ecuación su resultado es x ln§x¨ = y + cx

Lección 3: Ecuaciones exactas

Si en la ecuación diferencial de la forma M(x, y ) dx + N(x, y ) dy = 0

El lado izquierdo corresponde a la derivada total de alguna función f (x, y) la ecuación diferencial es exacta.

Criterio de exactitud

Si M y N tienen derivas parciales continuas, entonces la ecuación diferencial M(x, y ) dx + N(x, y ) dy = 0 es exacta si y solamente si:

Ejemplos de comprobación para exactitud. a) La ecuación diferencial: (xy 2 + x ) dx + yx 2 dy = 0 M N y x ¶ ¶ = ¶ ¶

(36)

CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Es exacta porque: ( xy 2 x ) 2xy (yx2 ) y x ¶ ¶ + = = ¶ ¶ b) la ecuación ( y2 +1)dx + xydy = 0 no es exacta.

c) la ecuación cos y dx + (y 2 + xsen y ) dy = 0 no es exacta, a pesar de que difiere de la primera ecuación solamente en un signo.

En algunos casos se ve que una ecuación es exacta después de una agrupación adecuada de sus términos. La ecuación así ordenada se puede integrar término a término. Ejemplo: Es exacta porque: Ejemplo: La ecuación es exacta. Ejemplo: M N 2 x y y x ¶ ¶ = = ¶ ¶ ( x 2 - y ) d x + ( y 2 - x ) d y = 0 M ( x 2 y ) 1 ( y 2 x ) N y y x x ¶ ¶ ¶ ¶ = - = - = - = ¶ ¶ ¶ ¶ 3 4 2 2 3 2 (4 2 ) (3 ) 0 12 2 x x y d x x y x d y M x y x N y x - + - = ¶ ¶ = - = ¶ ¶ 3 3 3 ( 3 2 ) 0 3 x x

(37)

e y x d x e d y M e N y x - + = ¶ ¶ = = ¶ ¶

(38)

CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Ejemplo:

La ecuación también es exacta.

Solución de una ecuación diferencial exacta

El método de solución de la ecuación diferencial exacta es el siguiente: 1. Verificamos que la ecuación diferencial sea exacta

M N y x ¶ ¶ = ¶ ¶

2. Suponemos que existe una función f tal que f M(x, y)

x ¶ = ¶

3. Encontramos f integrando ambos lados de la ecuación con respecto a x y mantenemos constante y:

f (x, y) = òM(x, y)dx + g(y) Donde g ( y) es la constante de integración. ( c o s c o s ) ( ) 0 c o s y y x d x s e n x x s e n y d y M s e n y x N y x + + - = ¶ ¶ = - + = ¶ ¶

(39)

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 4. Ahora derivamos f (x, y)con respecto a y por tanto se debe obtener N ( x, y). ( ( , ) ( )) ( ) ( , ) ( , ) f M x y dx g y y y g y N x y M x y dx y ¶ ¶ ¢ = + ¶ ¶ ¢ ¶ = -¶ ò ò Donde

5. Ahora integrando esta última ecuación obtenemos respecto a y obtenemos g ( y).

6. Reemplazamos lo encontrado y tenemos en su totalidad la función a encontrar f (x, y).

Ejemplo: Hallar la solución de la siguiente ecuación diferencial (2xy – 3x 2 ) dx + (x 2 – 2y ) dy = 0

Solución: La ecuación diferencial dada es exacta, ya que: (2xy 3x 2 ) 2x (x 2 – 2y)

y x ¶ ¶ - = = ¶ ¶

Podemos obtener la solución general f (x, y) como sigue: f ( x , y ) = ò M ( x=, y ) d x ò ( 2 x - 3 2 ) d x M y ¶ ¶ N x ¶ ¶ f ( x , y ) = x 2 y - x 3 + g ( y )

(40)

CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Determinamos g ( y) integrando N(x, y) con respecto a y e igualando las dos expresiones de f (x, y ).

