9. DISEÑO DE COLUMNAS DE HORMIGÓN ARMADO

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9. DISEÑO DE COLUMNAS DE HORMIGÓN ARMADO 9.1 Introducción

Los elementos estructurales sometidos principalmente a carga axial de compresión se conocen con el nombre genérico de columnas o pilares. Cuando hay presencia de flexión y esta es importante se le denomina “ viga- columna “. En el primer caso se tienen como ejemplo típico los bloques de hormigón a compresión y los pedestales; en estos no hay presencia de flexión y la columna trabaja prácticamente a carga axial. En el segundo caso se tienen los elementos verticales típicos en los edificios “ columnas “ las cuales pueden ser cortas si su resistencia es controlada por las dimensiones de la sección y la capacidad mecánica de sus materiales o esbeltas si la resistencia es controlada por sus deformaciones laterales ( pandeo ).

En el estudio de la flexión del hormigón armado se introdujo el concepto de sección transformada fisurada y no fisurada y para ello se utilizo el ejemplo de las columnas cargadas axialmente. El lector debe revisar nuevamente este concepto para entender la metodología de trabajo en el diseño de columnas de hormigón armado. De la revisión de los temas anteriores se concluye que: La resistencia de una columna cargada axialmente se determina con la ecuación 9.1, con la inclusión de un factor de reducción de resistencia “ Φ “. Los factores que afectan la resistencia de las columnas son mas bajos que los de vigas ya que las columnas, a diferencia de estas, son parte vital de la estabilidad de una estructura ( la falla de una viga es localizada y no produce colapso de la estructura, por el contrario la falla de una columna la afecta parcial o totalmente con una alta posibilidad de colapso).

(

g s

)

c s y

n A A f A f

P =0.85. . ´+ . ( 9.1 )

Ya que es poco probable en la practica encontrar columnas en donde la excentricidad sea nula se recomienda realizar su diseño para una excentricidad mínima que varia de acuerdo al tipo de amarre transversal. Si la columna tiene amarres rectangulares la excentricidad mínima es del 10% de la dimensión de su sección en la dirección perpenticular al eje de la flexión. Si tiene amarre en espiral es de un 5%.

Con el fin de simplificar y garantizar un diseño confiable de columnas con excentricidad mínima el código ACI ( NSR ) especifica una reducción del 20 % de la carga axial para columnas con amarres y un 15% para columnas con espirales. En estos casos las ecuaciones de diseño son la 9.2 y la 9.3.

Columnas con amarres:

(

)

(

c g s s y

)

n f A A A f P 0.80 .0.85 . . . = φ ´ + φ ( 9.2 )

Columnas con espiral:

(

)

(

c g s s y

)

n f A A A f P 0.85 .0.85 . . . = φ ´ + φ ( 9.3 )

(2)

En donde el valor de “ Φ “ depende de como es el comportamiento de la columna en la falla. Si controla la compresión “ εt < 0.002 “ => “ Φ = 0.65 “ en columnas con amarres

y “ Φ = 0.70 “ en columnas con espiral. Si controla la tracción “ εt > 0.005 “ => “ Φ =

0.90 “ en ambos casos. Para zonas de transición ( es decir hay agotamiento simultaneo por compresión y tracción ) “ 0.002 < εt < 0.005 “ el valor de “ Φ = 0.48 + 83 εt “ para

columnas con amarres y “ Φ = 0.48 + 83 εt “ para columnas con espiral. El valor de la

deformación “ εt “ es el de la capa de acero en la cara mas traccionada de la sección. 9.2 Comportamiento y falla de columnas cargadas axialmente

Cuando una columna corta con amarres transversales se somete a una carga de compresión axial cercana a la falla ( caso típico de las cargas inducidas por sismos o fuertes impactos ), parte del hormigón que recubre el refuerzo se desprende y el acero longitudinal queda por tanto sin confinamiento lateral permitiendo así su pandeo y el posterior colapso de la columna. Este fenómeno conocido como “ descascaramiento “ puede evitarse si los amarres transversales están dispuestos de tal forma que su bajo espaciamiento evite el pandeo lateral del elemento.

Si se considera ahora una situación similar a la anterior pero ya la columna tiene amarres en espiral, el hormigón del recubrimiento también se desprenderá pero el núcleo de hormigón continuara vertical y si la espiral tiene bajo espaciamiento la columna continuara soportando carga adicional superior a la que produce el desprendimiento del recubrimiento. Esta situación demuestra la efectividad de la espiral correctamente espaciada para confinar el hormigón en la columna y lo que es mas importante permite avisar con suficiente holgura la proximidad de la falla una vez se desprenda el recubrimiento.

Figura 9.1 Comportamiento bajo carga axial de columnas con amarres y en espiral Comportamiento con

amarres transversales Comportamiento con baja cuantía de espiral Comportamiento con alta

cuantía de espiral

Comportamiento con cuantía del ACI

Carga

Acortamiento

Desprendimiento del recubrimiento

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La practica que se ha difundido a nivel general es despreciar cualquier aumento de resistencia una vez se alcance el desprendimiento del recubrimiento ya que una vez se presente este fenómeno la columna pierde su confiabilidad en servicio, afirmación importante de los propietarios y usuarios de los edificios, a pesar de que aun funcione y continué funcionando bien por un determinado tiempo de servicio.

Por esta razón recomienda diseñar la espiral para lograr una resistencia de la columna justo por encima de la que produce el desprendimiento del recubrimiento, permitiendo así mantener en posición la columna y permitir grandes deformaciones sin producir colapso lo que en definitiva se traduce en mayor confiabilidad cuando se produzcan sobrecargas excepcionales en la estructura.

Figura 9.2 Definición de variables en columnas con espiral

La ecuación que define la cantidad optima de refuerzo en espiral recomendada en los códigos de construcción tiene en cuenta las recomendaciones anteriores y su deducción es la siguiente: la resistencia de la capa de hormigón que recubre el refuerzo esta dada por la expresión: 0.85.fc´.

(

AgAc

)

en donde “ Ac “ es el área del núcleo cuyo perímetro

esta definido por el borde exterior de la espiral. Se puede demostrar que la resistencia de la espiral de cuantía “ ρs “ es: 2.ρs.A .c fy. Igualando las dos tensiones y resolviendo para

hallar la cuantía de la espiral se obtiene:

y c c g s f f A A ´ 1 425 . 0     − =

ρ . Para mantener mayor

seguridad en “ ρs “ se recomienda usar la siguiente expresión:

y c c g s f f A A ´ 1 45 . 0       − = ρ ( 9.4 )

Una vez se determine el porcentaje de la espiral se debe seleccionar su diámetro y espaciamiento ( paso ) con las siguientes ecuaciones:

nucleo espiral s V V s paso el para hormigon de nucleo del volumen espiral la de vuelta una de Volumen = = ) .( . . . . . . . . . . . . . ρ db D dc s

(4)

(

)

(

2

)

(

. 2

)

. 4 . 4 / . . . c b c esp c b c esp s d s d d A s d d d A − = − = π π ρ ( 9.5 )

En estas formulas “ Aesp “ es el área transversal del refuerzo en espiral, “ dc “ es el

diámetro del núcleo de hormigón, “ db “ el diámetro de refuerzo en espiral como se

indica en la figura 9.2. El procedimiento de calculo es sencillo: se asume un diámetro para la espiral y se halla el paso requerido “ s “. Si los resultados no son adecuados se puede ensayar otro diámetro hasta lograr los valores correctos.

9.3 Requisitos constructivos en columnas de hormigón armado

Los códigos y normas de construcción ( ACI-318 y NSR-98 ) especifican algunas limitaciones en dimensiones, refuerzo, restricción lateral y otros conceptos relativos al diseño de las columnas de los edificios. A continuación se presentan las que son mas importantes para el diseño estructural.

El porcentaje de refuerzo longitudinal no debe ser inferior al 1 % del área total de la columna “ ρmin = 0.01 Ag “. Se ha comprobado que columnas que tienen

cantidades de refuerzo menores del 1% fallan súbitamente en forma similar a una columna sin refuerzo. El valor del 1% cubre también problemas de tensiones internas debidas a la fluencia y la retracción del hormigón en servicio. En algunos casos se permiten cuantías inferiores al 1% si por razones arquitectónicas o constructivas las dimensiones son tales que prácticamente con ellas se soporta holgadamente toda la carga aplicada. Sin embargo se especifica que en ningún caso la cuantía sea inferior al 0.5% de Ag.

