Determinar si la siguiente integral converge o diverge.

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

SEGUNDO EXAMEN FINAL COLEGIADO TIPO “B”

2 de junio de 2015 Semestre 2015-2

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es 2 horas.

1. Si las funciones

 

₂

¹

f x 1

 x



^y

 

2 2

g x x

 a



tienen la misma ordenada media en el intervalo

 ^{0, 1} 

, calcular el valor de

a

^.

15 Puntos

2. Determinar si la siguiente integral converge o diverge.

  ^ln

²

dx

e x x





15 Puntos

3. Efectuar las siguientes integrales:

 

^{2 2 2} ₃ ^{5 3}

x 1

d x x x

a ) tan x sec x d x b ) c ) d x

x x

e

 

  

  

30 Puntos

2EFB15-2

4. Calcular el área de la región limitada por la gráfica de

2

1

y  x 

y de

y  7  x

². Representar gráficamente la región.

10 Puntos

5. Sea la función

^f  ^{x y ,}  ^{ y}

²

^{ x}

, representar gráficamente su dominio y obtener las ecuaciones de sus curvas de nivel para

z  0

_y

z  1

.

15 Puntos

6. Si la temperatura de una placa metálica rectangular está determinada por

 ^{x y ,}  ^{x y}  ^{1 x}  ^{2 y} 

T   

_{donde x }

_{ }

_{0, 1}

_{ }

_{y y }

_{ }

_{0, 2}

_{ }

_, obtener la dirección en la que la temperatura disminuye más rápidamente a partir del punto ¹

2, 1

 

 

 .

15 Puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

SOLUCIÓN DEL SEGUNDO EXAMEN FINAL COLEGIADO

2 de junio de 2015 Semestre 2015-2

1. Sean

  

 

 

1 0

1

2 0

1

0 1

0

1

1 tan 4

2 2

2 2

1

como deben ser iguales:

2 4 4 2 1

dx x

f c ang x

a dx x

g c a x a a

a a a



 



  



       

    







15 Puntos

2. Es una integral impropia

 

²

lim lim 1

ln ln

lim 1 1 1

ln

La integral converge

u u

u u

e e

u

I dx

x x x

I x

 



 

    

 

 

     

 





S2EFAyB15-2 3. a) Por sustitución trigonométrica

2

2

2

2 2

sec 1 tan

sec

2sec tan

2sec tan sec tan 2

2 2 sec

o bien:

2 sec

x

x

x x

x

x

si

dx d

I d d

I c I ang c

I ang C

e e

e e

e

e







  

   

 





 



 

 

    

 

     

 

También se puede resolver con cambio de variable.

b) Por fracciones parciales

   

  ^{ }

2

2 2

2 2

Sea

2 5 3

1 1

2 5 3 1

0 1 1

3 10 6 0 6

4 6

x x A Bx C

x x x x

x x A x x Bx C

si x si x si x

A B C B C

B C B C

  

 

 

      

   

      

      

S2EFAyB15-2

 

2

3 2

3 2

Por lo que:

2 2 1 5

3 5

1

ln 1 ln 1 5 tan

2

ln 5 tan

1

B B y C

I x dx

x x

I x x ang x C

I x ang x

x c

     

   

      

    

 

 

   

  

 



c) Al desarrollar el cuadrado:

 

 

2 2

2 2

2

1 2

2 2

I tan x sec xtan x sec x dx

I sec x sec xtan x sec x dx

I tan x sec x x C

  

   

   





30 Puntos

S2EFAyB15-2 4. Al hacer simultáneas las ecuaciones:

   

  ^{   }

     

2 2

2

2 2 2

2 1

2

2 2

2 3 3

0 0

2

1 7

2 8 7 1

2 2

2

2 2

2 8 2 2 8 2 2 8 2

3 3

2 8 1 2

2 2 8 2 8 2 1 32

3 3 3

64 3

x x

x A x x dx

x x

x

I x dx x x

I

I u



  

 

       

   



   

             

     

                 







10 Puntos 5.

 

 

2 2

2

2 2

Debe cumplirse que 0

0

1 1

y x

y x

D x, y x y

Las ecuaciones de las curvas de nivel son :

Para z ; y x

Para z ; y x

 

 

 

 

  

_{15 puntos}

S2EFAyB15-2

6.

       

 

       

 

   

1 2 2 1

2 1 2 2 2 1

1 1 2

2 0 Disminuye más rápido en la dirección 2 0

P

Sea

T x x y y , y y x x

T x y y , y x x

si P , Entonces

T , del vector ,

           

      

 

 

 

   

15 Puntos