Ejemplo: Resolver la ecuación 2

2

2 x dx x dy 0 y y

- =

Verificando las derivadas 2 M N 2x y x y ¶ ¶ = = - ¶ ¶ Suponemos f 2x x y ¶ = ¶

integrando respecto a x tenemos: 2

f (x, y) x g(y) y

= + Ahora derivamos respecto a y se tiene: 2 2 f x g ( y) x y ¶ ¢ =- + ¶ Igualando a N(x, y) 2 2 2 2 x x g ( y) y y - = - + ¢

Entonces g¢( y) = 0 por lo tanto g(y) = c donde c es una constante arbitraria. Reemplazando

2

f (x, y) x c y

= + esta es la función solución. Lección 4: El factor integrante

Cuando una ecuación diferencial no es exacta se puede convertir en exacta, multiplicando por un factor apropiado u (x, y), llamado factor integrante de la ecuación diferencial. Por ejemplo, si la ecuación diferencial

(41)

( ) ( , ) ( ) 2 g y N x y d y g y x ydy y C = = - = - + ò ò 2 3 2 1 f ( x , y ) = x y - x - y + C

(42)

CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 2 y d x + x d y = 0 Ecuación no exacta

Es multiplicada por el factor integrante u(x, y ) = x, la ecuación resultante 2x y d x + x2 d y = 0 Es una ecuación exacta

Otro ejemplo: si la ecuación y dx – x dy = 0 Ecuación no exacta Si al multiplicarla por el factor integrante u ( x, y) = , la ecuación resultante:

Es una ecuación exacta.

Y luego se resuelve la ecuación de acuerdo a lo explicado anteriormente. Ahora cuando se presenta una ecuación diferencial exacta es necesario encontrar el factor integrante. Cómo encontrarlo?

Si M (x, y)d x + N (x, y)d y = 0 no es exacta entonces, se buscará un factor integrante: 2 1 y 2 1 d x x d y 0 y y - = ) ( ) M N a s i y x f x N ¶ ¶ - ¶ ¶ = f ( x ) d x eò

(43)

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Función solo de x, entonces es un factor integrante de la

ecuación diferencial. b)

Función de solo de y, entonces es un factor integrante de la ecuación diferencial. Ejemplo La ecuación no es exacta. Sin embargo, Luego: Es un factor

Integrante, al reemplazarlo en la ecuación diferencial inicial la ecuación es exacta. ( ) M N s i y x g y M ¶ ¶ - ¶ ¶ = - g ( y ) d y e ò

(2xy ye y + 2xy3 + y)dx + (x2 y ye y - x2 y2 - 3x)dy = 0 M 8 x y 3 e y 2 x y 4 e y 6 x y 2 1 y ¶ = + + + ¶ N 2 xy 4e y 2 xy 2 3 x ¶ = - - ¶ M N 8 xy 3e y 8 xy 2 4 y x ¶ ¶ - = + + ¶ ¶ 4 ( ) M N y x g y M y ¶ - ¶ ¶ ¶ = = - ( ) 4 4 4 dy 1 e g y dy e dx e Lny

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(45)

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales EJEMPLO

La ecuación es exacta. El factor integrante es

Si se introduce en la ecuación se convierte en: Luego la ecuación diferencial es exacta. Ejemplo 3

( y2 – x ) d x + 2 y d y = 0

Solución: La ecuación no es exacta, ya que ( , ) 2 ( , ) 0 x x M x y = y y N x y = 2

2 4

3 2 4 (2xe y 2 dy x )dx ( x e x 3 x )dy 0 dx y y y

+ + + - - =

(2x3 y2 + 4x2 y + 2xy 2 + xy 4 + 2 y)dx + 2( y3 + x2 y + x)dy = 0 M 4x3 y 4x2 4xy 4xy3 2 y ¶ = + + + + ¶ N 2 ( 2 x y 1 ) x ¶ = + ¶ 2 M N y x xy N ¶ - ¶ ¶ ¶ = eò2xdx = ex2 (2 x 3 y 2 + 4 x 2 y + 2 xy 2 + xy 4 + 2 y )e x 2 dx + 2( y 3 + x 2 y + x )e x 2 dy = 0 ( ) 2 MMy y x y y ¶ - = ¶

(46)

CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Sin embargo como:

( , ) ( , ) 2 0 1 ( ) ( , ) 2 y x M x y N x y y h x N xy y - - = = =

ex Es un factor integrante. Multiplicando la ecuación diferencial dada por ex , obtenemos la ecuación exacta:

(y2e x – x e x ) dx + 2y e x dy = 0

Se deja al lector para que los anteriores ejercicios sean resueltos por el método de ecuaciones diferenciales exactas.

