a a A a a a a donde i representa las filas, y j representa las columnas

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(1)

1 Matrices

Definición de matrices:

Una matriz es un conjunto de elementos matematicos ordenado en una estructura rectangular de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, trabajaremos con números reales.

CARACTERISTICAS DE LAS MATRICEZ  Normalmente las matrices son

designadas por letras mayúsculas (A, B, C).

 Los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan asi: ,a donde “a” es la letra 32 minuscula del nombre de la matriz A. y se indica que la posicion es fila 3 columna 2. De manera general se expresa que un elemento de la matriz A es aij donde “i” representa las filas, y “j” representa las columnas

 El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama dimensión de la matriz. En el caso siguiente la dimension es 3x2, que indica 3 filas por 2 columnas 11 12 3 2 21 22 31 32 X a a A a a a a          

En el caso de cuadradas por ejemplo de 4x4 se dice que son de orden 4, 5x5 seria de orden 5.

 El numero de elementos de una matriz se obtiene de multplicar el numero de filas por el numero de columnas por ejemplo: 2x5 tiene 10 elementos, 2x2 tiene 4 elementos, 5x5 tiene 25 elementos.

Ejemplos varias de matrices

USOS DE LAS MATRICES

 Se usan en software para poder hacer peliculas digitales en tres dimensiones (PIXAR).

 Se usa para efectos especiales mediante computadoras.

 Se usa en google para hacer busquedas avanzadas.  Software de simulaciones de

negocios y produccion.

 Es la base de la logica de Excel

B= 3 4 5 6 3 4 5 6 2x4 2 filas y 4 columnas 8 elementos C= 3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 5 6 3x4 3 filas y 4 columnas 12 elementos D= 3 4 5 3 4 5 3 4 5 3x3 3 filas y 3 columnas orden 3 9 elementos

(2)

UBICACIÓN DE ELEMENTOS DE UNA MATRIZ Tenemos esto 11 12 3 2 21 22 31 32 X a a A a a a a           

Y tenemos este ejemplo

3 2 3 4 5 6 7 8 X A             Cual es el elementoa22? El 6  Cual es el elementoa32? El 8 ZONAS DE UNA MATRIZ

 Diagonal principal Los elementos aij cumplen i=j

11 22 33 a a a          

 Elementos arriba de la diagonal principal

Los elementos aij cumplen j>i (se puede decir que mandan las “j” que es el segundo número del subíndice)

12 13 23 a a a          

 Elementos abajo de la diagonal principal

Los elementos aij cumplen i>j (se puede decir que mandan las “i” que es el primer número del subíndice)

21 31 32 a a a          

IGUALDAD DE LAS MATRICEZ

Dos matrices son iguales si se cumple lo siguiente:

 Tienen el mismo número de filas y columnas (o sea tienen la misma dimensión o el mismo orden en el caso de cuadradas)

 Cada elemento en la misma posición es igual al elemento de la otra matriz en la misma posición

Estas dos matrices son iguales porque se cumple:

(3)

3  Todos sus elementos son iguales en

las mismas posiciones

13 13 4 4 7 7 29 29 15 15 37 37      

Nota: SI algún elemento no hubiera sido igual entonces las matrices no hubieran sido iguales

Estas dos matrices no son iguales por el elemento a32b32o 205

TIPO DE MATRICEZ

MATRIZ FILA O RENGLON: Una matriz fila está constituida por una sola fila.

MATRIZ COLUMNA: La matriz columna tiene una sola columna.

MATRIZ RECTANGULAR: Es cualquier tipo de matriz cuya dimensión es nxm.

MATRIZ CUADRADA

La matriz cuadrada es una matriz rectangular que tiene el mismo número de filas que de columnas y es de dimensión mxm o nxn.

