Trigonometría, 8va Edición - Margaret L. Lial

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Para a y u d a r al e stu d ia n te a tener éxito

El principal o b je tivo d e este libro es ayudarle a c o m p re n d e r los co n ce p to s y a desarrollar las

habilidades analíticas necesarias para te n e r éxito e n m atem áticas. C on este o b je tivo e n m ente,

los autores e xp on e n cada te m a m ate m á tico bajo u n e n fo q u e diseñado para q u e usted partici­

p e a ctivam ente e n el proceso d e aprendizaje.

Los e je m p lo s detallados incluyen so lu c io n e s p a s o a p a s o que presen­ tan co m e n tario s al m a rg e n y e x p li­ caciones, a s í com o referencias a las se c cio n e s y a lo s a p é n d ic e s en los que previam ente se ha d e repasar el material. E n consecuencia, usted pue- cfe utilizar m ejor los ejem plos para a p re n d e r e l m ate ria l, a s í c o m o p a ­ ra practicar y repasar posteriorm ente.

Los c u a d ro s d e fu n c ió n ofrecen una com prensión esp ecial, introducción visual para cada cla se d e función — un concepto c la v e e n e ste curso— y sirven com o un excelente recurso de referencia y repaso. S on particu­ larm ente útiles para com prender el “concepto general” e n trigonom etría.

i

Lds ejercicio s Intente a h o ra le per­ m iten aplicar d e inm ediato los c o n ­ ceptos y las habilidades presentadas en los ejem p lo s, y tra b ajar paralela­ m ente los ejercicios con num eración im par del correspondiente conjunto efe ejercicios. Al hacer esto usted com prueba su com prensión d e l m a­ terial a s í com o su progreso.

FUNCIÓN TANGENTE f (x) = tan

x

I

D om inio: (* | * & (2n + 1 ) J , donde n es un entero} R ango: ( - » , eo)

> 1

i

f ( x ) = t a n a » /

X

1 2- ' !

A

< 1 \ ^ X 'y+r n

~ T i n d e f i n i d o ¡ f

_ s

A - 1 - ¿ ' / « A i 217 / V / y *•

0

0 i / '

4 2

1 -

s

4 1 I / - 2 - 11 . . . 7 in d e fin id o « r «r — ■

/ ( * ) = la n x ,

- f

< x <

f

Modo puntos Figura 3 2

EJEMPLO 2 S o lu c ió n d e u n a e c u a c ió n c o n u n á n g u lo d o b le R esuelva eos 2 x = eo s x e n el intervalo [0, 27t).

S o lu c ió n Prim ero cam bie eo s 2 xa una función trigonom étrica de x .U tilice la iden­ tid ad eo s 2 x = 2 eos2x - 1 po r lo que la ecuación im plica só lo a eo s x.Entonces, al factorizar

e o s 2 r = c o s x

2 c o s : . t - 1 = c o s x Sustituir; identidad del ángulo doble

(S e c c ió n 5 .5 )

2 eo s2 x - eo s x - 1 = 0 Restar eos t. (2 eos x + 1) (eos x 1) = 0 Factorizar.

2 eo s x + 1 = 0 o e o s * — 1 = 0 Propiedad de factor cero

( A p é n d ic e A )

C O S * = —y 0 C O S * = 1

E n el intervalo requerido,

2tt 47r

Í = T 0 * = T c w II p E l conjunto so lu ció n es [o, íp ).

Intente ah o ra el ejercicio 17.

• L a gráfica es d iscontinua en todos los valores de * d e la form a x = {7n + 1 ) J y tiene asíntotas verticales en esto s valores.

• Sus intersecciones c o n el e je x so n de la fo rm a x = nrr. • Su periodo es ir.

• Su gráfica no tiene am plitud, puesto q u e no hay valores m áxim os o mínim os. • L a g rá fica es sim étrica c o n respecto al origen, por lo que la función es una

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Los ejercicios de c o m p ro b a c ió n de c o n ce p to s se concentran en el pensa­ miento m atem ático y e n la com pren­ sión conceptual. L as m atem áticas implican m ás q u e notación, cálculos y fórmulas; el detenerse a pensar acerca d e los conceptos subyacentes le ayudará a recordados y aplicarlos en el m om ento e n q u e lo necesite.

Comprobación de conceptos Refiérase al cuadro de resumen para resolver una ecua­ ción trigonométrica. Decida la técnica adecuada para solucionar cada uno de los si­ guientes problemas. No resuelva la ecuación.

1. 2 cot * + 1 = - 1 2. sen x + 2 = 3 3. 5 scc2x = 6 scc x 4. 2 eos2 x - eos x = 1 5. 9 sen2 x - 5 sen x = 1 6. tan2* - 4 ta n * + 2 = 0 7. tan x - cot x = 0 8. eos2* = sen2* + 1

Se presentan adicionales y co m p letas so lu c io ­ n e s p a s o a p a s o al final del libro para los e je r­ cicios seleccionados. Se tra ta d e soluciones que am plían las habilidades y los co n cep to s q u e se presentan e n los ejem plos; proporcionan, de hecho, una gam a d e ejem plos diferentes y/o problem as a ú n m ás desafiantes.

31. 2 sen # = 2 eos 20

Resumen del capítulo 1

Or m in o simportantes 1.1 oda

segmento de reda to segnwnto) rayo fttgulo

beto inicial beto lamina vértice de un ángulo álffllO pCBÜVO áagub negativo grado Aagub agudo Aagub redo ángub obtuso águb llano

ángutos compfcnwn tartos Aagutos suplenarntarios minuto

argindo Aipib en ptaicton

estándar ándito aiadramal Ai pitos cotorninales 1.2 Aipibs verticales

■das paral elas «reversa!

rángules «erogantes

•rüngulcs angru entes 1.5 seno

coseno tangente cotangente arcante entecante

31. 2 sen 0 — 2 eos 20

sen 0 = eos 20 Dividir entre 2. sen 0 = 1 — 2 ser? 0

Identidad del coseno del doble de un ángulo 2 sen3 0 + sen 0 - 1 = 0

(2 sen 0 — l)(sen 0 + 1) = 0

2 sen 0 - 1 = 0 o sen 0 + 1 = 0 sen 0 = y sen 0 = — 1

E n e l i n te r v a l o |0 ° . 3 6 0 ° ) . la e c u a c i ó n s e n 0 = j tie n e d o s s o l u c io n e s 3 0 ° y 1 5 0 °. E n e l m is m o in te r v a lo , la e c u a c i ó n s e n 0 = — I tie n e u n a s o lu c ió n . 2 7 0 ° . C o n ju n to s o lu c ió n : ( 3 0 ° . 1 5 0 °. 2 7 0 ° )

SIMBOLOS NUEVOS

0 tena griega thesa i ' minuto

° grado * sepindo

REPASO RÁPIDO

C O N C E P T O S

1.1 Aigdas

E J E M P L O S

Upo* deáqiiot

Ánguki ral»

»=w

AfguloIblHi

S= IST*

13 Retadón de tnpios y triángiáos semejante»

a e - 32*. entcncea el ángulo 6 es un ángulo agudo, a e - 90*. (Motos el ángulo 6 es un ángub redo. S 0 - 148*. encoca el ángulo S es un ángulo ofcuso. 3 0 - 180*. enaances el ángulo Oa un ángulo llano.

Los ángilcB valióte müen lo misn».

m y ñ na re a m pré ctas los ángilw valióte 4 y 5 sai igualo.

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Trigonometría

Octava edición

M a rg a re t L. Lial

Am erican River College

John H o rn sb y

University o f N e w Orleans

D a vid I. Sch n e id e r

University ofM aryland

M a r k D u g o p o isk i

Southeastem Louisiana University

Traducción:

A na Elizabeth García

H ernández

D octora en Física, C IN V E S T A V ,

In stitu to P olitécnico N acional

Profesora d e asignatura en la

U niversidad Iberoam ericana

y U niversidad A n á h u a c del N o rte

Revisión técnica:

Lic. R oberto A. Ferrara

M a g a ñ a

D epartam ento d e M atem áticas

In stitu to Tecnológico y d e E stu d io s

Superiores d e M onterrey, cam pus

E stado d e M éxico

P E A R S O N

Ing. A gu stín Vázquez

Sánchez

D epartam ento d e C iencias

D ivisión Preparatoria

In stitu to Tecnológico y d e E stu d io s

Superiores d e M onterrey, cam pus

E sta d o d e M éxico

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D a to s d e c a ta lo g a c ió n b ib lio g rá fic a Lia», M argaret L.; Hornsby, Jo h n ; Schneider, David I. y M ark Dugopolsky

TRIG O N O M ETRÍA , O ctava edición.