El porcentaje de refuerzo longitudinal no debe ser mayor del 8% de la sección total de la columna. Con esto se previene la congestión del refuerzo y las dificultades en el acabado final del hormigón. En la practica se han encontrado los problemas anteriores aun con cuantías del 5% y 6%. El uso de cuantías altas no solo afecta la apariencia final del hormigón sino también su capacidad de carga. Cuando se van a utilizar empalmes al traslapo es recomendable no superar la cuantía del 4%. En ningún caso se deben usar paquetes de barras para altas cuantías de refuerzo.

El numero mínimo de barras longitudinales en una columna es de 4 para secciones con amarres rectangulares o circulares, 3 para amarres triangulares y 6 para secciones con espiral. La disposición de las barras afectara la resistencia a flexión de las columnas cargadas excéntricamente.

Por lo general no se especifica una sección mínima de columna, sin embargo para dar un adecuado recubrimiento y espaciamiento al refuerzo es obvio que las mínimas dimensiones son de aproximadamente 200 mm o 250 mm. En edificios es aconsejable disminuir las dimensiones al máximo para lograr mayores espacios y donde sea posible tratar de ocultar las columnas dentro de los muros. Cuando se utilizan columnas con amarres, estos no deben tener diámetros

menores que la barra # 3 para refuerzo longitudinal menor o igual a la # 10. Para barras longitudinales mayores a la # 10 o paquetes de barras se deben usar amarres # 4. Se pueden usar mallas electro soldadas o alambre corrugado con áreas equivalentes.

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El espaciamiento centro a centro de los amarres no debe ser mayor que: a) 16 veces el diámetro de las barras longitudinales b) 48 veces el diámetro de los amarres y c) la menor dimensión de la columna.

Figura 9.3 Separación de los amarres en columnas

Los amarres deben estar dispuestos de tal forma que en cada esquina de la sección una barra longitudinal sirva de soporte lateral al amarre para este sujetarse de el con un gancho menor o igual a 135°. Se recomienda que ninguna barra longitudinal sea colocada a una distancia libre mayor de 150 mm de cada barra de soporte lateral. La figura 9.4 ilustra este requisito gráficamente para diferentes secciones de columna. Las secciones de la figura 9.4 con amares adicionales interiores son alternativamente costosas. Cuando las barras longitudinales se dispongan en circulo, se deben colocar también amarres circulares y ninguna barra debe amarrarse o restringirse individualmente. El ACI permite diseñar columnas sin amarres cuando por ensayos y análisis estructural se comprueba que estos no son necesarios sin afectar la resistencia y facilidad de construcción. Ya que existe poca evidencia experimental sobre el comportamiento de las columnas con barras empalmadas o paquetes de barras de refuerzo el ACI especifica colocar amarres adicionales en cada extremo del empalme y recomienda aplicar requisitos adicionales en aquellas regiones donde los empalmes son cercanos a la base de la columna. Los amarres no deben

16 db

S < 48 de

Min. ( b , h )

h b

(6)

colocarse a mas de la mitad de su separación en la parte superior de las zapatas o losas de piso ni mas de la mitad de su separación por debajo de las losas.

El código ACI y la norma NSR recomiendan que la separación mínima de espirales sea de 25 mm y la máxima de 75 mm. Cuando sean necesario empalmar barras longitudinales se debe usar soldadura o traslapo.

Figura 9.4 Disposición típica de amarres en columnas

Max.150 mm

Max. 150 mm Max. 150 mm

> 150 mm > 150 mm > 150 mm

(7)

Ejemplo 9.1 Diseñar una columna corta con amarres transversales cargada axialmente

con un Pu = 2800 kN. Considerar f´c = 28 MPa y fy = 350 MPa.

Solución: El procedimiento mas rápido es asumir una cuantía inicial de refuerzo y

determinar con ella las dimensiones requeridas. Sea ρ = 0.02 ( Por lo general se asume un valor entre 0.01 y 0.03 ) Si Pu ≥ Φ Pn despejando Ag de la ecuación 9.2 se tiene:

(

0.85 28 0.85 0.02 28 0.02 350

)

80 . 0 70 . 0 10 2800 3 × + × × − × × × × ≥ g A 2 2 : 400. 160000. . 164886mm Seleccionar b h mm A mm Ag ≥ ⇒ = = ⇒ g = ∴

Para esta sección la cantidad de refuerzo se debe determinar nuevamente con 9.2 =>

(

350 0.85 28

)

10 160 28 85 . 0 80 . 0 70 . 0 10 2800 3 3 × −       × × × − × × ≥ st A A 3654 mm. 2 st

Con barras # 9 ( 645 mm2 ) => 3654 / 645 = 5.7 barras => 6 # 9 Ast = 3870 mm2

Si se asumen amarres transversales # 3 16 x 28.7 = 459 mm

48 x 9.5 = 456 mm

Menor dimensión de columna = 400 mm

Figura 9.5 Sección transversal de columna del ejemplo 9.1 h = 400 mm b = 400 mm 70 mm 70 mm 260 mm 70 mm 260 mm 70 mm Estribos # 3 @ 400 mm => Usar amarres # 3 cada 400 mm

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Ejemplo 9.2 Una columna de hormigón armado soporta en servicio una carga axial

muerta y viva de Psd = 820 kN y Psv = 1360 kN. Determinar su refuerzo longitudinal la

cuantía de la espiral y el diámetro de su sección si f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa. Solución: Pu = 1.2 x 820 + 1.5 x 1360 = 3024 kN Si ρ = 020. ⇒

(

0.85 28 0.85 0.02 28 0.02 420

)

85 . 0 75 . 0 10 3024 3 × + × × − × × × × ≥ g A A 149525 mm. 2 g

El diámetro de la columna es: D= 4×149525 =436.mm

π Usar D = 450 mm

Para este diámetro la columna tiene una sección de: A 4502/4 159043.mm2

g =π× =

El refuerzo requerido es:

(

420 0.85 28

)

159043 28 85 . 0 85 . 0 75 . 0 10 3024 3 × −     × × − × × ≥ st A => A 2419 mm. 2 g

Con barras # 7 ( 387 mm2 ) se tienen: 2419 / 387 = 6.25 barras => Usar 8 # 7 que equivalen a un Ast = 3096 mm2. El Φ.Pn = 3195 kN > Pu = 3024 kN => Cumple!

Considerando un recubrimiento libre de hormigón de 40 mm => El área del núcleo de la columna es: Ac = π ( 370 )2 / 4 = 107521 mm2

La cuantía mínima de espiral es: 0.0144

420 28 1 107521 159043 45 . 0 min × =      = ρ

Si se asume un espiral de diámetro igual a la barra # 3 => despejando “ s “ de 9.5:

(

)

mm s 52. 370 0144 . 0 5 . 9 370 71 4 2 = × − × ×

= Usar espiral # 3 con paso de 50 mm.

Figura 9.6 Sección de columna del ejemplo 9.2

450 mm 370 mm

Espiral # 3 con paso de 50 mm

(9)

9.4 Columnas sometidas a compresión y flexión uniaxial

9.4.1 Generalidades

Las columnas sometidas solo carga axial son excepcionalmente escasas en el diseño estructural, por lo general siempre existe la posibilidad combinar la carga axial con flexión aun cuando esta no sea producida por acción externa alguna. La flexión se presenta por la continuidad de las estructuras que permite la transmisión de tensiones entre las diferentes componentes de la edificación. Por ejemplo la carga vertical y lateral en un edificio inicialmente actúa en las losas de piso, estas la transmiten a las vigas las cuales a su vez la llevan a las columnas para finalmente desplegarla en la cimentación. Esta secuencia en la transmisión de tensiones es la que da origen a la interacción de las diferentes solicitaciones en el interior de una estructura. Las losas pueden recibir la carga y transmitirla en una o en dos direcciones, las vigas pueden estar sometidas a flexión uni o biaxial mas cortante y torsión igualmente las columnas columnas con la particularidad de que en estas la carga axial es importante. Es requisito fundamental en el diseño de una columna considerar la flexión aunque el análisis de tensiones indique esta no esta presente o su magnitud no es importante; la razón de esto es que siempre existen desfases en la construcción que inevitablemente introducirán excentricidades adicionales a las inicialmente consideradas en los cálculos.

