C d) A ∪ B 6) Dados los siguientes conjuntos: U = {a, b, c, d, e, f, g, h, ab} (conjunto universal) A = {a, b, c, d} B = {ab, c, d} C = {e, h} Calcule a) A ∩ B b) A ∪ B c) B ∪ C d) A ∩ C e) A – C f) C – A g) A – B h ) B – A i) A – A j) A 7) Sean A

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CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 2018

TRABAJO PRACTICO Nº 1

CONJUNTOS Y LENGUAJES

1) Dados A = {1, 2, 3} B = {ab, c, d} C = {a, b}, complete con ∈, ∉, ⊂, ⊆ según corresponda a) a …… A b) a …… B c) a …… C d) {a, b}…...C e) {a}….. C f) ∅……… C 2) Dé un ejemplo de conjunto finito/infinito definido por extensión/comprensión (son 4 ejemplos).

3) Determine si las siguientes afirmaciones son Verdaderas o Falsas y justifique a) {a, b, c, ab} es un conjunto finito de cardinalidad 5

b) {celeste, blanco} es el conjunto de colores de la bandera argentina

4) Para A = {1, 2, 3}, defina cada uno de los siguientes:

a) Subconjuntos de A (conjunto potencia de A) b) Subconjuntos de A que contienen 1 ó 2 c) Subconjuntos de A de cardinalidad 2

5) Dados los conjuntos A, B y C, usando diagramas de Venn marque la zona resultante de:

a) A ∩ (B ∩ C) b) A – B c ) (A ∪ B) ∩ C d) A ∪ B 6) Dados los siguientes conjuntos: U = {a, b, c, d, e, f, g, h, ab} (conjunto universal)

A = {a, b, c, d} B = {ab, c, d} C = {e, h}

Calcule a) A ∩ B b) A ∪ B c) B ∪ C d) A ∩ C e) A – C f) C – A g) A – B h ) B – A i) A – A j) A

7) Sean A = { x | x ∈ N y x mod 2 = 0} B = { x | x ∈ N y x > 3 } C = { x | x ∈ N y 2 ≤ x ≤ 10 } Calcule el resultado de cada una de las siguientes operaciones e indique si el conjunto resultante es vacío, finito o infinito

a) A ∪ B b) A ∩ B c) A – B d) B - A e) A ∩ C f) B ∩ C g) C – A h) A – C g) A ∪∅ j) (A ∪ B) ∩∅

8) Sean las cadenas x = cd y z = ab definidas sobre el alfabeto {a, b, c, d}. Calcular a) x1 b) x0 c) xR d) xRz2 e) x2 f) zRxR g) x2 z3

9) Sean L1 = { an b2k / n ≥ 0 y k ≥ n } L2 = { 0m 1n / m impar y n par, ó m par y n par }

Determine para cada una de las siguientes cadenas si ∈ o ∉ al lenguaje indicado.

a) a b4... L1 e) 03 13...L2 i) 14... L2

b) a b ...L1 f) 04 18...L2R

j) 03 16 a3 b8 ...….L1 • L2

c) ε ...L1 g) 03 1202 14 01 12...L2*

k) a6b8 04...….... L1 • L2

d) a5 ...L1 h) 09... L2 l) 1a b4... L2 • L1

10) Dé la cadena de menor longitud y otra cadena de distinta longitud, para cada uno de los siguientes lenguajes:

a) L1 = { x / x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}* y x es un número par}

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CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 2018

b) L2 = { an bm dn+m / n, m ≥ 0}

c) L3 = { x / x ∈ {a, b, c, d}* y x contiene la subcadena ab y x no contiene la subcadena bc}

d) L4 = { x / x ∈ {a, b, c}* y la longitud de x es múltiplo de 4 y x termina en bb } e) L5 = { x / x ∈ {a, b, c}* y x contiene al menos 2 b y x contiene la subcadena bc}

11) Sean A y B alfabetos, A = {a, b} y B = {a, b, c}, y L1, L2 y L3 lenguajes

L1 = { ai bj/ i ≥ 1, j ≥ 1 } L2 = { bi cj/ i ≥ j ≥ 1 } L3 = { ai bj ci / i ≥ 1, j ≥ 1 } Determine si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa.

a) L1 es un lenguaje sobre A. c) L2 es un lenguaje sobre B.

b) L2 es un lenguaje sobre A. d) L3 es un lenguaje sobre B.

12) Determine si cada una de las siguientes afirmaciones es Verdadera o Falsa. Para las falsas justifique por qué.

a) {ab, aa, bb, aaabbb} ⊂ {ab, aabb, aaabbb}

b) {an b2n/ n > 0 } ⊂ {ab, aabb}

c) {ab, aabb, aaabbb} ⊂ {an b2nck / n > 0, k > 0}

d) {abb, aabbbb} ⊂ {an b2n/ n > 0 }

e) {ak b2ncn / n, k > 0 } ⊂ {an b2ncn / n > 0 }

13) Sean L1 = {ε}, L2 = {b, aa, ab, bb}, L3 = {ε, a, b, aa, bb} y L4 = ∅, definidos sobre A = {a, b}.