FEARSON EDUCACIÓN, M éxico, 2006 ISBN: 970-26-0808-2 Área: Bachillerato

Formato: 20 X 25.5 cm Páginas: 448

A uthorized tran slatio n from th e E n g lish language edition, entitled Trigonom etry, by M argaret L Lial, Jo h n Hornsby a n d David I. Schneider Copyright © 2005, a n d Trigonom etry, by M ark D ugopolski C o p y rig h t © 2 0 0 3 , p u b lish ed b y P earso n E d u catio n , In c ., p u b lish in g a s A d d iso n W esley Inc.

All rig h ts reserved.

ISBN 0-321-22736-0 0-201-70338-6

Traducción autorizada de la edición en idiom a inglés, titulada Trigonom etry, de M argaret L. Lial, John Hornsby y David I. Schneider C opyright © 2005, y Trigonom etry, de M ark Dugopolski C opyright © 2003, publicadas por Pearson Education, Inc., publicadas com o Addison W esley Inc. Todos los derechos reservados.

Esta edición en español es la única autorizada. E d id ó n e n esp añ o l

Editor: Enrique Q uintanar Duarte e-mail:

Editor de desarrollo: Astrid Mués Zepeda Supervisor de producdón: Enrique T rejo Hernández

OCTAVA EDICIÓN, 2006

D.R. © 2006 por Pearson E d u ca d ó n de M éxico, S.A. de C.V. Atlacomulco núm. 500-5° piso

Col. Industrial Atoto

53519 Naucalpan de Juárez. Edo. de México

E d id ó n e n inglés:

Publisher: G reg Tobin

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Sénior Production Supervisor: K aren W em holm

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Cám ara Nacional de la Industria E ditorial Mexicana. Reg. Núm. 1031.

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El préstamo, alquiler o cualquier otra form a de cesión de uso de este ejem plar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN: 970-26-0808-2

Impreso en M éxico. Printed in México. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 0 8 07 06

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Contenido

P re fa c io Í X

• • •

G u ía d e su p le m e n to s X l l l

P

P re rre q u isito s a lg e b ra ic o s

p-i_____________________

P .l H sistem a d e co o rd e n ad a s c a rte sia n a s P-2

P .2 Funciones P -1 4

P.3 Fam ilias d e funciones, tran sfo rm acio n es y s im e tría P -22

P .4 C om posiciones d e funciones y funciones in v ersas P -3 4

C onceptos im p o rta n te s del c a p ítu lo P P -4 5

E jercicios d e rev isió n del c ap ítu lo P P -4 6

E xam en del c ap ítu lo P P -48

1

F u n c io n e s trig o n o m é tric a s

/_______________

1.1 Á ngulos 2

T e n n in o b g ía b á s ic aM e d id a e n g ra d o sP o sic ió n e s tá n d a rÁ n g u lo s co te rm in a les

1 .2 R elación d e ángulos y triá n g u lo s se m ejan te s 9

P ro p ied a d e s g e o m é tric a sT riángulos

1 .3 Funciones trig o n o m étrica s 20

F un cio n es trig o n o m é tric a sÁ n g u lo s d e cu a drante

1 .4 Uso d e la s definiciones d e las funciones trig o n o m étrica s 2 7

Iden tid a d es re cíp ro c a sS ig n o s y ran g o s d e los va lo re s d e la s fu n c io n e sIden tid a d es p ita g ó r ic a sIden tid a d es d e c o c ie n te

R esum en 3 7 ■ E jercicios d e re p a so 3 9 ■ E x am en 4 2

R azo n am ien to c u a n tita tiv o 4 4

2 Á n g u lo s a g u d o s y triángulos rectángulos

45

2.1 Funciones trig o n o m étricas y ángulos ag u d o s 46

D e fin ic io n es d e las fu n c io n e s trig o n o m é tric a s b a sa d a s e n e l triá n g u lo re ctá n g u loC o fu n cio n esV alores d e la s fu n c io n e s trig o n o m é tric a s d e á n g u lo s esp ecia les

2 .2 Funciones trig o n o m étricas d e ángulos n o a g u d o s 55

Á n g u lo s d e re fe re n ciaÁ n g u lo s e sp ecia le s c o m o á n g u lo s d e re fere n ciaD eterm in a ció n d e m e d id a s d e á n g u lo s c o n á n g u lo s esp ecia les

2 .3 D eterm inación d e los valores d e las funciones trig o n o m étrica s c o n el

uso d e u n a c a lc u la d o ra 6 2

(8)

C on te n ido

2 . 4 Solución d e triá n g u lo s rec tán g u lo s 68

C ifra s sig n ific a tiv a sS o lu c ió n d e triá n g u lo sÁ n g u lo s d e elevación o d e depresión

2 .5 M ás aplicaciones d e los triá n g u lo s rec tán g u lo s 7 7

R u m b oM á s aplica cio n es

R esu m en 8 6 ■ E jercicios d e re p a so 8 8 ■ E x am en 91

R azo n am ien to c u a n tita tiv o 9 2

5

M e d id a en radianes y funciones circulares

93

3.1 M ed id a en ra d ia n e s 9 4

M e d id a en ra d ia n e sC onversión e n tr e g ra d o s y ra d ia n e sD eterm in a ció n d e lo s va lo re s d e la Ju n ción p a r a á n g u lo s en radianes

3 . 2 A plicaciones d e m ed id as e n ra d ia n e s 9 9

L o n g itu d d e a r c o d e un c írc u loÁ r e a d e un s e c to r d e un círcu lo

3 . 3 El círcu lo u n ita rio y la s funciones c irc u la re s 108

F u n c io n es c irc u la re sD e te rm in a c ió n d e va lo re s d e fu n c io n e s c irc u la re sD e te rm in a ció n d e un n ú m e r o c o n un v a lo r d a d o d e la fu n c ió n c irc u la rA p lic a c ió n d e las fu n c io n e s circulares

3 . 4 R ap id ez lin eal y a n g u la r 116

R a p id e z lin e a lR a p id e z a n g u la r

R esu m en 122 ■ E jercicios d e re p a so 1 2 4 ■ E x am en 128

R azo n am ien to c u a n tita tiv o 129

4 G ráficas de fu n c io n e s circulares

m

_______

4.1 G ráficas d e las funciones seno y coseno 132

F u n c io n es p e r ió d ic a sG ráfica d e la fu n c ió n s e n oG rájica d e la fu n c ió n c o s e n oT é cn ic a s p a r a graficar, a m p litu d y p e rio d oU so d e un m o d e lo trig o n o m é trico

4 . 2 T raslacio n es d e las g ráficas d e las funciones seno y coseno 146

T ra sla c io n e s h o rizo n ta le sT ra sla c io n e s v ertica lesC om binaciones d e tra sla c io n e sD e te rm in a c ió n d e un m o d e lo trig o n o m é tric o usando c u r v a s d e a ju ste

4 . 3 G ráficas d e las o tra s funciones c irc u la re s 155

G ráficas d e la s fu n c io n e s c o sec a n te y se ca n teG ráficas d e la s fu n c io n e s ta n g en te y c o ta n g e n teS u m a d e ord en a d a s

R esu m e n de e je rc ic io s p a ra tra z a r la s fu n cio n e s c irc u la re s 168 4 . 4 M ovim iento a rm ó n ico 168

M o vim ie n to a rm ó n ic o sim p leM o v im ie n to o scila to rio a m o rtig u a d o

R esu m en 173 ■ E jercicios d e re p a so 175 ■ E x am en 178

R azo n am ien to c u a n tita tiv o 179

5

Id e n tid a d e s trig o n o m é tric a s

m

___________

5.1 Id en tid ad es fu n d am e n ta les 182

(9)

C o n te n id o r i i

5 . 2 C o m probación d e id en tid ad es trig o n o m étrica s 188

C om p ro b a ció n d e iden tid a d es a l tra b a ja r c o n un la d oC om probación d e iden tid a d es a l tra b a ja r c o n a m b o s lados

5 . 3 Id en tid ad es de s u m a y re s ta p a ra e l coseno 1 9 7

Id e n tid a d d e l c o se n o p a r a la re staId e n tid a d d e l c o se n o p a r a la s u m aIdentidades d e c o fu n cio n esA plicaciones d e las identidades d e la su m a y la resta

5 . 4 Id en tid ad es del seno y d e la tan g en te d e la su m a y d e la diferencia 2 0 5