Cuando un elemento de hormigón armado se somete a una combinación de carga axial mas flexión ( Mu , Pu ) como se indica en la figura 9.7 es conveniente reemplazar el

sistema por uno estáticamente equivalente que representa la carga axial aplicada a una determinada distancia del eje de la columna. Esta distancia, llamada “ e: excentricidad “, se determina como la relación entre el momento y la carga axial: “ e = M / P “.

Figura 9.7 Excentricidad equivalente en columnas

Las columnas se pueden clasificar en función de la excentricidad equivalente, aquellas cuyo valor de “ e “ es pequeño se conocen como columnas sometidas principalmente a carga axial y su falla se iniciara por agotamiento del hormigón a compresión. De otra parte cuando “ e “ es alto la flexión controla el comportamiento y la falla se iniciara por la fluencia del refuerzo en la cara mas traccionada de la sección.

P

M

P e = M / P

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En el estudio de las columnas, a diferencia de las vigas, el comportamiento antes de alcanzar la resistencia del elemento no es importante desde el punto de vista del diseño. La fisuración del hormigón aun en casos de altas excentricidades y las deflexiones laterales bajo cargas de servicio generalmente no son factores determinantes en su diseño estructural. Sin embargo para continuar una metodología de trabajo ya iniciada en el caso de la flexión se presentara aquí una resumen del comportamiento de las columnas excéntricas antes de alcanzar su resistencia estructural. El lector puede continuar con el numeral 9.4.5 si a su juicio lo considera conveniente.

9.4.2 Comportamiento de columnas bajo carga excéntrica

Los primeros intentos por tratar de modelar el comportamiento de las columnas excéntricas mostraron grandes dificultades en la adopción de expresiones adecuadas que permitieran a los ingenieros interpretar matemáticamente el problema. Solo el análisis elástico y el principio de superposición permitió encontrar una expresión racional para la flexión y la carga axial. Las tensiones por flexión y fuerza axial en cualquier punto de una columna se pueden representar por la ecuación 9.6:

( )

     ± = ± = ± = 2 . 1 . . . r y e A P I y e P A P I y M A P fc ( 9.6 )

En donde “ r2 = ( I / A ) “. Cuando la excentricidad es nula => fc = P / A y se tiene la

columna concéntrica. El signo positivo es tracción y el negativo compresión. Para encontrar la excentricidad que produce tensión de compresión nula en una de las caras de la columna => de la ecuación 9.6 “ fc = 0.0 “ y se despeja el valor de “ e “

y r e r y e A P 2 2 . 1 0 ⇒ =      − =

Esta excentricidad es la distancia del centroide de la sección al punto donde termina teóricamente la compresión, este punto se conoce como “ punto Kern “. Si el proceso se repite para cada eje de la sección se encuentra una región o área interior de la columna la cual se denomina “ Área Kern “. Cualquier carga aplicada dentro de esta región solo produce tensiones de compresión en la columna, si la carga se aplica fuera de esta área se producirá tracción en la cara opuesta a la donde se plica la carga. Por ejemplo para una sección rectangular de b = h = 400 mm el área Kern es la indicada en la figura 9.8.

mm e 66.67. 200 12 400 200 400 400 12 400 400 2 3 = × =       × × × =

Este valor es aproximadamente el 17 % de la dimensión de la sección. Considerando las otras caras y hallando el área Kern se encuentra que el tercio medio de la sección representa la región donde solo hay tensiones de compresión. En otras palabras si la excentricidad “ e < h / 6 “ se puede concluir que la sección no tiene tensiones de tracción en ningún de sus puntos y esta sometida solo a compresión.

(11)

Figura 9.8 Área Kern en una columna

En las primeras ediciones del código ACI se indicaba que si la relación “ e / h ≤ 1.0 “ se podía utilizar en los cálculos la sección elástica sin fisurar. En opinión de muchos investigadores de la época esta recomendación no solo era imprecisa sino poco realista respecto al comportamiento real de la columna ya que para esta cantidad la fisuración en la cara traccionada de la columna debía ser severa. En ediciones posteriores el ACI reconoció el hecho y propuso utilizar la sección sin fisurar si “ e / h ≤ 2 / 3“. Sin embargo aun para esta condición la fisuración era severa y muchos diseños realizados con esta especificación fueron adecuados no por la limitación en “ e / h “ sino por la aplicación de los factores de minoración de resistencia que permitían lograr altos márgenes de seguridad.

9.4.3 Columnas excéntricas sometidas a bajas excentricidades

Los ensayos realizados en la Universidad de Illinois por los investigadores Richart y Olson en el año de 1938 mostraron que la capacidad de carga de las columnas de hormigón armado no disminuye tan rápidamente a medida que aumenta la excentricidad tal como lo había predicho el método anterior al calcular fc. Sobre estas bases el ACI

nuevamente modifico la expresión de diseño de las columnas y adopto una ecuación h = 400 mm b = 400 mm Área Kern 133 mm Si la carga se aplica en esta zona no se produce tracción en la columna

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consistente con los nuevos resultados experimentales. La expresión indica que la relación entre las tensiones axiales reales por compresión ( fa ) y las admisibles ( Fa )

mas la relación entre las tensiones axiales por flexión real ( fb ) y las admisibles ( Fb )

deben ser menor o igual a la unidad, expresada matemáticamente es la 9.7. 0 . 1 ≤ + b b a a F f F f ( 9. 7 )

Los valores de “ fa “ y “ fb “ se obtienen de las cargas, Fa = γ ( 0.225f´c + fs.ρg ) donde γ

es igual a 1.0 para columnas en espiral y 0.80 en otros casos. Fb = 0.45.f´c.

La forma de la ecuación 9.7 es similar a la que se usa en el diseño de estructuras metálicas. En el limite superior cuando + =1.0

b b a a F f F

f es la ecuación de una línea recta

la cual se muestra en la figura 9.9. Se debe resaltar que en la practica es este limite superior es el que se usa en el diseño y el campo de aplicación de 9.7 esta limitado a relaciones “ e / h ≤ 2 / 3“.

Figura 9.9 Tensiones admisibles en columnas a compresión excéntricas ACI-318-56 Por ejemplo si una columna de hormigón armado de b = h = 400 mm y una cuantía del 0.02 con f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa esta sometida a una carga axial de 1000 kN y un

momento de 75 kN.m => se verifica que:

Cumple h e m e= = ⇒ = =0.1875<2/3⇒ 400 . 0 075 . 0 . 075 . 0 1000 75 1.0 1.0 fb / Fb fa / Fa Zona admisible ( pa / Pa ) mb / Mb

(13)

MPa fa 6.25. 400 400 10 1000 3 = × × = Fa =0.225×28+420×0.02=14.70.MPa MPa fb 7.03. 12 / 400 400 200 10 75 3 6 = × × × = Fb =0.45×28=12.60.MPa

La relación de tensiones es: + =0.425+0.558=0.983<1.0⇒Cumple

60 . 12 03 . 7 70 . 14 25 . 6

Se concluye que la columna es satisfactoria para las condiciones de carga impuestas. Si por ejemplo la carga es de 1500 kN y el momento es de 100 kN.m esta misma columna no es correcta y se debe modificar su diseño.

Llama la atención la similitud de la grafica de la figura 9.9 con lo que mas adelante se denominaran los diagramas de interacción para el diseño de columnas. Si por ejemplo se multiplican los valores de las ordenadas de la figura 9.9 por “ Ag / Ag “ se obtiene la

relación carga axial aplicada sobre carga axial admisible. Igualmente si se multiplican las abscisas por la relación “ I / A “ se obtiene la relación momento aplicado sobre momento admisible. Se tiene así un grafico de relaciones unitarias de P y M.

