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Capítulo 12. Máquinas simples

Máquinas simples, eficiencia y ventaja mecánica

12-1. Una máquina con 25% de eficiencia realiza un trabajo externo de 200 J. ¿Qué trabajo de

entrada requiere?

Trabajo de salida Trabajo de salida 200 J ; Trabajo de entrada Trabajo de entrada 0.25 E E = = = Trabajo de entrada = 800 J

12-2. ¿Cuál es el trabajo de entrada de un motor de gasolina con 30% de eficiencia si en cada uno

de sus ciclos realiza 400 J de trabajo útil?

Trabajo de salida Trabajo de entrada 400 J ; Trabajo de entrada Trabajo de entrada 0.30 E E = = = Trabajo de entrada = 1333 J

12-3. Un motor de 60 W levanta una masa de 2 kg hasta una altura de 4 m en 3 s. Calcule la

potencia de salida. 2 Trabajo (2 kg)(9.8 m/s )(4 m) ; 3 s Fs P P t t = = = P = 26.1 W

12.4. ¿Cuál es la eficiencia del motor del problema 12-3? ¿Cuál es el régimen en el cual se realiza

el trabajo contra la fricción?

Potencia de salida 26.1 W 60 W; Potencia de entrada 60 W ent P = E= = E = 43.5% Ppérdida = 60 W – 26.1 W Ppérdida = 33.9 W

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12-5. Una máquina con 60% de eficiencia levanta una masa de 10 kg con una rapidez constante

de 3 m/s. ¿Cuál es la potencia de entrada requerida?

Psalida = Fv = mgv = (10 kg)(9.8 m/s2)(3 m/s) Psalida = 294 W 294 W 0.60 sal ent P P E = = Pentrada = 490 W

12-6. Durante la operación de un motor de 300 hp, se pierde energía a causa de la fricción a razón

de 200 hp. ¿Cuál es la potencia de salida útil y cuál es la eficiencia del motor?

Psalida = 300 hp – 200 hp = 100 hp 100 hp 300 hp sal ent P E P = = ; E = 33.3%

12-7. Una máquina sin fricción levanta una carga de 200 lb hasta una distancia vertical de 10 ft.

La fuerza de entrada se mueve a través de una distancia de 300 ft. ¿Cuál es la ventaja mecánica ideal de la máquina? ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de entrada?

300 ft 10 ft i I o s M s = = = 30 200 lb 30 30 o i F F = = = 6.67 lb

Aplicaciones del principio de la palanca

12-8. Un extremo de una caja fuerte de 50 kg se levanta con una varilla de acero de 1.2 m. ¿Qué

fuerza de entrada se requiere en el extremo de la varilla si se coloca un punto de apoyo (fulcro) a 12 cm de la caja? (Sugerencia: Para levantar un extremo se requiere una fuerza igual a la mitad del peso de la caja fuerte.)

W = mg = (50 kg)(9.8 m/s2) = 490 N; F = W/2 = 245 N 1.08 m 490 N 9; 0.12 m 9 i o I i o I r F M F r M = = = = = Fi = 54.4 N 1.2 m

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12-9. En el caso del cascanueces de la figura 12-4a, la nuez se halla a 2 cm del punto de apoyo y

una fuerza de entrada de 20 N se aplica en los mangos, los cuales están a 10 cm de dicho punto. ¿Qué fuerza se aplica para partir la nuez?

10 cm 5; 5(20 N) 2 cm i I o I i o r M F M F r = = = = = Fo = 100 N

12-10. En el caso de la carretilla de la figura 12-4b, el centro de gravedad de una carga neta de

40 kg se localiza a 50 cm de distancia de la rueda. ¿Qué empuje ascendente se tendrá que aplicar en un punto de los mangos que se encuentra a 1.4 m de la rueda?

1.4 m 2.8; 0.5 m i I o r M r = = = i o I F F M = 2 (40 kg)(9.8 m/s ) 2.8 i F = ; Fi = 140 N

12-11. ¿ Cuál es la ventaja mecánica ideal de la carretilla descrita en el problema 12-10?