Lección 5: Ejercicios Propuestos

Sistema de Aprendizaje Auto gestionado Asistido sostienen, que el aprendizaje es para toda la vida y el proceso de aprender también debe llevarse a cabo durante todo el tiempo que vivamos, además que cada individuo elabora y construye su N ( 2 y ) 0

x ¶ = ¶

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales aprendizaje y los procesos para lograrlo, de forma singular y de acuerdo a sus vivencias.

1. De a cuerdo a las ecuaciones diferenciales dadas completa los cuadros que se piden: 1) 2 2 2 2 2 2 2 u u u u 0 x y x y ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + + + = 2) 6 4 3 6 4 3 d x d x d x x t dt dt dt æ öæ ö + ç ÷ç ÷ + = è øè ø 3) (x 2 + 4) y ” + x y - x - 2 = 0 4) 1 2 3 2 + = ÷ø ö çè æ ds d r ds dr 5) 2 2 dt d y + t s en( y) = 0 6) 2 2 dt d y + y s en(t) = 0 7) dy x2 y xex dx + = 8) x dy + y dx = 2 2 0 Ecuació n Ordinaria o Parcial Orden Función incógnita Variables

(48)

Ordinaria 6 x(t) t 345678

Tabla 1

2. Para las ecuaciones ORDINARIAS responde también a lo siguiente Ecuació n Lineal ¿SI o NO? Términos NO lineales Justificación de la NO linealidad

2 NO (xiv )( x’’’) Los coeficientes de la cuarta y de la tercera derivada dependen de la

variable dependiente 35678

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Ecuación Están en forma estándar

¿SI o NO?

(si NO lo están ponerlas en esa forma) Homogéne a ¿SI o NO? Término NO homogéne o 12358 Tabla 2

3. Por separación de variables resuelva: 2 3 2 1. 3 1 2 . 3. 4 4 . 1 2 5. (1 ) 6 . s e c ( ) c o t ( ) d y x d x dy x dx y xy y dx y d y y s e n x d p p p d t x d y x y d y = + = ¢ = + = = -=

4. Determine si la ecuación diferencial es homogénea y determine el grado 3 2 2

1. ( , ) 8

(50)

+ 2. f (x, y) = (x + y +1)2 3. f (x, y) cos( x ) x y = +

4. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales y encuentre la solución particular.

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 1.xy2 dy y3 x3, y(1) 2

dx = - =

2.xtdx - x2dt t =x2 + t2dt,t(0) =1

5. Determine si es exacta, si es exacta resuelva la ecuación por su método caso contrario si no es exacta, encuentre el factor integrante.

1.(2 x + y)dx - ( x + 6 y)dy = 0 2.(x + y)(x - y)dx + x(x - 2y)dy = 0 2 3 3 2 2 3.( 1 ) 0 1 9 x y dx x y x dy - + = +

4.(3x cos3x + sen3x - 3)dx + (2y + 5)dy = 0 5 x 4 = 20

2 x 8 = 16

Puedes tomar referencia de http://es.wikipedia.org METODO DE RESOLUCION

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Recordemos Factor integrante solo en función de x.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir, entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

),

Factor integrante solo en función de y.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a y (es decir, entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

),

Factor integrante solo en función de x·y.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x·y (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

Donde M * x = M·x Mencionando que:

CAPITULO 3: CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Introducción

Antes de entrar de lleno a los campos de aplicación es necesario realizar una nota sobre una herramienta de las matemáticas como lo es las ecuaciones de Bernoulli, ecuación muy utilizada en física y en general las ciencias naturales.

Como sabemos una ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma: dy P(x)y Q(x)

dx + =

Donde P y Q son funciones continuas, y partiendo de esto no podemos olvidar que existen ecuaciones aplicativas no lineales que se pueden reducir a lineal como es el caso de las ecuaciones de Bernoulli las cuales tienen la siguiente notación:

dy P(x) y Q(x) yn dx

+ =

Donde esta ecuación será lineal si n = 0 , pero la ecuación de Bernoulli tiene a n diferente de 0.

Realizando procesos matemáticos podemos demostrar (investiga esta demostración) encontramos que la solución de la ecuación de Bernoulli es: 1 (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) y n e n P x d x n Q x e n P x d x d x C - ò - = ò - ò - + Solución a la ecuación de Bernoulli.