Id en tid a d es d e l se n o p a r a la s u m a y la re staIden tid a d es d e la ta n g e n te p a ra la su m a y la resta p a r a la ta n g en teA plicaciones d e las identidades d e la sum a y la resta

5 . 5 Id en tid ad es de á n g u lo d o b le 212

Identidades d e án g u lo d o b leIdentidades d e p ro d u c to a su m a y d e su m a a p ro d u cto

5 . 6 Id en tid ad es del á n g u lo m ita d 221

Iden tid a d es d e l á n g u lo m ita dA p lic a c io n e s d e id e n tid a d e s d e l á n g u b m ita d

R esu m e n d e e je rc ic io s de c o m p ro b a ció n d e id e n tid a d e s trig o n o m é tric a s 2 2 7

R esum en 229 ■ E jercicios d e re p a so 231 ■ E x am en 2 3 3

R azo n am ien to c u a n tita tiv o 2 3 4

6 F u n c io n e s circulares in v e rsa s y e c u a c io n e s

trig o n o m é tric a s

235

___________________________________

6.1 Funciones c irc u la re s in v ersas 236

F un cio n es in v e rsa sF unción s e n o in ve rsoF u n ció n c o se n o in ve rsoF unción ta n g e n te in ve rsa • L a s fu n c io n e s c irc u la re s in versa s re sta n tesValores d e la fu n c ió n inversa

6 . 2 E cuaciones trig o n o m étrica s I 249

Solución co n m é to d o s lin e a le sS o lu ció n c o n fa c to r iz a c ió nSolución con m é to d o s c u a d rá tic o sS o lu ció n c o n id e n tid a d e s trig o n o m é tric a s

6 . 3 E cuaciones trig o n o m étrica s I I 256

E cu a cio n es c o n á n g u lo s m ita dE c u a c io n e s c o n m ú ltip lo s d e á n gulos

6 . 4 E cuaciones q u e im plican funciones trig o n o m étrica s in v ersas 262

S o lu ció n p a r a x en té rm in o s d e y c o n e l uso d e fu n c io n e s in versa sSolución d e e c u a c io n e s trig o n o m é tric a s inversas

R esum en 269 ■ E jercicios d e re p a so 271 ■ E x am en 2 7 3

R azo n am ien to c u a n tita tiv o 2 7 4

1

Aplicaciones de trigonom etría

275

________________

7.1 T rián g u lo s oblicuángulos y ley d e los sen o s 276

T riá n g u lo s o b lic u á n g u lo s y co n g ru en c iaD ed u cció n d e la le y d e los s e n o sS o lu ció n d e triá n g u lo s L A A y A L A (c a so I )Á re a d e un triá n g u lo

7 .2 El caso am biguo d e la ley d e los sen o s 287

D escrip ció n d e l c a so a m b ig u oS o lu ció n d e triá n g u lo s L L A (caso 2 )A n á lisis d e d a to s p a r a n ú m e ro s p o s ib le s d e triá n g u lo s

7.3 L a ley d e los cosenos 293

D ed u cció n d e la ley d e lo s c o sen o sS o lu ció n d e triá n g u lo s L A L y L L L (casos 3 y 4 )F órm ula d e H erón p a r a e l á r e a d e un triá n g u lo

R esum en 3 0 5 ■ E jercicios d e re p a so 3 0 7 ■ E x am en 3 0 9

(10)

C on te n ido

A p é n d i c e A E c u a c i o n e s y d e s i g u a l d a d e s 313

E c u a c io n e sS o lu ció n d e ec u a cio n e s linealesS o lu ció n d e ec u a cio n e s c u a d rá tic a sD e sig u a ld a d e s o in ec u a c io n e sS o lu ció n d e d esig u a ld a d e s lin e a lesN o ta c ió n d e in te rv a loD e sig u a ld a d e s d e tre s p a rte s

A p é n d i c e B G r á f i c a s d e l a s e c u a c i o n e s 3 2 0

E l sis te m a c o o rd en a d o recta n g u la r - E l te o re m a d e P itá g o ra s y la fó r m u la d e d ista n c iaL a fó r m u la d e l p u n to m e d io e n tr e d o s p u n to sT ra zo d e e c u a c io n e sC írculos

A p é n d i c e C F u n c i o n e s 3 2 5

R e la c io n e s y fu n c io n e sD o m in io y r a n g oC ó m o d e te r m in a r s i una rela ció n e s u n a fu n c ió nN o ta c ió n d e fu n c ió nC recim iento,

d e c re c im ie n to y fu n c io n e s c o n sta n te s

A p é n d i c e D T é c n i c a s d e t r a z o d e g r á f i c a s 3 3 1

E xtensión y co m p re sió nR eflexiónS im e tr íaTraslaciones

G l o s a r i o 3 3 7

S o l u c i o n e s d e e j e r c i c i o s s e l e c c i o n a d o s S - l R e s p u e s t a s a l o s e j e r c i c i o s s e l e c c i o n a d o s R - l

I n d i c e d e a p l i c a c i o n e s 1-1

(11)

Prefacio

E n la presente ed ició n d e Trigonom etría, continuam os c o n nuestro com prom iso de proporcionar el m ejor texto posible para ayudar a los profesores a enseñar y a los estudiantes a tener éxito. P a ra ayudar a los estudiantes a desarrollar tanto e l co n o ci­

m iento conceptual com o las destrezas an alíticas necesarias para triu n far e n m atem á­ ticas, presentam os cada tem a c o n un e n fo q u e sistem ático diseñado para im plicarlos activam ente e n el proceso d e aprendizaje. H em os tratado d e a b o rd ar las diversas necesidades d e los estudiantes d e hoy a través d e un diseño más ab ierto , c o n figuras y gráficas actualizadas, elem entos útiles, explicaciones cu id ad o sas d e los te m a s y un paquete com pleto d e suplem entos y ay u d as d e estudio.

A unque suponem os que los estudiantes tien e n al m enos un curso d e álg eb ra, en esta edición incluim os un capítulo adicional d e prenequisitos (por M aik Dugopolski) y cuatro nuevos apéndices para repasar los prerrequisitos algebraicosa los cuales hacem os referencia a e n todo el texto. C uando e s necesario se repasan conceptos algebraicos y geom étricos adicionales. Tanto los estu d ian tes que planean continuar el estudio d e las m atem áticas e n cálcu lo , estadística u otras discip lin as, com o q u ie ­

nes se encuentran e n su últim o cu rso , se beneficiarán c o n este enfoque orientado a los lectores.

Características n ue vas o m ejoradas__________

N os com placem os e n brindar las siguientes características nuevas o m ejoradas.

Aperturas d e capítulo

Se han hecho m ás actuales y eficientes, proporcionan una vista ráp id a d e los te m a s d e l c a p ítu lo y hacen referencia a una a p lica c ió n m otiva- dora.

Ejem plos

H em os agregado aún m ás ejem plos e n e sta edición. S us soluciones se explican paso a paso y a h o ra se identifican fácilm ente gracias al encabezado Solu­

ción. H em os revisado cuidadosam ente todas las soluciones y hem os incluido más

com entarios y ex p licacio n es a lado, e n tre e llo s la sección y o apéndice al q u e hace referencia y q u e previam ente se había exp u esto , o b ien , los prerrequisitos. L os e jem ­ plos seleccionados continúan proporcionando soluciones de calculadora ju n to con las soluciones algebraicas tradicionales. S i se desea, las soluciones con la calculado­ ra graficadora se pueden om itir fá cilm en te.

Intente ahora el ejercicio

P ára im plicar activam ente a los estu d ian tes e n el pro­ ceso d e aprendizaje, ahora c a d a ejem plo co n clu y e c o n una referencia a uno o m ás ejercicios paralelos c o n num eración im par del correspondiente conjunto d e eje rc i­ d o s . D e e sta form a, los estudiantes pueden aplicar y reforzar inm ediatam ente los conceptos y las destrezas presentadas e n los ejem plos.

(12)

X Prefacio

y problem as opcionales para calculadora graficadora É H , a s í com o problem as de opción m últiple, d e relación, falso/verdadero y problem as d e co m p letar, problem as d e V erificación d e co n cep to s, q u e se concentran e n el pensam iento m atem ático y en el entendim iento co n cep tu al, que fueron b ie n recibidos e n la ed ició n a n terio r y que se han am pliado en e sta ocasión.

Soluciones a ejercidos seleccionados Los

ejercicios cuya num eración está encerrada e n un círculo gris, com o 11., indican q u e la solución co m p leta para el problem a e stá incluida e n una d e las secciones finales. Se d a n las soluciones para aquellos ejercicios que extienden las destrezas y los conceptos presentados e n la sec­ c ió n de ejem p lo s, lo q u e d e hecho p roporciona a los estudiantes un nutrido grupo de ejem plos q u e ilustran problem as diferentes y/o m ás estim ulantes.