1.4 m 2.8 0.5 m i I o r M r = = = Mi = 2.8

12-12. Calcule la ventaja mecánica ideal del alzaprima (barreta) descrito en la figura 12-4c si la

fuerza de entrada se aplica a 30 cm del clavo y el punto de apoyo se localiza a 2 cm de dicho clavo. 30 cm - 2 cm 14 2 cm i I o r M r = = = Mi = 14.0 Fi Fulcro Fo Fi F o Fulcro Fo Fi Fulcro

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12-13. La fuerza de entrada que ejerce un músculo del antebrazo (véase la figura 12-4d) es de

120 N y actúa a una distancia de 4 cm del codo. La longitud total del antebrazo es de 25 cm. Calcule cuánto es el peso que se ha levantado.

(4 cm)(120 N) ; 25 cm i o i i I o o i o r F r F M F r F r = = = = Fo =19.2 N

12-14. Una rueda de 20 cm de diámetro está unida a un eje cuyo diámetro es de 6 cm. Si se

agrega al eje un peso de 400 N, ¿qué fuerza habrá que aplicar al borde de la rueda para levantar el peso con rapidez constante? No tome en cuenta la fricción.

(400 N)(3 cm) ; 10 cm o o I i i F R F r M F F r R = = = = Fi = 120 N

12-15. Una masa de 20 kg va a ser levantada con una varilla de 2 m de largo. Si se puede ejercer

una fuerza descendente de 40 N en un extremo de la varilla, ¿dónde se deberá colocar un bloque de madera que actúe como punto de apoyo?

2 (20 kg)(9.8 m/s ) ; 4.9 (40 N) o I A I i F M M M F = = = = 4.9; 4.9 ; i I i o o r M r r r = = = ro + ri = 2 m; sustituya: ro + (4.9ro) = 2 m

Al resolver para r0 da: ro = 0.339 m El fulcro debe estar a 33.9 cm del peso.

También puede encontrar ri: ri = 4.9(0.339 m) o ri = 1.66 m

12-16. Calcule la fuerza F que se requiere para levantar una carga W de 200 N por medio de la

polea que muestra la figura 12-16a.

200 N 2; ; ; 2 o o I I A i i A F F M M M F F M = = = = = Fi = 100 N Fo Fi Fulcro r R Fi Fo W 40 N mg ro ri

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12-17. ¿Qué fuerza de entrada se necesita para levantar la carga de 200 N con el sistema ilustrado en la figura 12-16b? 200 N 4; ; ; 4 o o I I A i i A F F M M M F F M = = = = = Fi = 50 N

12-18. ¿Cuáles son las fuerzas de entrada necesarias para levantar la carga de 200 N con los

sistemas que se muestran en las figuras 12-16c y d? 200 N 5; ; ; 5 o o I I A i i A F F M M M F F M = = = = = Fi = 40 N 200 N 4; ; ; 4 o o I I A i i A F F M M M F F M = = = = = Fi = 50 N

12-19. ¿Cuál es la ventaja mecánica de un destornillador utilizado como rueda y eje (cabria) si su

hoja tiene 0.3 in de ancho y su mango tiene 0.8 in de largo? 0.8 in.;

0.3 in.

I

M = MI = 2.67

*12-20. El malacate de cadena de la figura 12-17 es una combinación de la rueda y eje con el

aparejo de poleas. Demuestre que la ventaja mecánica ideal de este dispositivo está dada por

Trabajo de salida = Trabajo de entrada; Fisi = Foso

si = 2πR 2 ( ) 2 o R r s = ! " (2 ) 2 ( ) 2 i o R r F !R =F #% ! " $& ' ( 2 2 ; o I I i F R R M M F R r R r = = = ! ! 0.8 in. 0.3 in. Fi Fi

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*12-21. Suponga que el radio mayor de la figura 12-17 es tres veces mayor que el radio pequeño.

¿Qué fuerza de entrada se requiere para levantar una carga de 10 kg sin fricción alguna?