Ejemplo: Solucionar la siguiente ecuación de Bernoulli y¢ + xy = xe- x 2 y -3

Solución: U = -3 usamos la sustitución z = y1-n = y4derivando z¢ = 4y3y¢ Multiplicando por

2 3 3 4 4 , 4 4 4 x y tenemos y y¢ + xy = xe -

Ahora ya tenemos la ecuación diferencial lineal 2 z¢ + 4xz = 4xe-x donde P(x) = 4x y además integrando P se tiene la expresión 2 x 2 con lo que el

(54)

CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales factor integrante para la ecuación diferencial es

e2 x2 y multiplicando por este

factor integrante la ecuación diferencial: d [ z e 2 x 2 ] 4 x e x 2

d x

= Por tanto z =

2e-x2 +Ce-2x2 sustituyendo el valor de Z la solución general es

y 4 = 2 e - x 2 + c e - 2 x 2

Trabaja con la ecuación de Bernoulli e investiga sus aplicaciones Lección 1: Trayectorias Ortogonales.

Un problema común en electrostática, termodinámica e hidráulica es hallar la familia de curvas ortogonales toda la familia de curvas de acuerdo al

comportamiento del fenómeno.

Son ortogonales por que cada curva corta la familia de curvas de la solución del problema diferencial.

Por ejemplo en electrostática las líneas de fuerza son ortogonales a las equipotenciales. En termodinámica es el flujo de calor ortogonal a las curvas llamadas isotermas y en hidráulica el flujo de corriente es ortogonal a las curvas potenciales de velocidad.

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Primero debemos encontrar dy f (x, y)

dx

= para la familia de curvas dada, luego encontramos 1 ( , ) dy dx f x y -

= permitiéndonos así encontrar las ortogonales.

Ejemplo: Hallar las ortogonales para la ecuación térmica y = cx2 .

Esta familia es un conjunto de curvas parabólicas asimétricas al eje y, derivamos entonces para encontrar 2 dy cx

dx

= como la ecuación dada es y = cx2 .

Eliminamos c igualando c en las ecuaciones anteriores. dy 2 y

dx x

= Ahora para las ortogonales se invierte 2 dy x dx y - = y la solución a esta ecuación es: 1 2 2 2

x + y = k que son las curvas ortogonales a las parábolas. Grafica 2

Grafica del programa derive y Editor Matemático Mathtype Fuente: Esta investigación

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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Lección 2: Los campos de fuerza. Una aplicación de las Ecuaciones

diferenciales.

En la física los campos de fuerza son importantes para determinar direcciones y sentido de aplicación, intensidad de la misma y a su vez la magnitud de la fuerza aplicada, esta fuerza en su mayoría de tipo electromagnético. Veamos un ejemplo: Para hallar el campo de fuerzas dado por

2 2 2 2 2 f ( x , y ) 2 y i y x j x y x y = - + +

Determinamos la pendiente del vector F (x, y) En forma diferencial es

Resolviendo la ecuación y 2 - e x + 1 = Ce - x es decir, y 2 = x – 1 + C e - x

Esta función nos muestra varias curvas representativas de esta familia. Si graficáramos la ecuación observamos que el vector fuerza es tangente a la curva que pasa por ( x, y).

Plantea tus propios problemas de la física en campos vectoriales y encuentra los campos de fuerza mediante la ayuda de las ecuaciones diferenciales.

2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 y x d y x y y x d x y y x y -- -- -- = = - ( y 2 - x ) d x + 2 y d y = 0

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Lección 3: Aplicaciones de familias de curvas y trayectorias ortogonales

Texto

http://www.caribu.byethost8.com/

Lección 4: Otras aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

Como mencionamos anteriormente existe una gran gama de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. En este e material didáctico procederemos a encontrar solamente el modelo matemático (ecuación diferencial) de las aplicaciones y dejaremos al lector para resuelva la ecuación diferencial por procedimientos anteriormente explicados como transferencia en el curso.

Aplicación 1.

Un recipiente contiene 50 litros de una mezcla de 90 y 100 de A liquido y 10 por 10 de liquido B , se vierte este deposito a 4 litros/minuto una segunda mezcla que contiene 50 por 100 y 50 por 100 respectivamente, al mismo tiempo se vacía en el recipiente a razón de 5 litros/minuto. La mezcla total se agita totalmente. Cuánto alcohol queda en el depósito después de 7minutos?