La figura 9.10 muestra la sección transversal de una columna rectangular cargada excéntricamente, lo mismo que su sección transformada y el perfil de cargas aplicadas, donde “ P “ esta localizada a una distancia “ e “ del centro de gravedad de la sección transformada. Si “ As = A´s “, hipótesis muy frecuente en columnas, la excentricidad se

puede medir desde el centroide de la sección.

Figura 9.10 Comportamiento de columnas en rango elástico no fisurado

La carga axial produce tensiones uniformes de magnitud “ fa = P / At “ mientras el

momento flector produce tensiones máximas de magnitud “ fb = ( M.y ) / It. Si se

sustituye “ y = h / 2 “ las tensiones en la sección quedan:

t t c I h M A P f . 2 . min) . (max = ± ( 9.8 ) e P ( n – 1 ) As ( n – 1 ) A´s h b As A´s

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Las tensiones dadas por la expresión 9.8 se indican en la figura 9.11. Dependiendo del valor de “ fc,min “ la sección puede estar totalmente comprimida ( fc > 0.0 ) o

traccionada ( fc < 0.0 ). En este ultimo caso si “ fc,min “ es menor que el modulo de

rotura del hormigón “ fr “ la sección esta en rango elástico no fisurado y los cálculos de

las tensiones internas se pueden hacer utilizando el concepto de la sección transformada. En caso contrario la sección esta fisurada.

Figura 9.11 Tensiones en columnas excéntricas en rango elástico no fisurado Por medio de la ecuación 9.8 se puede determinar aquel valor de la excentricidad para la cual la sección esta fisurada. Este valor de se denomina excentricidad limite y se determina igualando las tensiones resultantes en la cara traccionada al valor “ fr “.

t t t t r c I h e P A P I h M A P f f . 2 . . . 2 . − = − = − =

( )

(

P APh f

)

I e t r t . . . 2 lim = + ∴ ( 9. 9 )

Por ejemplo para una columna de b = h = 400 mm con f´c = 28 MPa y sometida a una carga axial P = 1000 kN la excentricidad limite es:

( )

(

)

(

)

mm e 102. 400 10 1000 12 / 400 28 62 . 0 10 160 / 10 1000 . 2 lim 3 3 3 4 = × × × × + × × =

El resultado indica que la sección se mantiene en rango elástico sin fisurar si el momento flector no supera el valor de 1000 x 0.102 = 102 kN.m. Este calculo se realizo sin considerar la presencia del acero de refuerzo, en el siguiente ejemplo se muestra como son los cálculos completos.

Ejemplo 9.3 Se requiere determinar la excentricidad limite de una columna de

hormigón armado de dimensiones b = 300 mm y h = 500 mm la cual esta sometida a una carga de compresión P = 1500 kN. La sección esta reforzada con 4 # 8 colocadas simétricamente como se indica en la figura 9.12. Utilizar f´c = 21 MPa y fy = 420 MPa.

+

=

=

P M fa fb fa + fb fc max

(15)

Solución: Para determinar la “ elim. “ se requiere conocer las propiedades de At e It de la

sección transformada no fisurada

Figura 9.12 Sección de columna del ejemplo 9.3

2 . 150000 500 300 mm Ag = × = 9.29 9 21 4790 204000 ≈ = = n 2 . 166320 8160 8160 150000 mm At = + + = 4 6 2 3 10 3778 200 8160 2 12 500 300 mm IT + × × = ×     × = MPa fr =0.62× 21=2.8. mm e 119. 500 10 1500 10 3778 8 . 2 166320 10 1500 2 (lim) 3 6 3 = × × × ×       + × =

Si la columna se somete a momentos flectores M ≤ 1500 x .119 = 179 kN.m se puede concluir que la sección trabaja elásticamente sin fisurar.

9.4.4 Columnas sometidas a grandes excentricidades

Si la excentricidad en una columna supera el valor de “ e ( lim) “ nuevamente, al igual que en vigas, parte de la sección se hace ineficaz para soportar las tensiones generadas por las cargas y la situación cambia totalmente respecto al caso anterior. La figura 9.13 muestra la sección de una columna sometida a una carga axial con gran excentricidad si se define “ kt “ como la altura de la zona comprimida, “ dc “ la distancia del borde mas

( 9 – 1 ) 2 x 510 = 8160 mm2 ( 9 – 1 ) 2 x 510 = 8160 mm2 200 mm 200 mm 300 mm 500 mm

(16)

comprimido al eje central de la columna y “ ds “ la distancia del borde mas traccionado

al eje central de la columna se tiene por cálculos estáticos lo siguiente:

Figura 9.13 Tensiones en columnas excéntricas fisuradas Del equilibrio de la sección y tomando momentos respecto al eje de la carga =>

(

)

(

)

0.0 3 ´ = + − −       + − +e C k e d C e d d d T s c t c s c

Ahora por semejanza de triángulos:

(

t

)

s t c k d n f k f − = c t t s f k k d n f . − =     − = = t t c s s s k k d f A n f A T . . . .

(

)

c t t s s f k d k A n C 2. 1. . . ´ ´     − − = C kt fc b c . 2 . = Reemplazando en la ecuación de equilibrio se obtiene:

(

)

0.0 2 . . . . 1 2 2 3 . . 2 . 2 . . . . ´ ´ ´ ´ =       +     − − −       + −       +     − h e d f k d k A n h e k b f k e d h k k d f A n c t t s t c t t t c s Sean:      + =nAs fc h d´ e 2 . . . α

(

)

      + − = 2 . . . 1 2n A´ f d´ e h c s ψ 2 .fc b = β y 2 h e− =

γ Se obtiene una expresión mas simplificada para resolver “ kt “:

0 . 0 . 3 . . . ´ =     − −       + −     − t t t t t t k d k k k k k d ψ γ β α

Esta es una ecuación cúbica para hallar el valor de “ kt “, organizando términos e P kt dc ds d d´ Cs Cc n.As ( 2n – 1) A´s T fc fs / n d - kt

(17)

(

)

.

(

. .

)

0.0 . . . 3 ´ 2 3+ k + + k d + d = kt βγ t α ψ t α ψ β

Una vez conocido el valor de “ kt “ se determinan las tensiones en el hormigón “ fc “ y

en las dos capas de acero para finalmente determinar la carga admisible.

Ejemplo 9.4 Una columna de b = h = 450 mm esta reforzada con seis barras # 9 como

se indica en la figura 9.14. Determinar la carga axial admisible en rango elástico fisurado para una excentricidad e = 480 mm. f´c = 21 MPa y fy = 280 MPa.

Figura 9.14 Sección de columna del ejemplo 9.4

Solución: Inicialmente se determinara la posición del eje neutro “ kt “ y luego las cargas internas “ T “, “ Cc “ y “ Cs “ para finalmente calcular “ Padm “.

9 29 . 9 21 4790 204000 ≅ = = n As = A´s = 3 x 645 = 1935 mm2 2 . 17415 1935 9 mm At = × =

(

)

2 ´ 2 9 1.1935 32895.mm At = × − =

La tensión admisible a compresión del hormigón es: fc = 0.45 x 21 = 9.45 MPa

      + =nAs fc h d e ´ 2 . . . α = 9 x 1935 x 9.45x ( 225 – 60 + 380 )=90 x 106

(

)

      + − = 2 . . . 1 2n A´ f d´ e h c s ψ =(18 – 1 ).1935 x 9.45 x ( 60 + 380 – 225 ) =67 x 106 2 .fc b = β = ( 450 x 9.45 ) / 2 = 2126 2 h e− = γ = ( 380 – 225 ) = 155 60 mm 60 mm 450 mm 450 mm P (adm) 380 mm 390 mm

(18)

(

90 10 67 10

) (

. 351 10 40 10

)

0 . 155 2126 . 3 2126 3+ × 2+ × 6+ × 6 × 8+ × 8 = t t t k k k 0 10 5517 . 221543 . 465 2 4 3 = × − + + t t t k k k

Al resolver la cúbica se encuentra que la raíz correcta es “ kt = 168 mm “.