Fo = mg = (10 kg)(9.8 m/s2) = 98.0 N; R = 3r 0 2 2(3 ) 98 N 3; ; 3 3 I I i i F R r M M F R r r r F = = = = = ! ! Fi = 32.7 N

La transmisión del momento de torsión

12-22. Un motor de 1 500 rev/min tiene una polea de tracción de 3 in de diámetro y la polea

arrastrada tiene un diámetro de 9 in. ¿Cuál es la ventaja mecánica ideal y cuál es el número de revoluciones por minuto de la polea de salida?

9 in. 3; 3 3 in. o o i I I i i o D D M M D D ! ! = = = = = = ; o (1500 rpm) 3 3 i ! ! = = ω o = 500 rpm

12-23. Una polea de entrada de 30 cm de diámetro gira a 200 rev/min sobre una correa de

transmisión conectada a una polea de salida de 60 cm diámetro. ¿Cuál es la relación entre el momento de torsión de salida y el momento de torsión de entrada? ¿Cuántas revoluciones por minuto hay en la salida?

60 cm ; 2 30 cm o o o i i i D D ! ! ! = = ! = o 200 rpm 2; 2 2 o i i I i o D M D ! ! ! ! = = = = = ; ωo = 100 rpm

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12-24. Un sistema de poleas con correa en V tiene poleas de tracción de salida y entrada cuyos

diámetros son 6 in y 4 in. Se aplica un momento de torsión de 200 lb · in a la tracción de entrada. ¿Cuál es el momento de torsión de la salida?

6 in ; 1.5 4 in o o o i i i D D ! ! ! = = ! = ; τo = 1.5(200 lb in.); τo = 300 lb ft

12-25. La relación entre la velocidad de salida y la de entrada de un sistema de impulsión por

engranajes es de 2:1. ¿Cuál es la ventaja mecánica en este caso? 1 2 ; 1 o i o I i o i i D M D M ! ! ! ! = = = = ; MI = ½

12-26. Un conjunto de dos engranajes rectos tiene 40 dientes y 10 dientes. ¿Cuáles son sus

posibles ventajas mecánicas ideales?

40 10 ; Razones posibles: y 10 40 o o I i i D N M D N = = MI = 4.0 y 0.250

12-27. Para los engranajes rectos del problema 12.26, ¿cuál es la rapidez rotacional del engranaje

más pequeño si la rapidez del engranaje más grande es de 200 rev/min? 40(200 rpm) ; 10 s L L L L s s s L s D N N D N N ! ! ! ! = = = = ωs = 800 rpm

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Aplicaciones del plano inclinado

12-28. ¿Cuál deberá ser el espesor de la base si una cuña tiene 20 cm de longitud y se desea que

la fuerza de entrada sea igual a la décima parte de la fuerza de salida? 20 cm 10; 10 10 I L L M t t = = = = t = 2.00 cm

12-29. ¿Cuál debe ser el ángulo de la punta de una cuña para que su ventaja mecánica sea de 10?

1 tan ; 10; tan 10 I t L M L t ! = = = ! = θ = 5.710

12-30. Una caja de 10 kg es llevada desde el piso hasta una plataforma de carga a través de una

rampa de 6 m de longitud y 2 m de altura. Suponga que µk = 0.25. ¿Cuáles son las ventajas mecánicas ideal y real de esa rampa? [sen θ = 2/6; θ = 19.5°]

6 m ; 2 m I L M t = = MI = 3.00 Fo = mg = (10 kg)(9.8 m/s2); Fo = 98.0 N Fk = µkN = µkmg cos θ ; Fk = (0.25)(98 N)cos 19.50 = 23.1 N Fi – Fk – mg sen θ = 0; Fi – 23.1 N – (98 N)sen 19.50 = 0; Fi = 55.77 N 98.0 N 55.77 N o A i F M F = = ; MA = 1.76

12-31. En el caso de la rampa del problema 12.30, ¿cuál es la eficiencia de dicha rampa?

1.76 3 A i M E M = = ; E = 0.586 E = 58.6% L t N F 6 m 2 m mg cos θ Fo = mg Fi θ θ

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*12-32. Una fuerza de entrada de 20 lb se aplica al mango de 6 in de una llave de tuercas que se

usa para apretar una tuerca de 1/4 in de diámetro. Se produce una fuerza real de salida de 600 lb. Si el perno tiene 10 cuerdas o roscas por pulgada, ¿cuál es la ventaja mecánica ideal y cuál es la eficiencia?

