Introd a limites

Texto completo

(1)

11.1

(2)

DEFINITION INFORMAL:

El límite de una función es el “valor esperada” de la función para un valor de x específico.

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

¿Cuál es el “valor esperado” de f(x) para x = a?

x = a y = L

El “valor esperado” de f(x) para x = a es L.

(3)

¿Cómo determinamos el “valor esperada” de la

función para un valor de x específico?

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

1. Por inspección determinamos

que el valor de y que corresponde a x = a es L.

x = a y = L

(4)

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

¿Cuál es el valor “esperado” de f(x) para x = 1?

𝑙𝑖𝑚

𝑥→1

𝑓(𝑥) =

5

(5)

DEFINICION:

A medida que x se acerca a a, el límite de f (x) es L,

si todos los valores de f (x) están cercanos a L para valores de x muy cercanos a, pero no iguales a a.

lim

xa f (x)  L,

(6)

¿Cómo determinamos el “valor esperado” de la función para un valor de x específico?

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

1. Por inspección determinamos que el valor de y que

corresponde a x = a es L. 2. Observamos los valores

correspondientes a los valores de x que están antes o después de x = a.

(7)

TEOREMA:

A medida que x se acerca a a, el límite de f (x) es L, si

• el límite por la izquierda existe • el límite por la derecha existe y • ambos límites son iguales a L.

Esto es, si

1)

2) entonces

lim

xaf (x)  L,

lim

xaf (x)  L,

lim

xa f (x)  L,

(8)

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

Práctica 1

Sea

a) ¿Cuánto es ?

b) ¿Cuál es el límite de a medida que se acerca a ?

2

9 ( )

3

x f x

x  

(3)

f

(9)

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

Práctica 1: Solución parte a

1.) Como , sustituiremos por , que nos da

la nueva ecuación

2.) Resolvemos ,

Por lo tanto, no existe.

2 9 ( ) 3 x f x x  

 2 x 3

3 9

(3) .

3 3

f  

(3)

f

2

3 9 9 9 0

(3) .

3 3 3 3 0

f     

(10)

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

Práctica 1: Solución parte b)

Primero se acerca a por la izquierda: (examinamos valores menores que 3)

Los valores de la tabla reflejan que es .

Luego dejamos que se acerque a por la derecha: (por valores mayores que 6).

Los valores de la tabla reflejan que es .

Por lo tanto, .

x 3

3

x 

( )

f x

2.5 2.9 2.99 2.999

5 5.5 5.9 5.99 5.999

3

lim ( )

x  f x

6

x 3

4 3

x  

( )

f x

3.5 3.1 3.01 3.001

7 6.5 6.1 6.01 6.001

3

lim ( )

x

f x

6

3

lim ( ) 6

xf x

2

¿ 𝑙𝑖𝑚𝑥→3 𝑥2−9

(11)

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

Observemos la gráfica de

2

9 ( )

3

x f x

x  

f(3) no existe, pero .

3

lim ( ) 6

(12)

Ejemplo 1:

Considere la función H dada por

Grafique la función, y determine cada límite, si existe.

a)

lim

x1 H(x) xlim3H(x)

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

(13)

a) Determinando el límite numéricamente

Primeramente, dejamos que x se acerque a 1 por la izquierda (o sea por valores menores que -1):

De la tabla observamos que

0 0.5 0.8 0.9 0.99 0.999

H(x) 

1 x

lim

x1 H(x)  4.

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

2 3 3.6 3.8 3.98 3.998

lim

x1 H(x)

(14)

a) Determinar el límite numéricamente (cont.)

Ahora, dejamos que x se acerque a 1 por la derecha (valores que son mayores que 1):

Observamos que, aparentemente,

2 1.8 1.1 1.01 1.001 1.0001

H(x) 

1 x

lim

x1 H(x)  2.

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

0 –0.4 –1.8 –1.98 –1.998 –1.9998

lim

x1 H(x)

(15)

a) Determinar el límite numéricamente (conclusión)

Como 1)

y

2)

Podemos concluir que , NO existe.

lim

x1 H(x)  4

lim

x1 H(x)  2

lim

x1 H(x)

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

lim

x1 H(x)

(16)

El Método de la “Pared” :

Si tenemos la gráfica de una función, una alternativa para determinar el límite es, dibujar una “pared” atravesando el valor donde

queremos determinar el límite.

Luego, seguimos la curva de izquierda a derecha hasta que

choquemos con la pared y escribimos una marca en ese lugar.(×)

Luego, seguimos la curva de derecha a izquierda, marcando

nuevamente la localización donde chocamos con la pared. (×) Si las localizaciones son iguales, tenemos el límite. De otro modo, el

límite NO existe.

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

(17)

NO existe.

b) Determinar gráficamente: si

lim

x1 H(x)

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

lim

x1 H(x)

lim

x1 H(x) 4

lim

(18)

b) Determinar el límite numéricamente

Primeramente, dejamos que x se acerque a –3 por la izquierda:

Observamos que, aparentemente,

–4 –3.5 –3.1 –3.01 –3.001

H(x) 

 3

x

lim

x3 H(x)  4.

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

–6 –5 –4.2 –4.02 –4.002

lim

x3H (x)

(19)

b) Determinar el límite numéricamente (cont.)