Ejerddos de repaso

Se presentan esto s nuevos conjuntos de ejercicio s e n los capítulos 4 y 5. B rindan a los estu d ian tes, e n deso rd en , los problem as fundam enta­ les d e repaso q u e necesitan para sintetizar los co n cep to s y para seleccionar m étodos de solución apropiados.

Cuadros de función

O frecen una com pleta introducción visual para c a d a fun­ d ó n c ircu lar y función circular inversa; tam b ién sirven com o un excelente recurso de re fe re n d a y repaso durante el cu rso . C a d a cuadro incluye una tab la d e valores junto c o n las gráficas tradicionales y de calculadora, así com o el dom in io , rango y otras inform aciones específicas ace rca d e la función.

Figuras y fotos Los

estudiantes d e hoy tienen un interés m ás profundo e n lo visual que e n o tro s tiem pos. P o r consiguiente, hem os hecho un esfuerzo com ún para incluir formas m atem áticas, diagram as, tablas y gráficas c a d a vez que fue posible. L a s a p li­ caciones tie n e n fotografías en ejem plos y ejercicios.

Repaso rápido

Cada capítulo term ina c o n un extenso resum en, una lista que resal­ ta los térm inos clave sección por se cd ó n , los nuevos sím bolos y hace un rápido repa­ so d e los conceptos im portantes junto con los ejem plos correspondientes. T am bién se presenta un conjunto com pleto d e ejercicios d e repaso y un exam en del capítulo.

Razonam iento cuantitativo

A hora se presentan al final d e c a d a cap ítu lo , estos problem as perm iten capacitar a los estudiantes e n la aplicación d e los co n cep to s tri­ gonom étricos a una situ a d ó n real, com o la rd a c ió n entre co sto s y utilidad, las te m ­ peraturas anuales prom edio o la planificación financiera para la ju b ilació n . S e pre­ senta una fotografía e n c a d a problem a.

Glosario

C om o una a y u d a de estudio adicional para e l estu d ian te, se ha incluido un im portante glosario de térm inos clave d e todo e l texto al final del libro.

Características con tin u ad as_________________

H em os conservado las características populares d e ediciones an terio res, a lg u n o s de las cuales son las siguientes:

(13)

P re facio X¡

Uso de la tecnología

Com o e n la edición anterior, hem os integrado el uso de calculadoras graficadora d o n d e e s ap ro p iad o , au n q u e la tecnología d e g raficación no es una característica principal. C ontinuam os haciendo én fasis en q u e las calcu lad o ­ ras graficadoras son una a y u d a para el entendim iento, y que los estudiantes deben dom inar los conceptos m atem áticos subyacentes. H em os incluido soluciones con calculadora graficadora para ejem p lo s seleccionados y continuam os indicando todas las notas d e la calcu lad o ra graficadora y los ejercicios q u e usan calculadoras g rafi­ cadoras c o n un icono

93

para su fácil identificación y para tener m ayor flexibili­ dad. E ste m aterial d e calculadora graficadora es opcional y se p u e d e om itir sin perder continuidad.

Precauciones y notas

C on frecuencia advertim os a los estudiantes los errores com unes y enfatizam os las ideas im portantes c o n p r e c a u c i ó n y los co m en ­

tarios c o n n o t a s a lo largo d e la exposición.

Una m irada a l cálculo

Notas a l m argen que v islum bran cóm o los te m a s trig o ­ nom étricos que se está n estudiando actualm ente serán usados e n cálculo.

Conexiones

C ontinuam os proporcionando conexiones c o n la realidad o c o n otros conceptos m atem áticos, así com o c o n fundam entos históricos y pensam ientos, todos ellos m otivan preguntas para escribir o para analizar e n clase, o b ien , conducen a la elaboración d e un trabajo d e grupo.

Ejercidos de relación de conceptos

Se presentan e n los conjuntos de eje rc i­ d o s seleccionados, ayudan a los estudiantes a unir los tem as y a desarrollar las d e s­ trezas para la solución d e problem as cuando se com paran y contrastan las ideas, cuando se identifican y describen patrones y se ex tien d en los co n cep to s a nuevas situaciones. E stos ejercicio s proponen vastas actividades d e co lab o ració n por pare­ ja s o grupos pequeños de estudiantes.

C am b ios en el contenido____________________

Un d e los objetivos principales d e esta revisión fue refinar y aum entar las presenta- d o n e s individuales d e los tem as, y hem os trabajado m ucho para lograrlo e n todo el libro. Los cam bios a d id o n a le s del contenido que se pueden o b serv ar incluyen lo siguiente:

■ A dem ás d e revisar los co n cep to s alg eb raico s y geom étricos co n fo rm e fue nece­ sario a lo largo del tex to , hem os in d u id o un repaso m inucioso d e los requisitos algebraicos esen ciales e n los nuevos apéndices A-D . P or co n sig u ien te, e l c a p í­ tulo 1 em pieza inm ediatam ente c o n la an terio r sección 1.2 acerca d e los ángulos. ■ L as secciones 4 .1 ,4 .3 y 6.1 incluyen nuevos cuadros de función para resaltar la

inform ación im portante acerca de las funciones d rc u la re s y d e las funciones d rc u la re s inversas.

■ El capítulo 4 concluye c o n una nueva sección ace rca d d m ovim iento arm ónico. ■ La sección 5.5 ahora com prende las identidades producto-a-sum a y sum a-a-pro­

ducto.

(14)

x ii Prefacio

R e c o n o c im ie n t o s ________________________________

Se han publicado ediciones previas de e ste libro d esp u és d e m iles d e horas d e tra­ bajo, no sólo d e los autores sino tam b ién d e revisores, profesores, estu d ian tes, veri­ ficadores d e respuestas y editores. A c a d a una d e e sta s personas y a todos aquellos q ue han trabajado d e alg u n a m anera e n e ste texto c o n el paso de los añ o s, nuestro agradecim iento por su contribución. No podríam os haberío hecho sin ustedes. D e­ seam os agradecer especialm ente a las siguientes personas quienes dieron una valiosa ayuda a la presente edición

R ichard A ndrew s, Florida A & M U niversity

Sandra A rm an, M otlow S ta te C om m unity C ollege

M elissa B erta, Saddleback C ollege

S teven B ogart, Shoreline C om m unity C ollege

L arry B ouldin, R oane S ta te C om m unity C ollege

B rian C árter, San D iego C ity C ollege

S usan D uke, M eridian C om m unity C ollege

D iane E llis, M ississippi S ta te U niversity

S am E v ers, University o f A la b a m a T uscaloosa

Jo n F reed m an , S kylin e C ollege

Jeffrey H ughes, H inds C om m unity C ollege

L ynne K endall, M etropolitan S ta te C ollege o fD e n v e r

M aría M aspons, M iam i-D ade C om m unity C ollege

A m y M cL anahan, Foothill C ollege— L os A lto s H ills

C harles O d io n , H ouston C om m unity C ollege

J an e R oads, M oberly A rea C om m unity C ollege

A lex R olon, N ortham pton C om m unity C ollege

M ahm oud S hagroni, H ouston C om m unity C ollege

V irginia S tarkenburg, San D iego C ity C ollege

Lew is W alsto n , M ethodist C ollege

En los últim os años, hem os llegado a tener un equipo com pleto d e profesionistas e x ­ perim entados. N uestro m ás sincero agradecim iento e stá dedicado al personal de Addison-W esley, q u e trabajó m uy arduam ente y durante m ucho tiem po para hacer de esta revisión un éxito: G re g T obin, A nne K elly, B ecky A nderson, K aren G uardino, K aren W em holm , Barbara A tkinson, Joanne Ha, C ecilia Flem ing y Joe Vetere.

T erry M cG innis c o n tin ú a brindando una invaluable o rien tació n tras bam balinas; hem os llegado a depender d e su pericia e n todas las fases del proceso d e revisión. A gradecem os a G in a L inko y a los servicios d e publicación d e la av en id a E lm por su excelente trabajo de producción. Perian Herring, K itty Pellissier y A bby T anenbaum hicieron un trabajo sobresaliente al verificar las respuestas de todos los ejercicio s, y A bby T an en b au m tam bién escribió las nuevas soluciones a los ejercicios seleccio­ nados que se presentan al final del libro. A gradecem os esp ecialm en te a P aul V an Erden por los m uchos índices q u e tan diligentem ente preparó para nosotros c o n el paso d e los años. Joanne Still preparó el índice para e ste tex to , y B ecky T routm an com piló el índice com pleto d e aplicaciones. E n esp ecial, g racias a P atricia N elson, R ichard W atkins y M argaret W estm oreland por las pruebas d e exactitu d -co m p ro b a­ ción d e páginas.