 Si se tiene una matriz de 2x2 se dice que es de orden 2 y tienen 4

elementos

 Si es de 3x3 es de orden 3 con 9 elementos

 Una matriz de 5x5 tiene 25 elementos, que resultan de multiplicar 5 por 5

 Una matriz de 4x4 tiene 16

elementos que resulta de multiplicar 4 por 4.

MATRIZ NULA (O MATRIZ CERO) : En una matriz nula todos los elementos son ceros.

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros y cumple las siguientes condiciones:

 Es una matriz cuadrada (nxn)  a ij 0 si i>j

 El nombre de triangular superior es por el triangulo que no debe ser cero. Eso significa que el triangulo inferior son ceros

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros que cumple las siguientes condiciones:

 Es una matriz cuadrada (nxn)  a ij 0 si j>i

(4)

 El nombre de triangular inferior es por el triángulo que no debe ser cero. Eso significa que el triángulo superior son ceros

MATRIZ DIAGONAL: En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal

principal son nulos que cumple las siguientes condiciones.

 Es una matriz cuadrada  a ij 0 si j>i

a ij 0 si i>j

MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD (I): Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Se representa con la letra i mayúscula.

 Es una matriz cuadrada

a ij 1 si i=j (diagonal principal)  a ij 0 si i ( j<>i) j

MATRIZ ESCALAR: Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales y diferentes de cero

 Matriz cuadrada

aijcte si i=j (diagonal principal)  a ij 0 si i j<>i j

 Se puede decir que la matriz escalar es la matriz identidad multiplicada por un numero diferente de 1

MATRIZ TRASPUESTA: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando

ordenadamente las filas por las columnas. Por ejemplo La Fila 1 se convierte en columna 1 y la Columna 2 se convierte en la fila 2

MATRICES ESCALONADA POR FILAS: Una matriz es escalonada si al principio de cada fila (o columna) un elemento nulo más que en la fila (o columna) anterior.

A continuación una matriz escalonada por filas

Esta es una matriz escalonada por columnas

(5)

5 MATRIZ SIMÉTRICA: Se dice que una

matriz real es simétrica, si se cumple  Cuadrada

 Que para cada elemento aijaji , o sea que significa que para cada elemento arriba de la diagonal existe un gemelo debajo de la diagonal que cumple

 Que la matriz traspuesta es igual a la misma matriz T

AA

En este caso a21a12  3

MATRIZ EXTENDIDA: Es una matriz compuesta de dos o más matrices con la condición que tengan el mismo número de filas.

Ejemplo:

CONSTRUCCIÓN DE MATRICES:

Construya la matriz que cumpla las siguientes condiciones

 Dimensión de 3x4  aij 3i5j para i<j  aij 2i7j para i=j  aij 8i2j para i>j

Paso 1: determinar la dimensión Es una matriz de 3 filas y 4 columnas

Paso 2: Determine para que zonas aplican cada formula

aij 3i5j para i<j: arriba de diagonal principal (manda la j)  aij 2i7j para i=j: diagonal

principal

aij 8i2j para i>j: debajo de diagonal principal (manda la i) Paso 3:

Metodo 1: Elaborar una cuadricula

Ponemos las formulas dejando los paréntesis para poder coloar las i y las “j” 2() 7() 3() 5() 3() 5() 3() 5() 8() 2() 2() 7() 3() 5() 3() 5() 8() 2() 8() 2() 2() 7() 3() 5()                   (A|B)= 1 2 5 6 3 4 7 8 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4

1 diagonal manda j manda j manda j

2 manda i diagonal manda j manda j

(6)

Sustituyo las i 2(1) 7() 3(1) 5() 3(1) 5() 3(1) 5() 8(2) 2() 2(2) 7() 3(2) 5() 3(2) 5() 8(3) 2() 8(3) 2() 2(3) 7() 3(3) 5()                   Sustituyo las j 2(1) 7(1) 3(1) 5(2) 3(1) 5(3) 3(1) 5(4) 8(2) 2(1) 2(2) 7(2) 3(2) 5(3) 3(2) 5(4) 8(3) 2(1) 8(3) 2(2) 2(3) 7(3) 3(3) 5(4)                   Calculo todo