P = 1/10 in/cuerdas = 0.167 in; 2 2 (6 in) 377;

0.1 in I R M P ! ! = = = MI = 377 600 lb 30 20 lb o A i F M F = = = ; 30 377 A I M E M = = ; E = 8.00%

12-33. La palanca de un gato de tornillo tiene 24 in de largo. Si el tornillo tiene 6 cuerdas o

roscas por pulgada, ¿cuál es la ventaja mecánica ideal?

P = 1/6 in/cuerdas = 0.167 in; 2 2 (24 in) 904;

0.167 in I R M P ! ! = = = MI = 904

12-34. Si el gato de tornillo del problema 11.33 tiene 15% de eficiencia, ¿qué fuerza se requiere

para levantar con él 2000 lb?

MA =E MA = (0.15)(904) = 136 2000 lb 136; 136 o A i i F M F F = = = Fi = 14.7 lb

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Problemas adicionales

*12-35. Un plano inclinado tiene 6 m de longitud y 1 m de altura. El coeficiente de fricción

cinética es 0.2. ¿Cuánta fuerza se requiere para empujar con rapidez constante un peso de 2400 N hacia la parte alta del plano inclinado? ¿Cuál es la eficiencia del plano inclinado? [sen θ = 1/6; θ = 9.59°] 6 m ; 1 m I L M t = = MI = 6.00 Fo = 2400 N Fk = µkN = µkW cos θ ; Fk = (0.2)(2400 N)cos 9.590 = 473 N Fi – Fk – mg sen θ = 0; Fi – 473 N – (2400 N)sen 9.590 = 0 Fi = 873 N 98.0 N 55.77 N o A i F M F = = ; MA = 1.76 1.76; 6 A I M E M = = E = 29.3%

*12-36. Una rueda y un eje se usan para elevar una masa de 700 kg. El radio de la rueda es de

0.50 m, y el radio del eje es de 0.04 m. Si la eficiencia real es de 60%, ¿qué fuerza de entrada se deberá aplicar a la rueda?

Fo = W = mg = (700 kg)(9.8 m/s2); Fo = 6860 N; EA = 0.60; R = 0.50 m 0.5 12.5; 0.60 0.04 A I I R M M E r M = = = = = ; MA = 0.60(12.5) = 7.5 6860 N 7.5; 7.5 o A i i F M F F = = = ; Fi = 915 N

*12-37. Un eje que gira a 800 rev/min imparte un momento de torsión de 240 N m a un eje de

salida que gira a 200 rev/min. Si la eficiencia de la máquina es de 70%, calcule el momento de torsión de salida. ¿Cuál es la potencia de salida? [ω0 = 200 rpm = 20.94

rad/s] o 0.70(240 N m)(800 rpm) 0.70; 200 rpm o o i i E ! " ! ! " = = = ; τo = 672 N m Po = τoωo = (672 N m)(20.94 rad/s); Po = 14.1 kW N F 6 m 1 m W cos θ Fo = 2400 N Fi θ θ

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*12-38. El tornillo de un gato tiene una cuerda cuyo paso de rosca es de 0.25 in. Su manija tiene

16 in de largo y se está levantando con él una carga de 1.9 toneladas. Sin tener en cuenta la fricción, ¿qué fuerza se debe aplicar en el extremo de la manija? ¿Cuál es la ventaja mecánica?

2 2 (16 in.) 0.25 in. I R M P ! ! = = ; MI = 402

Despreciando la fricción: ; 1.9 ton(2000 lb/ton)

402 o A I i i F M M F F = = = Fi = 9.45 lb En ausencia de fricción: MA = MI = 402 MA = 402

*12-39. Cierto compresor para refrigeración viene provisto de una polea de 250 mm de diámetro

y está diseñado para funcionar a 600 rev/min. ¿Cuál deberá ser el diámetro de la polea del motor para que la velocidad de éste sea de 2000 rev/min?