⇒ < = ×       − = y s MPa f f 9.45 112. 0.5. 168 168 390 9 As en rango elástico

(

)

× = < ⇒      − × − × = y s MPa f f 9.45 103. 0.5. 168 60 168 1 9 2

´ A´s en rango elástico

Se concluye que las tensiones en ambos aceros cumplen los limites admisibles.

N Cc 450 357210. 2 45 . 9 168 = × × =

(

)

N Cs 9.45 199837. 168 60 168 1935 1 9 2 × =      − × × − × = N T 9.45 217470. 168 168 390 1935 9 × =      − × × = kN N P=357210+199837217470=339577. =340. ∴

La carga admisible para una excentricidad de “ e = 380 mm “ es “ P = 340 kN ”. 9.4.5 Comportamiento a nivel de resistencia . Refuerzo en dos capas ( As y A´s )

Cuando las cargas externas se incrementan a valores tales que la resistencia del acero tiende a “ fy “ y la del hormigón a “ f´c “ se presenta una redistribución no lineal de

tensiones entre los dos materiales. Este proceso no solo es complejo sino que solo se puede interpretar mediante una correcta formulación de un modelo matemático racional ajustado a la evidencia experimental. En principio se puede considerar para el análisis la columna de la figura 9.15 sometida a una carga axial “ Pn “ localizada a una distancia “ e´ ” del centroide del refuerzo a tracción. Para mayor generalidad se asume que las dos capas de acero tienen áreas diferentes “ As ≠ A´s “ que obliga a localizar su eje centroidal en un punto diferente al eje geométrico de la sección. De forma similar al diseño a flexión en vigas y losas, se puede presentar una falla a tracción o una falla a compresión dependiendo de si el acero a tracción alcanza o no la tensión de fluencia. Sin embargo, contrario a lo de vigas, en este caso no se puede evitar una falla a compresión limitando la posición del eje neutro respecto a la altura efectiva de la sección tal como se procede en esos casos ya que el tipo de falla depende es de la

(19)

magnitud de la carga axial. Por lo general el acero a compresión en columnas excéntricas llevadas a la falla alcanza la tensión de fluencia, excepto cuando: a) el nivel de carga axial es bajo, b ) se utiliza acero de alta resistencia y c) cuando las dimensiones de la columna son tales que “d´ ” es grande. En la practica es frecuente suponer que “ A´s “ esta en fluencia y luego por relaciones geométricas de las deformaciones comprobar esta hipótesis.

Cs

Figura 9.15 Tensiones y deformaciones a nivel de resistencia en columnas excéntricas Del equilibrio de fuerzas horizontales en la figura 9.15 se tiene:

0 = − − −C C T Pn s c PnA´s.fs´−0.85.fc´.b.a+ As.fs =0 s s s s c n f ab A f A f P =0.85. ´. . + ´. ´ . ∴ ( 9.10 )

Por lo general el acero a compresión esta en fluencia => f´s = fy

Tomando momentos alrededor del acero a tracción se obtiene:

(

)

0 2 . . . ´ ´ =       − − − −C d d C d a e Pn s c

(

´

)

´ ´ ´ ´ . . 2 . . . 85 . 0 .e f ab d a A f d d Pn c + s s −      − ⋅ = ( 9.11)

Las expresiones 9.10 y 9.11 definen la capacidad a flexión y carga axial de columnas excéntricas con refuerzo asimétrico. Sin embargo estas ecuaciones en la practica no son útiles porque se acostumbra referenciar la excentridad al eje central de la columna “ e “. Para lograr mayor aplicación a las anteriores ecuaciones es necesario referir la excentricidad a un punto denominado el “ centroide plástico de la sección “. Este punto esta localizado de tal forma que la carga externa produce una condición de falla solo por

d´ e´ Pn d b h As A´s εc ε´s εs c T Cs Cc a Cs Cc T 0.85.f´c

(20)

carga axial. La figura 9.16 ilustra la forma de ubicar el centroide plástico en una columna con refuerzo asimétrico de dimensiones “ b “ y “ h “.

Figura 9.16 Localización del centroide plástico de una sección de columna De la definición: Po =0.85fc´.Ac +Ast.fy : Carga axial en la columna

Por sumatoria de momentos respecto al eje del refuerzo a tracción se tiene:

(

)

. " . 2 . ´ 2 1 C d d P d h d C + − = o      −

Reemplazando valores y despejando “ d´´ “ se obtiene:

(

)

(

)

(

s s

)

y c s s c f A A h b f d d f A h d h b f d ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´´ . . 85 . 0 . . 2 / . . . 85 . 0 + + − + − = ( 9.12 )

Cuando la sección esta reforzada simétricamente “ As = A´s “ y el valor de la ecuación 9.12 se reduce considerablemente convirtiéndose en la 9.13.

2 )

(. ´

´´ d d

d = − ( 9.13 )

De nuevo considerando la figura 9.15 pero ahora realizando sumatoria de momentos respecto al centroide plástico de la sección se obtiene:

(

´ ´´

)

´´ ´ ´ ´´ ´ . . . . 2 . . . 85 . 0 .e f ab d a d A f d d d A f d Pn c + s s − − + s s      = ( 9.14 )

Reemplazando 9.13 en 9.14 para columnas con refuerzo simétrico

C2 C1 C3 Po Carga localizada en el centroide plástico A´s As b h d" d h / 2

(21)

Figura 9.17 Tensiones y deformaciones a nivel de resistencia en columnas excéntricas

      − +       − +       − = 2 . . 2 . . 2 2 . . . 85 . 0 .e f´ab h a A´ f´ h d´ A f d h Pn c s s s s ( 9.15)

Las ecuaciones 9.10, 9.14 y 9.15 son las relaciones de equilibrio básicas para columnas rectangulares sometidas a flexo-compresión. En estas ecuaciones es necesario recordar que parte del hormigón de la zona comprimida ha sido desplazado por el acero y esto no se ha considerado en las anteriores ecuaciones por el pequeño efecto que tiene en los resultados; sin embargo para cuantías altas, mayores al 4 %, su efecto es importante y es necesario considerarlo en los diseños. Lo que se hace es reemplazar el valor de “ f´s “

por “ ( f´s – 0.85.f´c ) “ logrando así compensar la carga de la misma manera como se ha

disminuido el valor de la resistencia a compresión.

Para una determinada columna la carga axial determinada con la ecuación 9.10 no debe ser mayor que la obtenida con la 9.2. Dependiendo de la magnitud de la excentricidad se pueden considerar tres tipos de comportamientos en las columnas:

Cuando la excentricidad de la carga axial es alta, la falla se inicia por fluencia del acero a tracción ( fs = fy ). El acero a compresión puede estar en fluencia ( f´s

= fy ) dependiendo de la deformación del hormigón a compresión (εc = 0.003)

hipótesis que se debe comprobar por compatibilidad de deformaciones.

Cuando la excentricidad es baja el hormigón alcanza inicialmente su máxima deformación (εc = 0.003) antes de que el acero a tracción inicie la fluencia. En

estos casos la sección de la columna estará totalmente comprimida.

Cuando la rotura se produce por la acción simultanea de fluencia del acero a tracción y máxima deformación del hormigón a compresión se llega a la condición intermedia.

Las ecuaciones de compatibilidad para comprobar si el acero en ambas caras de una columna esta o no en fluencia se obtienen del perfil de deformaciones de la figura 9.17. Por semejanza de triángulos se obtiene:

e Pn d b h A´s εc ε´s εs c T Cs Cc a Cs Cc T 0.85.f´c d" C.P

(22)

Despejando “ εs “ , “ ε´s “ y reemplazando “ fs = Es. εs “ ,“ fs = Es. εs “

(

)

y s c s f c c d E f =ε . . − ≤ ( 9.16 )

(

)

y s c s f c d c E f = − ≤ ´ ´ . . ε ( 9.17 )

Para una columna rectangular con refuerzo simétrico el análisis de su comportamiento a nivel de resistencia se logra utilizando las ecuaciones 9.10 y 9.15 comprobando las hipótesis de las deformaciones con 9.16 y 9.17. Por lo general para una determinada excentricidad “ e “ o una carga axial “ Pn “ son datos del problema: las dimensiones de

la sección, la cantidad y distribución del refuerzo, el recubrimiento y la resistencia de los materiales ( b, h, d, d´, As, A´s, f´c, fy ) las incógnitas son : la profundidad del eje

neutro “ c “, las tensiones en los aceros “ fs y f´s “ y “ Pn “ o “ e “.