Opción 2: Elabore tabla de valores para aplicar la formulas:

El resultado debería de ser:

Finalmente 1 2 3 4 1 9 13 18 23 i= 2 18 18 21 26 3 26 28 27 29 j= 1 2 3 4 1 2 3

Columna 1 Columna 2 Columna 3 Columna 4

i j formula aij 1 1 2i+7j 9 2 1 8i+2j 18 3 1 8i+2j 26 1 2 3i+5j 13 2 2 2i+7j 18 3 2 8i+2j 28 1 3 3i+5j 18 2 3 3i+5j 21 3 3 2i+7j 27 1 4 3i+5j 23 2 4 3i+5j 26 3 4 3i+5j 29 1 2 3 4 1 9 13 18 23 2 18 18 21 26 3 26 28 27 29

(7)

7

(8)

(

;

)

0

ij ij ij

a

i

j

i

j i

j

a

a

i

j

 



 

(9)
(10)

OPERACIONES CON MATRICES

SUMA DE MATRICES:

Dos matrices se pueden sumar si:

 Tienen el mismo tamaño o dimensión

Para sumar dos matrices se suman los elementos en la misma posición de tal manera que:

Al sumar las matrices A+B = C se suman todos los elementos en la misma posición

ij ij ij

abc Por ejemplo

32 32 32

abc

La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

Los cálculos serían los siguientes:

Ejemplo 2

RESTA DE MATRICES

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES

Propiedad Interna:

A + B = C al sumar dos matrices se obtiene otra matriz.

Conmutativa:

A + B = B + A. Se cumple que no importa el orden de la suma de matrices A+B o B+A se lograra el mismo resultado

Propiedad Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

No importa el orden en que se sumen o asocien, el resultado será el mismo

Elemento neutro: A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A, se cumple que al sumar la matriz con la matriz 0 se obtendrá la misma matriz.

Elemento opuesto: A + (−A) = 0

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo. Y se cumple que al sumar una matriz con la matriz opuesta el resultado será la matriz 0

+

=

2

8

100 400

102 408

4 10 +

200 500 =

204 510

6 12

300 600

306 612

A

B

C

2+100=102

8+400=408

4+200=204

10+500=510

6+300=306

12+600=612

3

4

11 13

-8 -9

1

2

- 22 14 =

-21 -12

5

6

31 65

-26 -59

3-11=-8

4-13=-9

1-22=-21

2-14=-12

5-31=-26

6-65=-59

(11)

11 PRODUCTO ESCALAR

Es la multiplicación de una constante por una matriz y se expresa así cte*A y el resultado se obtiene de dos maneras.

1) Se multiplica la constante por cada uno de los elementos

2) Se suma el número de veces que indica la constante

Recordemos que 2x4 significa sumar dos veces 4, y por tanto 2A significa sumar dos veces A.

PROPIEDADES DE LA

MULTIPLICACION POR UN ESCALAR Propiedad Asociativa

 a · (b · A ) = (a · b) · A A Mm x n, a, b

Indica que no importa el orden en que se multipliquen dos constantes con la matriz el resultado será el mismo.

2*3*A=6*A = 2(3A)

Propiedad Distributiva de la multiplicación de una constante con la suma de dos matrices

 a · (A + B) = a · A + a · B A,B Mm x n , a

3(A+B) = (A+B)+(A+B)+(A+B) = 3A+3B

Si una constante se multiplica por la suma de dos matrices, el resultado será el m ismo que multiplicar

primero la constante por cada matriz y luego sumarla.

Propiedad distributiva de la suma de dos constantes por la

multiplicación de una matriz  (a + b) · A = a · A + b · A A Mm x n , a, b

(2+3)A = 2A+3A

Si se multiplica la suma de dos constantes por una matriz dará el mismo resultado que multiplicar la matriz por cada constante y luego sumarla.