Luego, dejamos que x se acerque a –3 por la derecha:

Observamos que, aparentemente

–2 –2.5 –2.9 –2.99 –2.999

H(x) 

 3

x

lim

x3 H(x)  4.

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

–2 –3 –3.8 –3.98 –3.998

lim

x3H(x)

(20)

b)

Determinar el límite numéricamente

(conclusión)

Dado que 1)

y

2)

Concluímos que ,

lim

x3 H(x)  4

lim

x3 H(x)  4

lim

x3 H(x)  4.

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

lim

x3H(x)

(21)

Determinar gráficamente para

lim

x3H(x)  4

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

lim

x3H(x)

lim

x3 H(x) 4

lim

(22)

Ejemplo 2:

Considerar la función

f

dada por

Trace la gráfica de

f,

y use la gráfica para

determinar si los siguientes límites existen o no.

a)

limx3 f (x) lim

x2 f (x)

f (x)  1

x  2  3

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

(23)

a) Determinar el límite numéricamente:

Dejar que x se acerque a 3 por la izquierda y por la derecha:

Por lo tanto,

2.1 2.5 2.9 2.99

f (x) 

3 x

3.5 3.2 3.1 3.01

f (x) 

3 x

4.11 4.01

3.66 3.83 3.9090 3.9900

 lim

x3 f (x)  4

 lim

x3 f (x)  4

lim

x3 f (x)  4.

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

13 5

f(x) 1

x  2  3

lim

(24)

a) Determinar el límite gráficamente

Observe en la gráfica que: 1)

y

2)

Por lo tanto,

lim

x3 f (x)  4

lim

x3 f (x)  4

lim

(25)

Dada determinar

b) Determinar el límite numéricamente

Dejar que x se acerque a 2 por la derecha y la izquierda:

Por lo tanto, no existe.

1.5 1.9 1.99 1.999

f (x) 

 2 x

2.5 2.1 2.01 2.001

f (x) 

2 x

lim

x2 f (x)

 lim

x2 f (x)  

 lim

x2 f (x)  

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

1 –7 –97 –997

5 13 103 1003

f(x)  1

(26)

b)

Determinar el límite graficamente

Se observa en la gráfica que

1)

2)

Por lo tanto,

no existe.

lim

x2 f (x)  

lim

x2 f (x)

lim

x2 f (x)  

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

(27)

Ejemplo 3:

Considerar, nuevamente, la función

f

dada por

Determinar

lim

x f (x).

f (x)  1

x  2  3

(28)

Determinar el límite numéricamente

Note que acercarse a

∞ implica asignarle a x valores cada vez mayores

:

Por lo tanto,

5 10 100 1000

f (x)

  x

3.3

lim

x f (x)  3.

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

3.125 3.0102 3.001

f(x)  1

x  2  3 limx f (x).

(29)

Determinar el límite graficamente

Se observa en la gráfica que

si x asume valores que son cada vez mayores,

la gráfica se queda alrededor

de y = 3

Por lo tanto,

lim

(30)

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

Prácticas Adicionales

Calcule los siguientes límites basado en la gráfica de

a.)

b.)

c.)

.

f

2

lim ( )

x

f x

2

lim ( )

x

f x

2

lim ( )

(31)

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

Práctica 2 Solución

2

lim ( )

x f x   x 2

lim ( )

x

f x

2

lim ( ) 3

xf x

2

lim ( ) 3

x

f x

 

2

lim ( ) 3

x

f x

 

a.) : Observando la gráfica, a medida que se acerca a 2 por la

izquierda,

b.) : Observando la gráfica observamos que a medida que x se

acerca a 2 por la derecha , .

(32)

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

Práctica 3

Sea Determine los siguientes límites

numéricamente. Luego verifique, gráficamente:

a.)

b.)

c.)

1

( ) 6. 1

h x

x

 

lim ( )

xh x

1

lim ( )

xh x

2

lim ( )

(33)

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

Práctica 3 Solución

a.) : Deteminar los límites por la izquierda y por la derecha en x = 1:

Límite por la izquierda

Como the Left-Hand Limit por la izquierda se va para goes to y el límite por la derecha se va para , el NO existe.

1

lim ( )

xh x

1

1

x   h x( )

0 0.5 0.9 0.99 0.999 ( ) h x 7 8 16 106 1006 1

x  

2 1.5 1.1 1.01 1.001 5 4 4  94  994   

Límite por la dercha

1

lim ( )

(34)

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

Práctica 3 Solución (cont.)

b.) : Deteminar los límites por la izquierda y por la derecha en x = 2:

.

Límite por la izquierda

Como ambos límites son iguales, tenemos que

2

lim ( )

xh x

2

x   h x( ) 1.1 1.5 1.9 1.99 1.999 4  4 4.8 4.98 4.998 2

x   h x( )

3 2.5 2.1 2.01 2.001 5.5 5.3 5.09 5.0099 5.000999 2

lim ( ) 5.

xh x

(35)

Limites:

Un enfoque numérico y gráfico

Práctica 3 Solución (conclusión)

c.) : Determinar el límite a medida que x se acerca a (se hace más grande.) :

Como ambos límites son iguales, tenemos que lim ( )

xh x

x  h x( )

5

10

100

1000

5.75

5.8

5.98

5.998

lim ( ) 6.

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