El procedimiento de análisis para una sección y excentricidad conocidas es el siguiente: inicialmente se asume una profundidad del eje neutro “ c “. Se determina luego la altura del bloque de Whitney usando la expresión “ a = β1.c “, se calculan las tensiones en los

aceros a tracción y a compresión con 9.16 y 9.17 y luego la carga axial “ Pn “ con la

ecuación 9.10, calcular finalmente la excentricidad correspondiente a esta carga usando la ecuación 9.15 y comparar este valor con la “ e “ inicial. Si son aproximadamente iguales se tiene la capacidad de carga axial de la columna, en caso contrario se deben repetir los cálculos anteriores usando un nuevo valor de “ c “. Si la excentricidad obtenida es mayor que la indicada se debe asumir un valor mayor de “ c “ y viceversa. Este proceso converge rápidamente y es muy simple con la ayuda de una calculadora programable o una hoja de calculo.

Ya que el procedimiento anterior es largo y laborioso mas aun cuando no se dispone de eficientes herramientas de calculo como las calculadoras programables de gran capacidad y computadores portátiles, es practico utilizar tablas o gráficos que resuelvan

εs

εc

ε´s

d

c

Para el triangulo OAB =>

(

d c

)

c s c − = ε ε

Para el triangulo OCD =>

(

´

)

´ d d c s c − = ε ε O A B C D

(23)

rápidamente el problema. De estas ayudas la mas conocida es el “ diagrama de interacción de columnas “ los cuales son gráficos similares al mostrado en la figura 9.18 y donde se relacionan los momentos y las cargas axiales para diferentes:

a) Disposiciones en la colocación del refuerzo ( en dos o cuatro caras ) b) Resistencia de los materiales ( f´c y fy )

c) Dimensiones de recubrimientos ( d y d´ ) d) Secciones de columna ( rectangular y circular)

Figura 9.18 Forma típica del diagrama de interacción y perfiles de deformación

Ejemplo 9.5 Se requiere analizar el comportamiento de la columna de la figura 9.19

utilizando un hormigón de f´c = 35 MPa y un acero de fy = 420 MPa.

Figura 9.19 Sección de columna del ejemplo 9.5

Pn

Mn = Pn.e

Columna sin excentricidad, solo compresión ( e = 0 )

Columna con excentricidad pequeña. Controla la compresión

Condición intermedia

Columna con grande excentricidad Zona a compresión Zona a traccion h = 400 mm b = 400 mm d´= 65 mm d´= 65 mm 4 # 9 4 # 9

(24)

Solución: primero se determina la capacidad de la sección sometida a compresión pura

con la ecuación 9.2. Luego se asumen diferentes valores de “ c “ determinando los puntos que definen el diagrama de interacción de la columna .

a) Capacidad de la columna solo a carga axial “ e = 0 “.

(

) (

)

N kN

Pno =0.85×35× 400×400−8×645 + 8×645 ×420=6774×103. =6774.

El valor expresado en términos de tensiones: MPa

A P g no 42. 400 400 10 6774 3 = × × =

El valor adimensional es: 1.21

35 400 400 10 6774 3 ´ × × = × = × c g no f A P

b) Determinación de los valores de “ Pn “ y “ Mn “ para diferentes valores de “ c “.

Este procedimiento se facilita con un programa o una hoja de calculo como se indica a continuación. Ya que el valor de “ c “ puede variar desde “ 0.0 “ hasta infinito ( cuando la columna es una viga ) se asumirán valores arbitrarios hasta lograr que Mn ≈ 0.0 para así graficar los puntos del primer cuadrante del diagrama. Las figuras 9.20, 9.21 y 9.22 muestran los tres tipos de gráficos de interacción mas utilizados.

Para c = d´= 65 mm f´s = 0.0

(

)

f MPa MPa s s 0.01246 204000 0.01246 2542. 420 335 65 335 003 . 0 × − = ⇒ = × = > = ε kN N Cc =0.85×35×0.80×65×400=619×106 =619. kN N T 2580 420 1084 106 1084. = × = × = kN Pn =619−1084=−465.

(

)

kNmm kNm Mn 619 (200 0.80 65/2) 1084 335 200 254 10 . 254 . 3 = × = − × + × − × =

Este es el primer punto de la tabla 9.1 y corresponde “ e = 254 / - 465 = - 0.55 m ”. Para c = h / 2 = 200 mm

(

)

f MPa MPa s s 200 0.002025 204000 0.002025 413. 420 200 335 003 . 0 × − = ⇒ = × = < = ε

(

)

f MPa MPa s s 0.002025 204000 0.002025 413. 420 200 65 200 003 . 0 ´ < = × = ⇒ = − × = ε kN N Cc =0.85×35×0.80×200×400=1904×106 =1904.

(25)

kN N T Cs = =2580×413=1065×106 =1065. kN Pn =1904+1065−1065=1904.

(

)

(

)

kNm Mn =1904×(200−0.80×200/2)+1065× 335−200 +1065× 200−65 =516 .

Este es el cuarto punto de la tabla 9.1. Corresponde a un “ e = 0.27 m ” Para c = d = 335 mm fs = 0.0

(

)

f MPa MPa s s 0.002420 204000 0.002420 494. 420 335 65 335 003 . 0 ´ = ×= = × = > ε kN N Cc =0.85×35×0.80×335×400=3189×106 =3189. kN Pn =3189+2580×420=4273.

(

)

kNmm kNm Mn =3189×(200−0.80×335/2)+1084× 200−65 =356×103 . =356 .

Este es el punto # 7 y corresponde a un “ e = 356 / 4273 = 0.08 m “.

Tabla 9.1 Resumen de los resultados en los cálculos de la columna del ejemplo 9.5

COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS DE HORMIGÓN ARMADO FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN DOS CAPAS

DATOS DE LA SECCIÓN

b ( mm ) = 400 f´c ( MPa)= 35 INCR." c "= 45 h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000

d´( mm ) = 65 As(mm2) = 2580 ec= 0.003

d ( mm ) = 335 A´s(mm2) = 2580 B1= 0.80

DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCION

p = 0.03225

Punto c fs f´s Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x f´c ) Pn / ( Ag x f´c ) (mm) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens.

1 65 420 0 254 -465 3.97 -2.91 0.113 -0.083 2 110 420 250 397 610 6.20 3.81 0.177 0.109 3 155 420 355 474 1309 7.40 8.18 0.211 0.234 4 200 413 413 516 1904 8.07 11.90 0.230 0.340 5 245 225 420 462 2836 7.23 17.72 0.206 0.506 6 290 95 420 411 3599 6.43 22.50 0.184 0.643 7 335 0 420 357 4273 5.57 26.71 0.159 0.763 8 380 -72 420 295 4888 4.60 30.55 0.132 0.873 9 425 -130 420 223 5464 3.48 34.15 0.099 0.976 10 470 -176 420 139 6012 2.17 37.57 0.062 1.073 11 515 -214 420 42 6538 0.66 40.86 0.019 1.168 12 560 -246 420 -67 7049 -1.05 44.06 -0.030 1.259

(26)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0

200

400

600

Mn ( kN.m)

Pn ( kN )

Figura 9.20 Diagrama de interacción dimensional de la columna del ejemplo 9.5

0

10

20

30

40

50

0

2

4

6

8

10

Mn / ( Ag h ) ( MPa )

Pn / Ag ( MPa )

Figura 9.21 Diagrama de interacción en ( MPa ) de la columna del ejemplo 9.5 ( 610, 397 ) ( 516, 1904 ) ( 357, 4273 ) ( 0, 6774 ) e = 0.08 e = 0.27 e = 0.55

(27)

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Mn / ( Ag h f´c )

Pn / ( Ag f´c)

Figura 9.22 Diagrama de interacción adimensional de la columna del ejemplo 9.5 Si se repiten los cálculos dela tabla 9.1 para las ocho cuantías de columnas se obtiene una familia de diagramas muy útiles en el diseño estructural y que se presentan en todos los manuales y ayudas de diseño. La figura 9.23 los ilustra para el ejemplo 9.5.