C om o un equipo d e autores, estam os com prom etidos con el objetivo esta b le ci­ do anteriorm ente en el prefacio: proporcionar el m ejor texto posible para ay u d ar a los profesores a enseñar y a los estudiantes a te n e r éxito. C om o co n tin u am o s tra b a ­ jando c o n e sta finalidad, será bienvenido cu alq u ier com entario o sugerencia que

usted pueda tener vía correo electrónico a m [email protected] aw .com

(15)

G G u ía d e su p le m e n to s x iü

MyMathLab

M a t h x p

M y M ath L ab ®

E s una serie textos específicos, que se personalizan fácilm ente para libros d e texto de A ddison-W esley de m atem áticas y de estadística. M yM athL ab es sum inistrado por C ourseC om passT M (enseñanza e n línea y am biente d e aprendizaje de P earson Educación) y por MathXL®, constituye nuestro sistem a d e tareas escolares e n línea, tutorial y sistem a d e asesoram iento. M yM athLab le brinda las hen-amientas q u e usted necesita para llevar su curso e n línea, ya sea q u e sus estudiantes estén e n el labora­ torio o q u e trabajen desde su casa. M yM athLab proporciona un conjunto abundante

y flexible d e m ateriales para el cu rso , co n tien e ejercicio s d e respuesta libre, q u e se generan con un alg o ritm o , para la práctica ilim itada y el dom inio. L os estudiantes tam bién pueden usar herram ientas e n línea, com o las conferencias de video, las ani­

m aciones y el libro d e texto d e m ultim edia, para m ejorar por sí m ism os su co n o ci­ miento y su rendim iento. L os profesores pueden usar las tareas esco lares de M yM athLab y e l adm inistrador de pruebas para seleccionar y a sig n a r ejercicio s en línea relacionados directam ente con e l libro d e texto, y pueden im portar exám enes del generador d e pruebas e n M yM athL ab para m ayor flexibilidad. E l libro d e califi­ caciones d e M yM athLab e n línea (M yM athLab gradebook) ha sido diseñado e sp e­ cíficam ente para m atem áticas y estadística y d e m anera autom ática lo m antiene al d ía c o n las ta re a s escolares y los resultados de los exám enes de los estudiantes, y le da el control al profesor para calcular las calificaciones finales. M yM athL ab e stá d is­ ponible para los profesores q u e lo adopten. P ara m ayor inform ación, visite nuestro sitio e n Internet e n w w w .m ym athlab.com .

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(16)
(17)

p

Prerrequisitos algebraicos

la com petencia d e la C o p a A m érica d e 1995, el equipo d efen so r Young A m erica tenía b u e n án im o , pero d e sd e el inicio e ra claro q u e el bando de Nueva Z elanda, Black M agic, tem a un veleo m ejor y m ás rápido en brisas d e 11 nudos y m arejadas onduladas. D urante d o s años y medio e l equipo había hecho todo lo posible para prepararse para e se m om ento.

Ya pasaron esos d ía s cuando c o n m era habilidad y resistencia se ganaban com petencias com o la C o p a A m érica. E l equipo B lack M a g ic de N ueva Z elanda lució un diseño creado m atem ática­

mente, q u e redujo su peso y optim izó su e sta ­ bilidad y velocidad.

La preparación e s ta n im portante e n tri­ gonom etría com o e n el veleo. E n e ste ca p ítu ­ lo se repasan algunos fundam entos d e álgebra q ue son n ecesario s para te n e r éx ito e n trig o ­ nometría. E n e sta s páginas verá q u e incluso los conceptos b ásic o s d e álg eb ra tie n e n a p li­ caciones e n negocios, cien cia, ingeniería, y aun e n e l veleo.

P.1 El s is t e m a c o o r d e n a d o c a rte sia n o P .2 F u n c io n e s

P .3 F a m ilia s d e fu n c io n e s , t r a n s f o r m a c io n e s y sim e tría P . 4 C o m p o s ic io n e s d e f u n c io n e s

y f u n c io n e s in v e rs a s

(18)

P - 2 C A P ÍT U LO P Prerrequisitos algebraicos

P.1 El sistem a coordenado cartesiano

la b ia P.1

nuri'fifL'MU'*-X Costoy

0 $ 5 1

1 7 1

2 9 1

3

11

4 13 |

eje y

X

5-C uadrante II 4 '

3-Cuadrante I

2-

e je *

I-V

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 ( -2-

-3-Ni 2 3

Origen 4 5

C uadrante III _4_

-5-C uadrante IV

figu ra P.1

y ( - 3 ,4 ) 5 • 4

(3 ,5 )

3 2 1

(0 .2 ) +5

-5 -A -3 -2 -1 +3 •1 4 5 X

—4

( - 2 - 5 ) . - 5 ( 4 .- 5 ) .

figura P.2

E n e ste capítulo se estudian parejas d e variables y cóm o e stá n relacionadas. P or ejem p lo , p podría representar e l precio d e la g aso lin a y n el núm ero d e g alo n es que usted consum e e n un m es; * podría ser el núm ero d e ingredientes en una pizza m edia­ n a y y el costo d e esa pizza; o h podría ser la altura d e un niño d e dos añ o s y w el peso. Rara d escrib ir las relaciones e n tre pares d e variables se utiliza un sistem a c o o r­ denado bidim ensional.

Un sistem a coordenado bidim ensional

Suponga q u e el costo d e una pizza m ediana e s $5 m ás $2 por ingrediente. L a tabla P.1 m uestra q u e x e s el núm e­ ro de ingredientes y y es el costo. P ara indicar q u e * = 3 y y = 11 van ju n to s, se puede usar el p a r o rd e n a d o (3, 11). E l par ordenado (2 ,9 ) indica q u e una pizza con 2 ingredientes cuesta $9. L a p rim e ra c o o rd e n a d a cfel par ordenado representa el número d e ingredientes y la seg u n d a c o o rd e n a d a representa el costo. L a asignación para c a d a una d e las coordenadas e s arb itraria, pero una vez q u e se hace se m antie­ ne fija. P o r ejem p lo , e n el contexto actual el par ordenado ( 1 1 ,3 ) indica q u e una pizza d e 11 ingredientes cu esta $3, y no e s lo m ism o q u e (3 ,1 1 ). É sta e s la razón por la q u e se llam an “pares o rd en ad o s”.

O bserve que los paréntesis se usan para indicar pares ordenados y tam b ién para indicar intervalos de núm eros reales. P or ejem p lo , (3 ,7 ) podría ser un par ordenado o el intervalo d e núm eros re a le s e n tre 3 y 7. S in em b arg o , el significado d e e sta nota­ ción debe ser siem pre claro a p artir del análisis.

L os pares ordenados están descritos e n un plano e n el sistem a coo rd en ad o re c ­

ta n g u la r o e n el sistem a c o o rd en ad o cartesian o , llamado a s í en honor del m atem áti­

co francés René D escartes (1596-1650). E l sistem a coordenado cartesiano consiste de dos rectas num eradas dibujadas peipendicularm ente entre sí, q u e se intersectan e n el cero de cada recta num erada com o se m uestra e n la figura P.1. El punto e n el q u e se intersectan se llam a el origen. L a recta num erada horizontal es el eje x y la recta num e­ rada vertical es el eje y. Las dos rectas num eradas dividen el plano e n cuatro regiones llam adas cu ad ran te s, num erados com o se m uestra e n la figura P.1. Los cuadrantes no incluyen ningún punto sobre los ejes.

Se llam a a un plano con un sistem a coordenado rectangular, el p lan o c o o rd e­

n a d o o e l p lan o x y . C ada par ordenado d e núm eros reales (a , b) corresponde a un

punto P e n el plano xy. P o r e sta razón, a los pares o rd en ad o s d e núm eros se les llam a con frecuencia puntos. L os núm eros a y b se llam an las co o rd e n a d a s d e l punto P.

U bicar el punto P que corresponde a (a, b) e n el plano x y se llam a d ib u jar o trazar el punto, y P se llam a la g ráfica (a, b).

E J E M P L O 1 Trazo d e p u n to s

T race los puntos (3, 5), (4, - 5 ) , ( - 3 , 4 ), ( - 2 , - 5 ) y (0, 2) e n el plano xy .