Solución:

Y= número de litros de B en el deposito en un tiempo t Y = 50 Cuando t = 0

El número de litros en el instante dado t es 50-t El recipiente pierde 5 litros/minuto entonces ( 5 )

50 y

- t Es la cantidad de litros de B por minuto

Como en el recipiente entran 2 litros de B por minuto entonces la ecuación para determinar cambio de cantidad esta dada por la ecuación diferencial

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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 2 ( 5 ) . 50 dy y dt t = -

- Sugerencia (para resolver la ecuación se debe hacer

P(t) = 5 / (50 - t) Y además al hacer t < 50 se omite el valor absoluto en la integral y se reemplazaremos luego la condición inicial y = 5 cuando t = 0 obteniendo la solución general y de esta reemplazamos el valor pedido de t = 7 minutos.

Aplicación 2.

Las ecuaciones diferenciales también son muy utilizadas para modelar el

comportamiento de los circuitos eléctricos. Recordemos que en un circuito simple hay una corriente I (amperios), una resistencia r (ohmios), una inductancia L (n henrios) y una fuerza electromotriz constante E (en voltios). Gracias a la ley de Kirchhoff, si se cierra el interruptor W en t=0 la fuerza aplicada es igual a la suma de las caídas de potencial en el resto del circuito por tanto la ecuación diferencial de la corriente es:

L d I R I E d t

+ =

Ejemplo: la siguiente ecuación diferencial del circuito L(dI /dt)+RI =sen(2t) donde E = sen (2t) .

Aplicación 3

Otra aplicación esta en la segunda ley de Newton (caída de cuerpos) donde no se desprecia la resistencia del aire al cuerpo. Aquí g=gravedad (constante),

m|=masa, F=m.a

La fuerza hacia abajo es: mg-kv y k es la constante de proporcionalidad. La ecuación diferencial que refleja el comportamiento es:

m d v m g k v d t dv k v g dt m = - + = Entonces

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Ejemplo: Un avión deja caer un cuerpo de masa m, hallar la velocidad en t tiempo. Suponer que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo. S/ recuerde al utilizar la ecuación diferencial hacer b= k/m ya que son constantes y así separar variables.

Aplicación 4.

En la ingeniería de alimentos, es importante pensar en la conservación de alimentos, el alimento se transforma, siendo este proceso proporcional a la concentración y (t) del alimento sin cambios.

Ejemplo: Si sabemos que la concentración es de 1/40 cundo t = 0 y 1/160 tras 2 horas. Hallar la concentración sin cambios a del alimento después de 5 horas. Aquí por ser cambio proporcional a y (t) la ecuación es:

dy ky dx

= Resolvamos esta ecuación por separación de variables y encontremos c haciendo y (o) =1/ 40 además encontremos K haciendo y (2 ) = 1/160 . Luego proceda a reemplazar la condición t =5 horas.

Aplicación 5.

En microbiología: Los microorganismos crecen con una rapidez de acuerdo al tamaño, las ecuaciones diferenciales permiten calcular la cantidad de

microorganismos en un tiempo t.

Entonces la población de microorganismos esta en función del tiempo y (t) por tanto la ecuación diferencial es

dy ky dt =

Ejemplo: si al comienzo hay 100 microorganismos y después de 5 horas 2000, calcular después de 8 horas.

Aquí y (0) =100 y (5) = 2000 , estas serán condiciones iníciales para la ecuación diferencial. Para encontrar c y k respectivamente c con la primera condición y k con la segunda condición. (Realiza el ejercicio).

APLICACIÓN 6.

Problema del enfriamiento: La ley de newton establece que la razón de que un objeto se enfrié es proporcional a la diferencia de temperaturas entre objeto y medio ambiente donde T temperatura objeto y Tm temperatura medio. Entonces el

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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales cambio de temperatura es dT

dTm

y por tanto la ecuación diferencial es dT k(T Tm)

dt

= - donde k es la constante de proporcionalidad donde la ecuación es lineal.

Ejemplo: Un cuerpo es retirado a 500 grados y es colocado en un cuarto a 100 grados; si la temperatura del cuerpo baja hasta 300 grados en una hora, cual es la temperatura al cabo de 6 horas.