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0 200 400 600 800 1000 Mn ( kN.m) Pn ( kN)

Figura 9.23 Familia de diagramas de interacción del ejemplo 9.5

ρ = 0.01

e / h = 0.20

e / h = 0.68

ρ = 0.08

(28)

9.4.6 Comportamiento a nivel de resistencia. Refuerzo en todas las caras

Cuando se presentan altos momentos flectores es mas económico concentrar parte o todo el refuerzo en las dos caras paralelas al eje de la flexión como se indica en la figura 9.24. Sin embargo para pequeñas excentricidades es decir alta carga axial y bajos momentos flectores y cuando por razones arquitectónicas se requieran disminuir al máximo las dimensiones de la sección transversal de la columna es practico distribuir el refuerzo en forma uniforme alrededor del perímetro de la sección.

Figura 9.24 Distribución del refuerzo en columnas en dos y cuatro caras

En este caso, al existir varias capas de refuerzo, es probable que cuando se alcance la resistencia de la sección las barras de las capas intermedias no estén en fluencia aspecto que se debe tener en cuenta cuando se analiza el comportamiento de la sección, figura 9.25. Utilizando los principios explicados en el numeral anterior se pueden construir los diagramas de interacción de estas secciones aplicando las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad. Estos diagramas son la base fundamental del diseño de las columnas con refuerzo en todas las caras. La construcción de estos se explicara mejor con el siguiente ejemplo.

Figura 9.25 Tensiones y deformaciones en columnas con refuerzo en todas las caras

b h b h Mu Mu εc εs1 εs2 εs3 εs Ts4 Ts3 Cs1 Cc Cs2 c As1 As2 As3 As4

(29)

Ejemplo 9.6 Analizar el comportamiento a nivel de resistencia de la columna del

ejemplo 9.5 considerando el refuerzo distribuido en las cuatro caras.

Figura 9.26 Sección de columna del ejemplo 9.6

Solución: El procedimiento a seguir es similar al ejemplo anterior. En la tabla 9.2 y

figuras 9.27 a 9.30 se muestran los resultados obtenidos.

Tabla 9.2 Resultados del análisis de la columna del ejemplo 9.6

COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS RECTANGULARES DE HORMIGÓN ARMADO FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN VARIAS CAPAS

DATOS DE LA SECCIÓN b ( mm ) = 400 f´c ( MPa)= 35 INCR." c "= 45 h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000 d´1( mm ) = 65 As1(mm2) = 1935 ec= 0.003 d´2( mm ) = 200 As2(mm2) = 1290 B1= 0.8 d´3(mm) = 335 As3(mm2) = 1935

DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCION

Punto c fs1 fs2 fs3 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x f´c ) Pn / ( Ag x f´c )

# (mm) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens.

1 65 0 420 420 217 -736 3.4 -4.6 0.10 -0.13 2 110 250 420 420 338 177 5.3 1.1 0.15 0.03 3 155 355 178 420 406 1121 6.3 7.0 0.18 0.20 4 200 413 0 413 444 1904 6.9 11.9 0.20 0.34 5 245 420 112 225 406 2855 6.3 17.8 0.18 0.51 6 290 420 190 95 366 3635 5.7 22.7 0.16 0.65 7 335 420 247 0 320 4320 5.0 27.0 0.14 0.77 8 380 420 290 72 264 4945 4.1 30.9 0.12 0.88 9 425 420 324 130 197 5527 3.1 34.5 0.09 0.99 10 470 420 352 176 117 6081 1.8 38.0 0.05 1.09 11 515 420 374 214 24 6612 0.4 41.3 0.01 1.18 12 560 420 393 246 -82 7127 -1.3 44.5 -0.04 1.27 13 605 420 410 273 -204 7629 -3.2 47.7 -0.09 1.36 14 650 420 420 297 -339 8116 -5.3 50.7 -0.15 1.45 h = 400 mm b = 400 mm d´= 65 mm d´= 65 mm 8 # 9 135 mm 135 mm

(30)

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0 200 400 600 800 1000 Mn (kN.m) Pn(kN)

Figura 9.27 Diagrama de interacción de la columna 9.6

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 Mn / ( Ag h ) ( MPa) (Pn / Ag ) (MPa)

(31)

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 [ Mn / (Ag.h.f´c)] [Pn / (Ag.f´c)]

Figura 9.29 Diagrama de interacción adimensional del ejemplo 9.6

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0 200 400 600 800 1000 Mn ( kN.m) Pn ( kN)

Figura 9.30 Diagrama completo de interacción del ejemplo 9.6

(32)

Ejemplo 9.7 Analizar el comportamiento a nivel de resistencia de la columna del

ejemplo 9.5 considerando el refuerzo distribuido en las dos caras laterales.

Figura 9.31 Sección de columna del ejemplo 9.7

Solución: El procedimiento también es similar al ejemplo 9.5. En la tabla 9.3 y figuras

9.32 a 9.35 se muestran los resultados obtenidos.

Tabla 9.3 Resumen de los resultados para la columna del ejemplo 9.7

COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS RECTANGULARES DE HORMIGÓN ARMADO FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN VARIAS CAPAS COLUMNA TIPO L

DATOS DE LA SECCIÓN b ( mm ) = 400 f´c ( MPa)= 35 INCR." c "= 45 h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000 d´1( mm ) = 65 As1(mm2) = 1290 ec= 0.003 d´2( mm ) = 155 As2(mm2) = 1290 B1= 0.8 d´3(mm) = 245 As3(mm2) = 1290 d´4(mm) = 335 As4(mm2) = 1290

DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCION

p = 0.0323

Punto c fs1 fs2 fs3 fs4 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x f´c ) Pn / ( Ag x f´c )

# (mm) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens.

1 65 0 420 420 420 230 -1007 3.6 -6.3 0.10 -0.18 2 110 250 250 420 420 319 -36 5.0 -0.2 0.14 -0.01 3 155 355 0 355 420 359 934 5.6 5.8 0.16 0.17 4 200 413 138 138 413 388 1904 6.1 11.9 0.17 0.34 5 245 420 225 0 225 363 2874 5.7 18.0 0.16 0.51 6 290 420 285 95 95 333 3670 5.2 22.9 0.15 0.66 7 335 420 329 164 0 293 4367 4.6 27.3 0.13 0.78 8 380 420 362 217 72 243 5001 3.8 31.3 0.11 0.89 9 425 420 389 259 130 179 5591 2.8 34.9 0.08 1.00 10 470 420 410 293 176 103 6150 1.6 38.4 0.05 1.10 11 515 420 420 321 214 12 6676 0.2 41.7 0.01 1.19 12 560 420 420 344 246 -93 7176 -1.5 44.9 -0.04 1.28 13 605 420 420 364 273 -213 7665 -3.3 47.9 -0.10 1.37 14 650 420 420 381 297 -348 8146 -5.4 50.9 -0.16 1.45 h = 400 mm b = 400 mm d´= 65 mm d´= 65 mm 8 # 9 90 mm 90 mm 90 mm

(33)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 0 100 200 300 400 500

Mn (kN.m)

Pn(kN)

Figura 9.32 Diagrama de interacción dimensional columna del ejemplo 9.7

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 45.0 50.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0

Mn / ( Ag h ) ( MPa)

(Pn / Ag ) (MPa)

(34)

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

[ Mn / (Ag.h.f´c)]

[Pn / (Ag.f´c)]

Figura 9.34 Diagrama de interacción adimensional del ejemplo 9.7

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0

200

400

600

800

1000

Mn ( kN.m)

Pn ( kN)

Figura 9.35 Familia de diagramas de interacción columna del ejemplo 9.7

(35)

9.4.7 Comportamiento a nivel de resistencia. Columnas circulares

El método anteriormente descrito para determinar por compatibilidad de deformaciones el comportamiento de los tres tipos de columnas rectangulares mas frecuentes en los edificios de hormigón armado ( R, E y L ) se puede aplicar al caso de columnas de forma circular ( C ). La figura 9.36 muestra como se determina “ c “ en estos casos considerando el mismo perfil de deformaciones visto en los ejemplos anteriores. De forma similar la profundidad del bloque comprimido es “ a = B1 c “.