Solución E l punto (3, 5) está ubicado 3 unidades a la derecha del o rig e n y 5

unidades arriba del e je jc com o se m uestra en la figura P.2. E l punto (4, - 5 ) e stá ubi­ cado 4 unidades a la derecha del origen y 5 unidades debajo del e je x . E l punto ( - 3 , 4 ) está ubicado 3 unidades a la izquierda del o rig e n y 4 unidades arrib a del e je *. El punto ( - 2 , - 5 ) e stá ubicado 2 unidades a la izquierda del origen y 5 unidades debajo del e je *. E l punto (0 ,2 ) e stá sobre el e je y porque su prim era cooixlenada e s cero.

(19)

P . l El sis te m a c o o rd e n a d o cartesiano P - 3

O bserve q u e para los puntos del p rim er cuadrante, am b as coordenadas son posi­ tivas. E n el segundo cuadrante la prim era coordenada e s negativa y la segunda es positiva, m ientras q u e e n el terce r cuad ran te, am bas coordenadas son negativas. E n el cuarto cuadrante la prim era coordenada e s positiva y la segunda e s negativa.

El teorema de Pitágoras

E ncontrar la distancia entre d o s puntos e n el siste­ m a coordenado cartesiano usando e l teorem a de Pitágoras. Pero antes de hacer esto, se repasará. El teo rem a de Pitágoras proporciona una relación e n tre los cateto s y la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

El te o re m a de P itá g o ra s

E n un triángulo rectángulo la sum a de los cuadrados d e los catetos e s igual al cuadrado d e la hipotenusa.

<t + t>2 = ¿2

r

b

a

Si se c o n o cen las longitudes de cu alq u iera d e los d o s lados d e un triángulo rectán­ gulo, en to n ces se puede usar el teorem a d e P itágoras para d eterm in ar la longitud del tercer lado.

E J E M P L O 2 A p lic a c ió n el te o re m a d e P itá go ra s E ncuentre el lado desconocido d e c a d a triángulo.

S o lu c ió n

(a) L as longitudes d e c a d a uno d e los cateto s son iguales a 1 y no se co n o ce la hipo­ tenusa. U tilizar c2 = a2 + b 2 con a = 1 y b = 1:

c2 = l 2 + l2

c2 = 22 c 2 = ± V 2

(20)

P - 4 C A P ÍT U LO P Prerrequisitos algebraicos

(b)

La hipotenusa e s 2, un cateto es 1, y no se co n o ce el o tro cateto. U tilizar a2 + y'

b2 = c 2 con c = 2 y b = 1:

£XvyJ a 2 + l 2 = 22

/

A

a 2 = 3

l* -* l a = ± V 3

1 V __

n

, 1

X

c<x2,yt) ya q u e la longitud d e un cateto d e un triángulo e s positivo, a = V 3 .

Intente ahora el ejercicio 11. Figura P3

La fórm ula de distancia

C onsidere los puntos A ( x lf y i) y B(x2t y2) que se m uestran e n la figura P.3. S ea q u e d represente la longitud del segm ento d e recta AB.

A hora A B es la hipotenusa del triángulo rectángulo e n la figura P.3. L a distancia en tre A y C es \x 2 - x x | y la distancia e n tre B y C es \y 2 - y i \ . U sando el teorem a de P itágoras se obtiene

d 2 = \x2 - x , | 2 + |y 2 ~ y ¡ \

2-Los sím bolos de valor absoluto se pueden reem plazar por paréntesis, porque I a - b | 2 = (a - b f para cualesquiera núm eros reales a y b. D ebido a q u e la d ista n ­ cia e n tre dos puntos no e s negativa, se tiene la fórm ula siguiente.

La fó rm u la de d istan cia_____________________________

La d istan cia d entre los puntos (x {, yO y (x2> y 2) e stá d a d a por la fórm ula

d = V ( x 2 - x ,)2 + ( y 2 - y xf .

E J E M P L O 3 Aplicación d e la fó rm u la d e la distancia___________________________ Encuentre la distancia e n tre (5, - 3 ) y ( — 1, - 6 ) .

S olución S ea (x„ y ,) = (5, - 3 ) y (x2, y 2) = ( - 1 , - 6 ) . V ea la figura P.4. L a d is­ tancia e s la m ism a sin im portar cuál punto se d i j a com o (x ly y O o (x* y j . S e susti­ tuyen esto s valores e n la fórm ula d e distancia:

d = V ( - l - 5)2 + ( - 6 - ( - S ) ) 2 = V ( - 6 ) 2 + ( —3)2

= V 3 6 + 9 = V 4 5 = \ / 9 \ / 5 = 3 \ / 5

Fi«ure p-4 La d ista n d a exacta entre los puntos e s 3 V ó . O bserve q u e V 3 6 + 9 =£ V 3 6 + V 9 , pero V 9 ^ 5 = V 9 • V 5 .

Intente ahora el ejercicio 17.

(21)

P . l El sis te m a c o o rd e n a d o cartesiano P - 5

La fó rm u la del p u n to m e d io

El punto m edio d e l segm ento d e recta c o n ex trem o s (* i, y {) y (x2, y2) es

( x \ + x 2 y \ + y i \

E J E M P L O 4 A p lic a c ió n d e la fó rm u la d e l p u n to m e d io

D eterm ine e l punto m edio del segm ento d e recta c o n los extrem os dados.

(a) ( 1 , - 3 ) , ( 5 , 4 ) ( b ) ( f , o W , 0 )

S o lu c ió n

(a) P ara determ inar el punto m edio sum e las coordenadas y divida e n tre 2:

1 + 5 - 3 + 4

V 2 7 2

(b) P ara encontrar el punto m edio sum e las coordenadas y d iv id a en tre 2:

77 \ / 7T . 2-7T \ / 377

2 o + 0

Intente ahora el ejercicio 27.

El círculo

U n círcu lo es el conjunto d e to d o s los puntos que e stá n a una d istan ­ cia fija d e un punto dado e n el plano. L a distancia fija e s el ra d io y el punto dado es

el cen tro . L a fórm ula d e la distancia se puede usar para escribir una ecu ació n para

un círculo c o n centro (h> k) y radio r ( r > 0). U n punto (x, y) e stá sobre el círculo que se m uestra e n la figura P.6 si y sólo si satisface la ecuación

(22)

P - 6 C A P ÍT U LO p Prerrequisitos algebraicos

C on el uso d e la definición d e la raíz cuadrada, se puede escribir la siguiente ecuación:

Teorem a: ecu ación para un círculo

Figura P.7

La ecuación para un círcu lo c o n e l centro ( h ,k ) y radio r para r > 0 es

(x - h)2 + Cy - k)2 = r 2.

La form as (x - h)2 + (y - k)2 = r 2 e s la fo rm a e s tá n d a r para la ecuación d e un círculo. S i (h, k) e s ( 0 ,0 ) , en to n ces e l círculo tiene centro e n e l o rig e n y su ecuación es d e la form a x 2 + y 2 = r 2. S i r = 1 el círculo se llam a círculo u n itario .

E J E M P L O 5 Trazo d e u n círculo D ibuje la gráfica de c a d a círculo

(a) x 2 + y 2 = 1 (b) {x - \ ? + ( y + 2)2 = 9

S o lu c ió n

(a) El círculo tiene centro (0 ,0 ) y radio 1. Puede dibujar el círculo com o se m uestra en la figura P.7 con un com pás. P ara trazar el círculo a m ano ubique los puntos q ue está n a 1 unidad arriba, d eb ajo , a la derecha y a la izquierda del centro com o se m uestra e n la figura P .7, después dibuje e l círculo q u e pase por esto s puntos.

(b) Este círculo tiene centro e n (1, - 2 ) y radio 3. Dibuje el centro y los puntos que están 3 unidades amiba, debajo, a la izquierda y a la derecha del centro com o se m uestra en la figura P.8. Después dibuje el círculo que pasa a través de estos puntos.

F B Para apoyar las co n clu sio n es d e l inciso (b) con una calculadora graficadora pri­ mero debe resolver la ecu ació n para y:

(x - l)2 + ( y + 2)2 = 9

( y + 2 )2 = 9 - ( x - l ) 2 y + 2 = ± V 9 - (x - l ) 2

y = - 2 ± V 9 - ( x - l ) 2

A hora introduzca y¡ y y 2 com o se m uestra e n la figura P.9(a). E stab lezca la ven­ tana d e visión com o se m uestra e n la figura P.9(b). L a gráfica e n la figura P.9(c) sustenta las conclusiones previas. U n círculo parecerá redondo sólo si se usa la m ism a distancia unitaria para am b o s ejes.