Calcular a) L1 ∪ L2, b) L1 ∪ L3, c) L1 ∪ L4, d) L1 ∩ L2, e) L2 ∩ L3, f) L3 ∩ L4, g) L1 ∩ L4

14) Sean L1 y L2 los siguientes lenguajes: L1 = { a } L2 = { b }

Determine los conjuntos de cadenas que pertenecen a los siguientes lenguajes:

a) L1*

b) ( L1 • L2 )* c) ( L1 ∩ L2 )* d) L1*

L2*

e) ( L1 ∪ L2 )* 15) Dados los siguientes lenguajes, definidos sobre el alfabeto A = {a, b, c}

L1 = {a2n bj cn/ n, j ≥ 0} L2 = {a2kci / i > 0 y k ≥ 0} L3 = {ε, aa, c}

a) Calcule el lenguaje resultante de las siguientes operaciones:

i) L3

2 – L2 ii) L2

R ∩∩∩∩ L3 iii) L2 ∪∪∪∪ L3 iv) L3 R . L3

16) Describa si es posible, mediante un único conjunto las siguientes operaciones:

a) { akdkgihs / k, s ≥ 0 y i≥ s} ∩ { akdkgihs / k, s ≥ 0 y i> s}

b) { an b2k / n, k ≥ 0} ∩ {a2n+1bk / n, k ≥ 0}

c) { an b2k / n, k ≥ 0} ∪ {a2n+1bk / n, k ≥ 0}

d) { an b2k / n, k ≥ 0} - {a2n+1bk / n, k ≥ 0}

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Ejercicios Adicionales

1) Dados: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 2, 4, 8} C = {1, 2, 3, 5, 7} D = {2, 4, 6, 8}

Calcule a) (A ∪ B) ∩ C b) A ∪ (B ∩ C) c) C ∪ D

d) C ∩ D e) (A ∪ B) – C f) A ∪ (B – C) g) (A ∪ B) ∩ ∅

2) Suponga que un grupo de estudiantes fueron encuestados acerca de los temas A, B y C.

Si la cantidad de estudiantes (cardinalidad de un conjunto | | ) que respondió sobre estos temas:

|A|=25 |B|=39 |C|=20 | A ∩ B|=7 | A ∩ C|=8 | B ∩ C|=8 | A ∩ B ∩ C |=3 a) ¿Cuántos estudiantes fueron encuestados?

b) ¿Cuántos estudiantes respondieron sobre el tema B o C?

c) ¿Cuántos estudiantes que opinaron sobre el tema B opinaron sobre los temas A o C?

d) ¿Cuántos estudiantes opinaron sobre A y B?

e) ¿Cuántos opinaron sobre los tres temas?

f) ¿Cuántos opinaron sobre el tema C pero no sobre el tema B?

3) Indique para cada conjunto si es vacío, finito o infinito:

a) { x | x ∈ N y 2x – 8 ≤ 4} b) { x | x ∈ N y 2x – 8 ≥ 4} c) { x | x ∈ N y x mod 4 = 0}

4) Dados los siguientes lenguajes, definidos sobre el alfabeto A = {a, b, c, d, e, g}

L1 = {ε, ab, a} L2 = {ε, d, c} L3 = { x / x ∈ {a, b, c}* y x termina en ab}

Calcule el lenguaje resultante de las siguientes operaciones:

a)L12

- L3 b) L1. L2*

c) L1R

d) L12∩ L3 e) L1∪ L22

5) Determine si las siguientes igualdades sobre lenguajes definidos sobre el alfabeto A = {a, b, c}

son verdaderas o falsas, justificando en cada caso. Para las falsas, dé un contraejemplo.

a) { a2i bi / i ≥ 0 } = ({a}.{a})* . {b}* b) { a2ibn / i, n ≥ 0 } = ({a}.{a})* . {b}*

c) {w / w ∈ {a, b, c}* y w termina con a } = ({a} ∪ {b} ∪ {c})*

d) {w / w ∈ {a, b}* y w tiene al menos dos a} = ({a} ∪ {b})*. {a} . {a}. ({a} ∪ {b})* e) {w / w ∈ {a, b, c}* y w no comienza con a } = ({ε} ∪ {b} ∪ {c}) . ({a} ∪ {b} ∪ {c})*

6) En cada caso dé, si es posible, un lenguaje L (que sea no vacío) que satisfaga la condición correspondiente:

a) L ⊂ {ab, aabb, aaabbb} para L infinito b) L ⊂ {anbn / 0 ≤ n ≤ 100} para L finito c) {ak b2ncn / n, k > 0 } ⊂ L para L finito e) {ak b2n / n, k > 0 y k > n } ⊂ L, para L infinito f) L ⊂ {anbnck / k ≥ 0 y n > k }, para L finito g) L ⊂ {anck / k, n ≥ 0 }, para L infinito

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