Sabemos que Tm = 100, T (0 ) = 500 y t (1) = 300 dT KT 100

dt + =

Integramos utilizando el factor integrante e k t T = 75+ ce-kt ahora

reemplazamos la condición T (0) , para encontrar c, entonces

T(t) = 75+ 225e-kt si utilizamos T (1) encontramos k (Proceda a resolver el problema con estas indicaciones). Luego encuentre lo buscado T (6). Lección 5: Ejercicios Propuestos

1. La concentración de monóxido de carbono a bajos niveles, por ejemplo 0.00012 puede ser perjudicial para los seres humanos.

Encontrar el tiempo en el cual se alcanza esta concentración. t=1 hr 21 min.

2. Un hombre y su barca pesan 98 N. La fuerza ejercida en la dirección del movimiento es 4.9 kg y la resistencia al movimiento es igual al doble de la velocidad, determinar: la velocidad 20 seg después de que la barca haya empezado a moverse. s/

3. Un cultivo de hongos crece con rapidez proporcional al tamaño. Si se tiene 1000 y después de 2 horas se tiene 2500. Cuantos hay en 6 horas. S/ 15.625 hongos. v = 2.4m/ seg.

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 4. Encontrar la corriente I en función del tiempo para un circuito de L = 1, R= 1000000 y fuerza = 1 voltio. S/ 1 amperio si t aumenta.

5. Si un cuerpo es sacado de un horno a 300 grados y se coloca en un recipiente a 75 grados, la temperatura del cuerpo decae a 200 grados en media hora. ¿Cuál es la temperatura a las 3 horas? S/ 81,6 grados.

6. Un cuerpo que pesa 64 néwtones se deja caer desde una altura de 100 metros cuya velocidad inicial es 10 m/s, la resistencia del aire es proporcional a la

velocidad del cuerpo. La velocidad limite es de 128 m/s encontrar la posición en un instante t. s/ ( ) 128 1534 13 1534

t xt e - = + -

7. En un recipiente hay 1 libra de sal en 100 galones de agua. Se sabe que la solución salina entra al tanque a razón de 3 galones por minuto, se agita el

recipiente y sale la solución en la misma proporción. Que cantidad de sal hay en el recipiente en 2 horas. S/ 9.52 libras.

8. Halle las curvas ortogonales de x2 - y2 = cx . 5 x 4 = 20

2 x 8 = 16

Teorema De Bernoulli

Veamos la Segunda Ley de Newton o Ley de Fuerza

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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales http://es.wikipedia

ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD Hallar la solución general de la ecuación diferencial dada. 1. dy y dx x = 2. 2 2 3 dy x dx y + = Sol: 2 2 2 2 y - x =C Sol: 1 3 3 2 3 y x x C æ ö =çç + + ÷÷ è ø 3. 4. Sol: ( )3 2 y =C 2+x Sol: 1 y = C x

Hallar la solución particular de la ecuación diferencial que satisface la condición inicial dada.

Ecuación diferencial Condición inicial Soluciones: (2 x) dy 3y dx + = x dy y dx = 5) 0 6) 0 7 ) ( 1) 0 8) ln 0 y d y e x d x x y d y

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y x d y d x x y d y x d x - = + = + + = - = (0) 4 (1) 4 ( 2) 1 (1) 0 y y y = = - = = ( )1 y = eX 2 +16 2 1 3 2 2 4 16 3 y x æ ö = ç- + ÷ çç ÷÷ è ø

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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Averiguar si la función es homogénea, y si es así, hallar el grado.

13. f ( x, y) = x3 – 4xy2 + y3

Sol. La función es homogénea de tercer grado. 14. f (x, y) = 2 ln xy

Sol. La función no es homogénea. 15. f (x, y) = tg (x + y)

Sol. La función no es homogénea. 16. f (x, y ) 2 lnx

y =

Sol. La función es homogénea de grado cero. f (tx,ty) = f (x, y)

Resuelva la ecuación diferencial homogénea 17. 18. 1 1 x y + = × x 2 e 2 y = lnX 2 dy x y dx x + = dy x y dx y + =

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Sol: 2 x c n 1 y x × =æ - ö ç ÷ è ø l Sol: 11 3 1 1 x c y x × = æ + ö ç ÷ è ø

18 Hallar las trayectorias ortogonales de la familia dada y dibújense varios miembros de cada familia, ver figura 3.

a. x2 + y2 = C Sol: Gráfica 3 b. x2 = Cy Sol: Gráfica 4

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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales c. 2x2 - y2 = C Sol: Gráfica . 5 d. y2 = 2Cx Sol: Gráfica 6

Grafica del programa derive y Editor Matemático Mathtype Fuente: Esta investigación

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 19. En las pirámides de inversión La cuantía A de una inversión P se incrementa a un ritmo proporcional al valor de A en el instante t.

a) Obtener la ecuación de A como función de t. Sol:

r t A c e × = ×

b) Si la inversión inicial es de $1000,00 y el interés del 11 por 100, calcular el capital al cabo de 10 años.