Figura 9.36 Perfil de tensiones y deformaciones para una columna circular La principal característica de esta sección es que la zona a compresión es un segmento de circulo de altura “ a “ del cual se debe conocer su área y posición del centroide para determinar la fuerza de compresión en el hormigón y el momento resultante de esta fuerza respecto al centro de gravedad de la columna. De la geometría se obtiene que tanto el área como la posición del centroide se pueden obtener a partir del ángulo “ θ “ que hace la base del segmento con el radio como se muestra en la figura 9.36. El valor del ángulo “ θ “ depende de la altura del bloque comprimido de la sección así:

Si “ a < h / 2 “ θ < 90° “ y se puede calcular con la ecuación 9.18:     − = − 2 2 cos1 h a h θ ( 9.18 )

Si “ a > h / 2 “ θ > 90° “ y se puede calcular con la ecuación 9.19:     − − = − 2 2 cos 180 1 h h a θ ( 9.19 )

El área del segmento circular se expresa en función de “ θ “ mediante la ecuación 9.20 donde “ θ “ esta en radianes. El momento de esta área alrededor del centro de la

c εc =0.003 εs Cc Cs T1 T2 θ

(36)

columna se indica con la ecuación 9.21. Con estos parámetros se puede determinar el diagrama de interacción de la columna circular.

      − = 4 cos . . 2 θ senθ θ h A ( 9.20 ) A sen h y      = 12 . 3 3 θ ( 9.21 )

En donde ” y “ es el valor de la distancia del centroide del área comprimida al eje neutro. La forma del diagrama de interacción de una columna circular se ve afectada por el numero de barras y su orientación relativa respecto al eje neutro. Por ejemplo en la columna de la figura 9.36 la capacidad de momento en dirección x-x es menor que la obtenida en dirección y-y efecto que debe tener muy en cuneta el diseñador de la estructura. Se recomienda que el diseño de columnas circulares se realice con el diagrama de la dirección mas desfavorable debido al poco control que se tiene durante la construcción de la edificación. Para casos donde el numero de barras es mayor de ocho ( 8 ) el problema se reduce considerablemente por la disposición circular del refuerzo a flexión de la columna.

Ejemplo 9.8 Analizar en un diagrama de interacción el comportamiento de una

columna circular de diámetro “ Φ = 400 mm “. Usar los mismos datos de los ejemplos anteriores para las propiedades de lo materiales, As = 8 # 9.

Figura 9.37 Sección de la columna del ejemplo 9.8

Solución: La metodología nuevamente es similar a la presentada en los ejemplos de

columnas rectangulares. Inicialmente se determina la capacidad de la columna sometida a carga axial pura y luego se asumen varias posiciones de eje neutro y por compatibilidad y equilibrio se obtienen las parejas de puntos ( Mn , Pn ).

400 65 mm 132.5 mm 200 mm 267.5 mm 335 mm

(37)

Capacidad a carga axial pura Excentricidad: e = 0.0

(

)

(

)

kN Pn = 0.85×35× 125664−5160 +5160×420 =5752 Para c = 65 mm εs1 = 0.0 y fs1 =0.0

(

)

f MPa MPa s s 0.00311 204000 0.00311 634 420 65 65 5 . 132 003 . 0 2 2 = ⇒ = × = > − × = ε

(

)

f MPa MPa s s 0.00623 204000 0.00623 1271 420 65 65 200 003 . 0 2 3 = × − = ⇒ = × = > ε

(

)

f MPa MPa s s 0.00935 204000 0.00935 1907 420 65 65 5 . 267 003 . 0 2 4 = × − = ⇒ = × = > ε

(

)

f MPa MPa s s 0.01246 204000 0.01246 2542 420 65 65 335 003 . 0 2 5 = × − = ⇒ = × = > ε

Se comprueba que todas las capas de acero están en fluencia cuando “ c = 65 mm “. Las fuerzas resultantes en cada capa son:

Capa 1 => F1 = 0.0

Capa 2 => F2 = 1290 mm2 * 420 MPa = 542 kN

Capa 3 => F3 = 1290 mm2 * 420 MPa = 542 kN

Capa 4 => F4 = 1290 mm2 * 420 MPa = 542 kN

Capa 5 => F5 = 645 mm2 * 420 MPa = 271 kN

La resultante a compresión del hormigón es:

kN N Cc 0.85 35 9768 291 103 291. = × = × × = θ Cc 200 mm a = 0.80 x 65 =52 mm o 27 . 42 200 52 200 cos 1 =       − = − θ 2 2 9768. 4 74 . 0 67 . 0 74 . 0 400 mm A =      − × × = y

(38)

La fuerza axial resultante es: Pn = 291 – 3 ( 542 ) – 271 = -1606 kN (tracción ). Para obtener “ Mn “ se toman momentos respecto al centro de gravedad de la columna

(

)

mm sen y 166. 9768 12 27 . 42 400 3 3 =       × =

Momento del bloque de hormigón: M1 = 291 x 166 = 48306 kN.mm = 48.3 kN.m

Momento de las capas de acero: M2 = 0.0

M3 = 542 x ( 200 – 132.5 ) = 36.6 kN.m ; M4 = 542 x ( 200 – 200 ) = 0.0 kN.m

M5 = 542 x ( 267.5-200 ) = 36.6 kN.m ; M6 = 271 x ( 335 – 200 ) = 36.6 kN.m

El momento resistente es: Mn = 48.3 +36.6 + 36.6 + 36.6 = 158.1 kN.m

La capacidad a flexión de esta columna para “ c = 65 mm “ es ( 158 kN.m , -1606 kN ). Tabla 9.4 Resumen de cálculos de comportamiento columna ejemplo 9.8 COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS CIRCULARES DE HORMIGÓN ARMADO

FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN VARIAS CAPAS DATOS DE LA SECCIÓN INCR." c "= 35 D ( mm ) = 400 f´c ( MPa)= 35 Es ( MPa) = 204000 d´1( mm ) = 65 fy (MPa) = 420 ec= 0.003 d´2( mm ) = 132.5 As1(mm2) = 645 B1= 0.8 d´3(mm) = 200 As2(mm2) = 1290 A(mm2)= 125664 d´4(mm) = 267.5 As3(mm2) = 1290 d´5(mm) = 335 As4(mm2) = 1290 As5(mm2) = 645

DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCION

Punto c fs1 fs2 fs3 fs4 fs5 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag # (mm) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa)

1 65 0 420 420 420 420 158 -1611 2.5 -10.1 2 100 214 199 420 420 420 190 -941 3.0 -5.9 3 135 317 11 295 420 420 213 -159 3.3 -1.0 4 170 378 135 108 351 420 247 676 3.9 4.2 5 205 418 216 15 187 388 256 1520 4.0 9.5 6 240 420 274 102 70 242 246 2283 3.8 14.3 7 275 420 317 167 17 134 231 2938 3.6 18.4 8 310 420 350 217 84 49 209 3514 3.3 22.0 9 345 420 377 257 137 18 181 4029 2.8 25.2 10 380 420 399 290 181 72 148 4488 2.3 28.1 11 415 420 417 317 218 118 111 4891 1.7 30.6 12 450 420 420 340 248 156 72 5216 1.1 32.6 13 485 420 420 360 274 189 39 5459 0.6 34.1 14 500 420 420 367 285 202 31 5522 0.5 34.5

(39)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0

100

200

300

Mn ( kN.m )

Pn ( kN )

Figura 9.38 Diagrama de interacción de la columna circular del ejemplo 9.8

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0

1

2

3

4

5

Mn / (Ag x h ) ( MPa)

Pn / Ag ( MPa)

(40)

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00

0.05

0.10

0.15

Mn / (Ag x h x f´c )

Pn / ( Ag x f´c )

Figura 9.40 Diagrama de interacción adimensional del ejemplo 9.8

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0

100

200

300

400

Mn ( kN.m )

Pn ( kN )

Figure

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