(600 rpm)(250 mm) ; 2000 rpm o i o o I i i o i D D M D D ! ! ! ! = = = = Di = 75.0 mm

*12-40. En la correa de un ventilador, la rueda impulsora es de 20 cm de diámetro y la de arrastre

tiene un diámetro de 50 cm. La potencia de entrada proviene de un motor de 4 kW que hace girar a la rueda motriz a 300 rev/min. Si la eficiencia es de 80%, calcule el número de rev/min y el momento de torsión que se imparten a la rueda impulsada. Nota: 300 rpm = 31.4 rad/s. 50 cm 2.5 20 cm o I i D M D = = = ; MA = EMI = 0.8(2.5) = 2 4000 W ; 127.3 N m 31.4 rad/s i i i i i i P P ! " ! " = = = = τo = MAτi = 2(127.3 N m) τo = 255 N m (20 cm)(300 rpm) i i D!

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12-41. Una cuña para partir leños mide 16 cm por lado y el ángulo de la punta es de 10º. ¿Cuál es

la ventaja mecánica ideal?

t = L sen θ = (16 cm) sen 100 = 2.78 cm; 16 cm 2.78 cm I L M t = = MI = 5.76

12-42. Una máquina tiene una eficiencia de 72%. Una fuerza de entrada de 500 N se ejerce a

través de una distancia paralela de 40 cm. ¿Cuánta energía se pierde en el proceso?

Trabajo de entrada = (500 N)(0.40 m) = 200 J; Trabajo de salida = 0.72(200 J) = 144 J Pérdida de energía = Trabajo de entrada – Trabajo de salida = 200 J – 144 J

Pérdida = 56.0 J

*12-43. Un motor con 80% de eficiencia acciona un malacate con una eficiencia de 50%. Si la

potencia que se imparte al motor es de 6 kW, ¿a qué altura elevará el malacate una masa de 400 kg en un tiempo de 4 s?

ET = (0.80)(0.50) = 0.40; Trabajo de entrada = (6000 W)(4 s) = 24,000 J

Trabajo de salida = 0.40(24,000 J) = 9600 J; Trabajo de salida = Foso

2 Trabajo de salida 9600 J (400 kg)(9.8 m/s ) o o s F = = so = 2.45 m

Preguntas para la reflexión crítica

12-44. Un peso de 60 N es levantado por los tres procedimientos diferentes que se ilustran en la

figura 12-18. Calcule la ventaja mecánica ideal y la fuerza de entrada que se requiere para cada aplicación. 80 cm 40 cm i I o r M r = = MI = 2.00 o i I F F M = 60 N 2.0 i F = ; Fi = 30 N 120 cm 40 cm i I o r M r = = MI = 3.00 Fi 40 cm 80 cm 60 N Fi 40 cm 80 cm 60 N

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12-44. (Cont.) o i I F F M = 60 N 3.0 i F = ; Fi = 20 N 40 cm 120 cm i I o r M r = = MI = 0.333 o i I F F M = 60 N 0.333 i F = ; Fi = 180 N

Los anteriores son ejemplos de las tres clases de palancas. Note las ventajas y desventajas de cada tipo de palanca en términos de la ventaja mecánica y la producción de fuerza que se requiere.

*12-45. Una transmisión de tornillo sin fin, figura 12-11, tiene n dientes en la rueda dentada. (Si n = 80, una vuelta completa del tornillo sin fin hará avanzar la rueda un octavo de

revolución.) Obtenga una expresión para calcular la ventaja mecánica ideal de la rueda dentada para el tornillo sin fin en función del radio de la polea de entrada R, el radio del eje motor r y el número de dientes n de la rueda dentada.

2 Trabajo de entrada Trabajo de salida; F si i F so o; si 2 R; so r

n ! ! = = = = 2 (2 ) ; o ; i o I I i F r nR nR F R F M M n F r r ! ! = "$ #% = = = & '

*12-46. La transmisión de tornillo sin fin del problema 12.45 tiene una rueda dentada con 80

dientes. Si el radio de la rueda de entrada es 30 cm y el radio del eje motor es 5 cm, ¿qué fuerza de entrada se requiere para levantar una carga de 1200 kg? Suponga una eficiencia de 80%.