Sol: A 1000er t = ×

c) Si el interés es del 11 por 100, calcular el tiempo necesario para doblar la inversión.

Sol: t = 6,28

20. La tasa de crecimiento de una población en Colombia en un instante dado es proporcional al tamaño de la población en dicho momento. Si hay 180 después del segundo día del experimento y 300 después del cuarto día. ¿Cuántas había originalmente?

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– UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 1

http://www.caribu.byethost8.com/ 58

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales – UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 59

UNIDAD 2

Nombre de la Unidad ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR

Introducción En esta unidad estudiaremos las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes y su forma

de solución, utilizando una herramienta del álgebra que es la ecuación característica. Además analizaremos y

solucionaremos las ecuaciones homogéneas y no homogéneas de segundo orden, determinando así los diferentes casos que se pueden presentar en la ecuación diferencial.

Justificación Las Ecuaciones Diferenciales de segundo orden, tienen una importancia fundamental en la Matemática y para la

ingeniería debido a que muchos problemas se representan a través de leyes y relaciones físicas matemáticamente por este tipo de ecuaciones1 . El interés en esta unidad es la deducción de las

Ecuaciones Diferenciales a partir de situaciones físicas que se presentan en determinados problemas de carácter físico y/o técnico.

Intencionalidades Formativas

- Reconoce una ecuación diferencial con coeficientes constantes.

- Asocia a la ecuación diferencial con coeficientes constantes la ecuación característica.

- Realiza la diferencia de las soluciones de una ecuación de de segundo orden, con respecto a las raíces de la ecuación característica.

- Resuelve correctamente las ecuaciones de segundo orden y orden superior con coeficientes constantes. - Emplea correctamente los métodos para solucionar ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden y orden superior.

- Soluciona ecuaciones diferenciales no homogéneas por el método de coeficientes indeterminados y de variación de parámetros.

- Resuelve correctamente ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes.

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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales - Encuentra el operador anular para una función y lo aplica

correctamente en la solución de sistema de ecuaciones. - El estudiante plantea problemas correctamente

empleando la modelación con ecuaciones diferenciales. - Por ultimo, resuelve correctamente ecuaciones

diferenciales lineales y cuantifica la importancia de la modelación matemática con ecuaciones diferenciales en la solución de problemas científicos.

Denominación de capítulos

2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN.

2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

2.3. CAMPO DE APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR.

CAPITULO 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Introducción

En este aparte estudiaremos las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes y su forma de solución, utilizando una herramienta del álgebra que es la ecuación característica. Además analizaremos y solucionaremos las ecuaciones homogéneas y no homogéneas de segundo orden, determinando así los diferentes casos que se pueden presentar en la ecuación diferencial. Lección 1: Ecuaciones diferenciales de segundo orden y métodos de solución.

Es necesario para comenzar con esta lección, tener en claro la notación de una ecuación diferencial de orden n , porque en la lección trabajaremos para aquellas ecuaciones donde n = 2 y así abordar las ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Definición de Ecuación Diferencial Lineal de Segundo Orden n

Sea w1,w2 ,K,wn y f funciones de x con un dominio común. Una ecuación de la forma: ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 2) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 n n n n n y w x y w x y w x y w x y f x - - - + + +K+ ¢ + =

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Se llama ecuación diferencial lineal de orden n . Ahora si f (x) = 0 se dice que la ecuación es homogénea; en caso contrario, se llama inhomogénea. De Aquí en adelante nos ocuparemos de este tipo de ecuaciones diferenciales. Ahora la ecuación diferencial de segundo orden es:

( ) ( ) ( ) 1 2 y¢¢ + w x y¢ + w x y = f x

Ejemplos: Son ejemplos de ecuaciones de segundo orden las siguientes. y¢¢ + 6y¢¢ +12y = 0 .