Ploti PlotZ PlotS WINDQW

>.Vi B “2 + T ( 9 - ( X - l ) X r i i n =

~’2

X n a x = 4

\ V i

B " 2 - T < 9 - < X - O :=<scl=l

Y m in = "5

nYs = Y n a x = l

\ Yh = V s c l = l

nYs = X re s-= 1

- 2 ■

- 5

(a) (b)

Figura P.9

(c)

(23)

P .l El sis te m a c o o rd e n a d o cartesiano P - 7

E n el siguiente ejem plo se escrib e la ecu ació n para un círculo a p artir d e la d e s­ cripción del círculo.

E J E M P L O 6 Escritura d e la e c u a c ió n d e u n círculo

E scriba la ecuación norm al para un círculo c o n centro e n ( - 3 , 5) y q u e pase por el punto (4, 5) com o se m uestra la figura P.10.

Solución

Y a q u e la d istan cia e n tre e l centro ( - 3 , 5) y el punto (4, 5) e s d e 7 unidades, el radio del círculo e s 7. U se /i = - 3 , £ = 5 y r = 7 e n l a e c u a c ió n está n d ar para un círculo:

( x - ( ~ 3 ) ) 2 + ( y - 5)2 = 72 P or lo que la ecu ació n d e l círcu lo e s (x + 3)2 + (y — 5)2 = 49.

Intente ahora el ejercicio 37.

La recta

C ualquier círculo e n el plano coordenado e s el conjunto solución a una ecuación d e la form a (x - h)2 + (y - k f = r 2. A sim ism o, cualquier línea recta en el plano coordenado e s e l conjunto solución d e una ecuación de o tra forma.

Defin ición: ecu ación lineal con d o s v a ria b le s

(form a n orm al)__________________________________________

U na ecuación lin eal con dos variables x y y es un ecuación de la form a

A x + B y = C

d onde A , B y C son núm eros reales y tanto A com o B son diferentes d e cero.

La gráfica de cu alq u ier ecu ació n lineal e s una línea recta. U na ecu ació n lineal se puede escrib ir e n varias d ife ren tes form as. L a s ecuaciones

x = 5 - y, y = - x - 9 , x = 4 y y = 5

son todas ecuaciones lineales y a que se pueden escribir e n la form a A x + B y = C.

Sólo hay una recta que c o n tien e cualesquiera dos puntos diferentes e n el plano

xy. A sí para tra z a r una ecuación lineal se necesitan localizar sólo d o s puntos que satisfegan la ecuación y se dibuja una recta q u e pase a través de ellos. Pero ¿cuáles puntos se usan? Y a que todas las rectas se parecen, q u é d istin g u e una recta d e o tra en e sta posición. L a m ejor m anera para m ostrar la posición e s d eterm in ar los puntos donde la recta cru za los e je s x y y. E stos puntos son la intersección c o n e l e je x y la

intersección con el e je y.

E J E M P L O 7 Trazo d e rectas y m u e stra d e las in terse ccio n es G rafique ca d a ecuación. D eterm ine y m uestre las intersecciones.

(24)

P - 8 C A P ÍT U LO p Prerrequisitos algebraicos

Figura P.11

S o lu c ió n

(a) Puesto que la co o rd en ad a y de la intersección c o n el e je x es 0 , se sustituye y

igual a 0 e n la ecuación

2 x - 3(0) = 9

2 x = 9 9 * = 2

P ara en co n trar la intersección c o n el e je y, se sustituye x igual a 0 e n la ecuación 2 (0 ) - 3y = 9

- 3 y = 9

y = - 3

L a intersección c o n el e je x es (9 /2 ,0 ) y la intersección c o n el e je y e s (0, - 3 ) . Se ubican dichas intersecciones y se d ib u ja la recta com o se m uestra e n la figu­ ra P. 11. P ara co m p ro b ar, se ubica un punto tal com o (3, - 1 ) , q u e tam b ién satis­ faga la ecu ació n , y se ve si la recta pasa tra v és d e éste.

(b) S i x = 0 , en to n ces y = 4 0 - 0 = 4 0 y l a intersección c o n el e je y es (0 ,4 0 ). Si

y = 0, en to n ces 0 = 4 0 - * 0 * = 40. L a intersección c o n el e je d e las * es (40,

0). D ibuje una recta q u e pase a través d e esto s puntos com o se m uestra e n la figura P.12. C o m p ru eb e q u e (10, 30) y (20, 20) tam bién satisfacen la ecuación

y = 40 — x y que la recta pasa a través d e esto s puntos.

60

60

Figura P.13

Figura P.12

g ü L a calculadora g raficadora que se m uestra e n la figura P. 13 e s co n sisten te c o n la g rá ­ fica d e la figura P.12. O bserve q u e se ha establecido la ventana de visión d e m anera que m uestre las intersecciones.

Intente ahora el ejercicio 53.

E J E M P L O 8 Trazo d e rectas h o riz o n ta le s y verticales T race cada ecuación e n e l sistem a coordenado rectangular,

(25)

P .l El sis te m a c o o rd e n a d o cartesiano P - 9

Solución

(a) L a ecu ació n y = 3 e s eq u iv alen te a O - * + y = 3 . Y a q u e * está m ultiplicado por 0 , se puede ele g ir cualquier valor para * e n tanto se e lija 3 para y. P o r lo que los pares ordenados ta le s com o ( - 3 , 3), ( - 2 , 3) y (4, 3) satisfacen la ecuación

y = 3. L a gráfica d e y = 3 e s la recta horizontal q u e se m uestra en la figura P. 14.

y 5-( - 3 ,3 ) 4 ‘

y = 3

/ (4 .3 ) ( - 2 .3 ) 2 .

1

■ i i a i * 1 1 * 1 'v

! 1 I ! 1 - 5 - 4 - 3 - 2 -1 - 1

t 1 I ! 1 * 1 2 3 4 5 x

figura P.l 4

( b ) La ecu ació n * = 4 e s eq u iv alen te a * + 0 • y = 4. Y a q u e y está m ultiplicada por 0 , se puede ele g ir cu alq u ier valor para y en tanto se e lija 4 para *. A sí los pares ordenados (4, - 3 ) , (4 ,2 ) y (4, 5) satisfacen la ecu ació n x = 4. L a gráfica d e x = 4 es la recta vertical q u e se m uestra e n la figura P. 15.

y>

5 4 3

2 1

- x = 4

\

H---- 1--H

1 2 3

(4, 5)

(4, 2)

-1

-1-figura P.l 5

Intente ahora el ejercicio 65.

PARA P EN SA R

¿ F a ls o o v e r d a d e r o ? E x p liq u e

1. El punto (2, - 3 ) e stá e n el segundo cuadrante. 2 . El punto (4, 0) e stá en e l prim er cuadrante. 3 . La distancia e n tre (a , b) y (c, d ) es

V ( a - b)2 + (c - d ) 2.

4. La ecu ació n 3x* + y = 5 e s una ecu ació n lineal. 5 . La gráfica d e * = 5 e s una recta vertical.

6. V i 2 + 92 = 7 + 9.

7 . El o rig en e stá e n e l punto m edio en tre (1, 3) y ( - 1 , - 3 ) .

8 . La distancia e n tre (3, - 7 ) y (3, 3) e s 10.

9 . La intersección c o n e l e je x para la gráfica d e 3x -2y = 7 e s (7 /3 ,0 ).

(26)

P - 1 0 C A P ÍT U LO P Prerrequisitos a lge b ra ico s

Ejercicios P.1____________________________________________________

La figura para los ejercicios del 1 al 10 muestra 10 puntos en e l plano xy. Escriba el par ordenado correspondiente a cada punto e indique el cuadrante o el eje en el que se encuentra.

1. A 2. B 3. C 4 . D

5. E 6. F 7. G 8 . H

9. I 10. J

...AJ J 4 i

...w

*

...B,

; J

L. 0

f \ z

L. i ...4 H

1

C

T

» \ \ » - i - i

1 *> 1* -I ‘ ... 4 k...1

J ? , i £

F

▼* z

- 3 — 4

F

D é -^ J5

figura para lo s ejercidos del 1 al 10

Determine la longitud del lado o lados faltante(s) para cada triángulo rectángulo.

11

.

12

.

13. 14.

(27)

P .l El siste m a c o o rd e n a d o cartesiano P - 1 1

Determine la distancia para cada p a r de puntos y el punto medio del segmento de recta que los une.