(80)(30 cm) 480; (0.8)(480) 384 5 cm I A I nR M M EM r = = = = = = 2 (1200 kg)(9.8 m/s ) 384 i F = Fi = 30.6 N Fi 40 cm 80 cm 60 N

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*12-47. La chumacera de un remo de 3.5 m está instalada a 1 m del extremo del mango. La

persona que rema en un bote aplica una fuerza de 50 N al extremo del mango. ¿Cuáles son la ventaja mecánica ideal y la fuerza de salida? ¿Aumenta o disminuye la ventaja mecánica si la chumacera se coloca más cerca del extremo del mango? ¿A qué distancia del extremo del mango se debe instalar la chumacera para obtener un incremento de 20% en la fuerza de salida? 1 m 2.5 m i I o r M r = = MI = 0.400

Al mover la chumacera acercándolo a las manos produce una ventaja mecánica menor: Menor

Un 20% de incremento en F0 significa que la nueva ventaja mecánica es 1.2MA

M’A = 1.2(0.40) = 0.48; 0.48; 0.48 0.48(3.5 m - ); i i o i o r r r r r = = = ri = 1.68 – 0.48ri

ri = 1.14 m La chumacera debe ser puesta a 1.14 m de la mano.

*12-48. Dibuje un sistema de aparejo de poleas con una ventaja mecánica de 5. El sistema dibujado a la derecha tiene cinco cuerdas de levantamiento para tirar del peso hacia arriba y así tiene una ventaja mecánica de 5.

*12-49. Un motor de 60 W impulsa la polea de entrada de una transmisión por correa a 150

rev/min. Los diámetros de las poleas de entrada y de salida son 60 cm y 20 cm. Suponga que en este caso la ventaja mecánica real es de 0.25. (a) ¿Cuál es el momento de torsión de salida? (b) ¿Cuál es la potencia de salida? (c) ¿Cuál es la eficiencia?

20 cm 0.333 60 cm o i i D M D = = = (60 cm)(150 rpm) 20 cm i i o o D D ! ! = = ωo = 450 rpm 0.25 0.333 A I M E M = = ; E = 0.750 or 75.0% Po = 0.75Pi = 0.75(60 W) = 45 W; Po = 45 W τoωo = 45 W; ωo = 450 rpm = 47.1 rad/s; !o = 45 W ; τo = 0.955 N m 2.5 m Fo Fi 1 m

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*12-50. Un par de poleas por pasos (figura 12-19) permite cambiar las velocidades de salida con

una sencilla modificación de la correa. Si un motor eléctrico impulsa la polea de entrada a 2000 rev/min, halle los valores posibles de la rapidez angular del eje de salida. Los diámetros de las poleas son 4, 6 y 8 in.

Considere primero la polea de 4 in, la cual puede dirigir una polea de salida de 4, 6 y 8in. El caso 1 tiene di = 4 in, y d0 = 4 in.

(a) ωodo = ωidi ωi = 2000 rpm 4 in (2000 rpm); 4 in o ! = $" #% & ' ωo = 2000 rpm 4 in (2000 rpm); 6 in o ! = $" #% & ' ωo = 1333 rpm 4 in (2000 rpm); 8 in o ! = $" #% & ' ωo = 1000 rpm

(b) En seguida considere la polea de 6 in como la polea de entrada.

6 in (2000 rpm); 4 in o ! = $" #% & ' ωo = 3000 rpm 6 in (2000 rpm); 6 in o ! = $" #% & ' ωo = 2000 rpm 6 in (2000 rpm); 8 in o ! = $" #% & ' ωo = 1500 rpm

(c) En seguida consideramos la polea de 8 cm como la polea de entrada.

8 in (2000 rpm); 4 in o ! = $" #% & ' ωo = 4000 rpm 8 in (2000 rpm); 6 in o ! = $" #% & ' ωo = 2667 rpm 8 in (2000 rpm); 8 in o ! = $" #% & ' ωo = 2000 rpm

Figure

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Referencias

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