y¢¢ + 4 y¢ + 4y = 0 0 2 2 = + ÷ø ö çè + æ y m k dt dy m p dt d y y¢¢ - y¢ = 0 2y¢¢ + 3y¢ - 2y = 0 2y¢¢ - 6y¢ + 7 y = 0 y¢¢ - 2y¢ - 3y = 2sen x y¢¢ - 2y¢ - 3y = e-x

Solución General de Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden Para solucionar ecuaciones diferenciales de segundo orden se dan casos característicos para encontrar la solución general. En esta lección solamente daremos a conocer los diferentes casos que se pueden presentar en una ecuación diferencial de segundo orden:

1. Solución general como combinación lineal de soluciones linealmente

independientes. Donde la clave es la ecuación característica que se puede asignar a la ecuación diferencial según la estructura de la misma.

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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales y¢¢ - ay¢-by = 0

y en general la ecuación cuadrática 0 m2 + am + b = tiene raíces 2 2 4 1 m a a b - + - = y 2 2 4 2 m a a b - - - =

2. Solución de una ecuación mediante coeficientes indeterminados: funcionando bien si f (x) esta formada por polinomios o funciones cuyas derivadas siguen un modelo cíclico.

3. Solución por variación de parámetros: Para poder solucionar el problema del anterior método.

Procedamos entonces a analizar estos métodos.

Lección 2: La Solución General de una ecuación diferencial como Combinación Lineal de Soluciones Linealmente Independientes. Concepto de independencia lineal:

Decimos que las funciones n y , y , , y 1 2 K son linealmente independientes si la única solución de la ecuación

0 1 1 2 2 + + + = n n C y C y K C y

Donde 0 1 2 = = = = n C C K C . En caso contrario, las funciones se dice que son linealmente dependientes.

Ejemplo, las funciones ( ) 1 y x = -sen x e

2 2y = x

, linealmente independientes.

Porque los únicos valores de 1 2 C y C para los cuales 2

1 2 C (-sen x) +C x = 0 Para todo x

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Ejemplo: y1 ( x) x, y2 (x) 3x = =

son linealmente dependientes, porque

( ) (3 ) 0 1 2 C x + C x = presenta 1 3, 2 1 C = - C = .

Vemos entonces de aquí en adelante la importancia de la independencia lineal al construir la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes.

La solución general de una ecuación diferencial se presenta como una combinación lineal de soluciones linealmente independientes

ENTONCES: Independientes significa que ninguna es múltiplo de la otra. Si 1 2 y y y son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial y¢¢ + ay¢ + by = 0 entonces la solución general es

1 1 2 2 y = C y + C y Donde 1 2 C y C son las constantes.

Pensemos y recordemos la solución de una ecuación diferencial de primer orden con coeficientes constantes por tanto la ecuación diferencial de segundo orden tiene soluciones de la forma , y = emx entonces y¢ = memx , y¢¢ = m2emx , luego de hacer un reemplazo nos encontramos con una ecuación característica que nos permitirá encontrar las raíces de la ecuación

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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales emx (m2 + am+ b)= 0

Como

emx nunca se anula,

y = emx es una solución si y solamente si m2 + am + b = 0

Ecuación característica

Recuerde que la ecuación característica puede determinarse a partir de su ecuación diferencial simple sustituyendo y ¢¢

por m2 , y¢

por m , y por 1.

Ejemplo: Encontrar la ecuación característica de la ecuación diferencial y¢¢ + 4y = 0

La ecuación característica es 4 0 m2 - = donde m = ±2 Entonces y em x e2x 1 = 2 = e y em x e 2x 2 = 2 = - son soluciones

particulares de la ecuación diferencial dada. Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes la solución general es

y C e x C e 2x 2

2 1 = + -

También podemos decir que a independencia la podemos encontrar basándose en el wronskiano, pensando en su generalización al caso n soluciones de las

ecuaciones lineales de orden n.

Definición (Se propone al lector profundizar sobre este aspecto). Se designa por W[f1, ... , fn] donde fi son funciones para averiguar su dependencia en función a sus derivadas.

[ ] 1 2 n ' ' ' 1 2 n 1 n (n 1) (n 1) (n 1) 1 2 n • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

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f f f W f , ..., f f - f - f - =

Condición necesaria y suficiente para que 2 soluciones particulares 1y (x) , 2y (x) de la ecuación homogénea L[y] = 0 , sean linealmente independientes en I, es que:

Figure

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