17. (1 ,3 ), (4 ,7 ) 18. ( - 3 , - 2 ) , (9 ,3 ) 19. ( - 1 , - 2 ) , (1 ,0 ) 20. ( - 1 , 0 ) , (1 ,2 ) 21. (0 ,0 ), ( v S / 2 , V 2 / 2 ) 22. (0 ,0 ),

(V i,

l ) 23. ( V Í 8 , V l 2 ) ,

(Vi,

V 2 7 )

24. ( V 5 0 , V 2 0 ) , ( V 7 2 , V 4 5 )

25. (1 .2 ,4 .8 ), ( - 3 .8 , - 2 .2 ) 26. ( - 2 .3 ,1 .5 ) , (4.7, - 7 .5 ) 27. (ir, 0 ), ( i r / 2 , 1) 28. ( 0 ,0 ), ( * / 2 , 1)

29. <7r, 0), (2tr, 0) 30. (ir, 1), ( i r / 2 , 1)

D e te r m in e e l c e n tr o y e l r a d io d e c a d a c ír c u lo y d i b u je l a g rá fic a .

31. x 2 + y 2 = 16 32. x 2 + y 2 = 1

33. (x + 6 f + y 2 = 36 34. x 2 = 9 - ( y — 3)2 35. (x - 2 f = 8 - ( y + 2 f

36. (y + 2)2 = 20 - (x - 4)2

Escriba la ecuación estándar para cada círculo.

37. Centro en (0, 0) y radio V 7

38. Centro en (0, 0) y radio 2V 3

39. Centro en ( - 2 , 5) y radio 1/2 40. Centro en ( - 1 , - 6 ) y radio 1/3 41. Centro en (3, 5) y pasa por el origen 42. Centro en ( - 3 , 9) y pasa por el origen 43. Centro en (0, 0) y pasa por ( V 2 / 2 , V 2 / 2 ) 44. Centro en (0, 0) y pasa por ( V 3 / 2 , 1 ¡2 )

(28)

P - 1 2 C A P ÍT U LO P Prerrequisitos algebraicos

47. 48 .

Determine todos los números reales para los cuales el punto dado está en el círculo x 2 + y2 = 1.

49. ( a , 3 /5 ) 50. ( a , - 1 / 2 ) 51. ( - 2 / 5 , a) 52. ( 2 / 3 , a)

Dibuje la grájica de cada ecuación lineal. Asegúrese de determinar las intersecciones con el eje x y con el eje y.

53. y = 3x - 4 55. 3* - y = 6 57. * + y = 80 59. * = 3y - 90

61 •

\x ~\y =

600

63. 2 x + 4 y = 0.01

54. y = 5* — 5 56. 5* — 2y = 10 58. 2x + y = - 1 0 0 60. * = 80 — 2y

6 2 ‘

\ y ~ \ X =

400

64. 3x — 5y = 1.5

Trace cada ecuación en el sistem a coordenado rectangular.

65. x = 5 66. y = —2 67. y = 4 68. x = —3 69. x = - 4 70. y = 5

71. y - 1 = 0 72. 5 - * = 4

Grafique cada una de las siguientes ecuaciones en una calculadora graficadora. Elija una ventana de visión que muestre las intersecciones con el eje x y con el eje y, después dibuje la gráfica en un papel con los ejes x y y identificados adecuadamente.

73. y = a; — 20 75. 50Qr + y = 3000

74. y = 999x - 100 76. 20Qx - 300y = 1

Resuelva cada uno de los siguientes problemas.

77. Un triángulo rectángulo tiene catetos con longitudes de 6 y 8 pies, respectivamente. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa?

78. Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 10 pies. Si un cateto es de 4 pies entonces ¿cuál es la longitud del otro cateto?

79. Primer m atrim onio L a edad promedio para el primer matrimonio para las mujeres cambió de 20.8 en 1970 a 25.1 en el 2000, com o se m uestra la figura (Oficina de cen­ sos, www.census.gov).

(a) D eterm ine el punto m edio del segm ento d e recta e n la figura e interprete su resultado.

(29)

P . l El sis te m a c o o r d e n a d o cartesiano P - 1 3

Año

Figura para el ejercido 79

80. Parejas n o casadas El número de familias de parejas no casadas, u (en miles), se puede aproximar usando la ecuación

u = 171n + 2913,

donde n es el número de años desde 1990 (Oficina de censos, w w w .c e n s u s .g o v ).

(a) Determine e interprete la intersección con el eje n para la recta. ( b ) Determine e interprete la intersección con el eje u para la recta.

Figura para el e je rd d o 8 0

Para escritura y análisis

81. D eterm inación de puntos ¿Puede determinar dos puntos tales que sus coordenadas sean enteros y que la distancia entre ellos sea de 10? V TÓ? V^Í9? 1 Explique. 82. P unto m edio equidistante Un triángulo rectángulo tiene vértices (0, 0), (1, 0) y

( l , v 3). Determine el punto medio de la hipotenusa. Calcule la distancia del punto medio de la hipotenusa a cada vértice.

83. A prendizaje en grupo Trabajando en pequeños grupos, dibuje los puntos ( - 1 , 3 ) y (4, 1) en una hoja de papel para graficar, determine los otros dos vértices. A hora seleccione su propio par de vértices adyacentes y “complete el cuadrado”. Después, inicie con los puntos (*1, yi) y (x2, y2) com o vértices adyacentes de un cuadrado y

escriba las expresiones para las coordenadas de los otros dos vértices.

(30)

P - 1 4 C A P ÍT U LO P Prerrequisitos algebraicos

P.2 Funciones

E n la sección P. 1 se estudiaron y se trazaron pares ordenados. E n esta sección se c o n ­ tinúa estudiando a los co n ju n to s d e pares ord en ad o s, e n particular aquellos para los cuales la segunda coordenada se d eterm ina m ediante la prim era.

El concepto de función

Si usted gasta $ 10 e n gaso lin a, en to n ces el precio por galón determ ina el núm ero de galones que obtiene. E l núm ero d e horas q u e usted duerm e a n te s de una prueba podría tener influencia e n su resultado pero no d eterm i­ na su calificación e n la prueba. S i el valor d e una variable y se d eterm in a por el valor de o tra variable x , entonces y es u n a fu n c ió n d e *. La frase “e s una función d e ” sig­ nifica “e stá d eterm in ad a por”. S i h a y m á s d e un v a lo r p a r a y correspondiente a un valor d e x dado, entonces y no está determ inada p o r x y y no e s una fu n c ió n d e x.

E J E M P L O 1 A p licació n d e l c o n c e p to d e fu n c ió n

D ecida si a es una función d e b , si b es una función d e a , o ninguna de las dos. (a) S ea q u e a represente un entero positivo m enor d e 100 y b represente el núm e­

ro d e divisores d e a.

(b) S ea q u e a represente la edad d e los ciudadanos de Estados Unidos y h represen­ te el núm ero d e días d e sd e su nacim iento.

(c) S ea q u e a represente la e d a d d e los ciu d ad an o s d e E stad o s U nidos y b repre­ sente su ingreso anual.

(d) S ea q u e b represente cualquier núm ero real y a represente su cuadrado. So lu c ió n

(a) S e puede determ inar el núm ero d e divisores d e cu alq u ier entero positivo m enor de 100. P or lo q u e b es una función d e a. N o se puede d eterm in ar el entero conociendo el núm ero d e divisores, porque diferentes en tero s tienen el m ism o núm ero d e divisores. P or lo q u e a no e s una función d e b.

(b) El núm ero d e días desde que una persona nació efectivam ente determ ina por lo general, la e d a d d e la persona. P or lo q u e a es una función d e b. Sin em bargo, usted no puede determ inar el número d e días desde que una persona nació a par­ tir d e su edad. N ecesita m ás inform ación. P o r ejem plo, el núm ero d e días desde el nacim iento para dos niños de un año podrían ser d e 370 o 380 días. P o r lo que

b no e s una función d e a.

(c) No se puede determ inar e l ingreso a p artir de la e d a d o la e d a d a p artir del ingreso. S e necesitaría m ás inform ación. A ún pensando q u e la e d a d y el ingre­ so e stá n relacionados, la relación no e s lo suficientem ente fuerte para decir que una e s función d e la otra.

(d) Puesto q u e c a d a núm ero tiene un cuadrado único, el cuadrado e stá d eterm in a­ do por el núm ero. Por lo que a es una función d e b. N o se puede determ inar cuál e s el núm ero si conoce su cuadrado. Pbr ejem plo, si se sabe que el c u a ­ drado e s 4 , entonces el núm ero e s 2 o - 2 . P or lo q u e b no e s una función d e a.

Intente ahora el ejercicio 1.

Figure

Actualización...

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