PRODUCTO DE MATRICES

Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

El método más sencillo para multiplicar es el siguiente:

Dadas las dos matrices siguientes revisamos si son multiplicables o conformables según el lenguaje

=

+

3

4

3

4

3

4

2 1

2 =

1

2 +

1

2

5

6

5

6

5

6

2A

A

A

2(3)=3+3=6

2(4)=4+4=8

2(1)=1+1=2

2(2)=2+2=4

2(5)=5+5=10

2(6)=6+6=12

(12)

matematico

Si se pueden multiplicar porque el número de columnas del primero son iguales al número de filas del segundo.

Primero paso es ponerlas como la siguiente tabla

Segundo paso es indicar las sumas de las filas

El tercer paso es llenar los paréntesis con los datos de las columnas.

Y el último es que calculamos

Otra forma de verlo es que multiplicamos el primer elemento de la fila con el primer elemento de la columna y lo sumamos con el segundo elemento de la fila multiplicado por el segundo elemento de la columna así:

2*3+7*6 = 6+42 = 48

Ejemplo 2:

Multiplicaremos elementos aislados de dos matrices:

Debemos relacionar la fila de la primera matriz con la columna de la segunda matriz

Y multiplicamos el primer elemento de la fila de la primera matriz con el primero de la columna de la segunda matriz sumamos esta multiplicación con los segundos elementos y con los terceros elmentos

3(21)+4(22)+4(24) = 247 Aquí tenemos otro ejemplo.

AxB 3 3 5 2 6 5 8 5 2 7 3 4 4 3 48 41 66 39 33 29 47 26 30 27 44 23

(13)

13 3(11)+4(12)+4(13)=133

Ejemplo directo

Igual que en el método anterior las filas de la primera matriz se multiplican con las columnas de la segunda matriz.

Ejemplo 3

Operamos las filas

Operamos con las columnas  Primer elemento de f ila con

primer elemento de columna

El resultado final es de

Que tiene 3 filas como la primera matriz y dos colum nas como la segunda matriz

Ejemplo de una matriz columna por una matriz fila:

Ejemplo con una m atriz fila

multiplicada por una matriz columna

POTENCI A DE M ATRICES

Recordamos que la potencia es una multiplicación simplificada de tal manera que: 2 3  3 3

2

7

7

11

21

3

4

4

x

12

22

4

3

3

13

24

3x2

3x3

2( )+7( )+7( ) 2( )+7( )+7( ) = 3( )+4( )+4( ) 3( )+4( )+4( ) 4( )+3( )+3( ) 4( )+3( )+3( ) 2(11)+7(12)+7(13) 2(21)+7(22)+7(24) = 3(11)+4(12)+4(13) 3(21)+4(22)+4(24) 4(11)+3(12)+3(13) 4(21)+3(22)+3(24) 197 364 = 133 247 119 222

1

2

3

10

40

4

5

6

x

20

50

7

8

9

30

60

3x3

3x2

1( )+2( )+3( ) 1( )+2( )+3( ) = 4( )+5( )+6( ) 4( )+5( )+6( ) 7( )+8( )+9( ) 7( )+8( )+9( ) 1(10)+2(20)+3(30) 1(40)+2(50)+3(60) = 4(10)+5(20)+6(30) 4(40)+5(50)+6(60) 7(10)+8(20)+9(30) 7(40)+8(50)+9(60)

74

137

=

182

338

290

539

AxB 2 7 7 2 2*(2) 2*(7) 2*(7) 3 3*(2) 3*(7) 3*(7) 4 4*(2) 4*(7) 4*(7) 4 14 14 AxB= 6 21 21 8 28 28 2 AxB 3 4 2 7 7 2(2)+7(3)+7(4) AxB= 53

(14)

3

3   3 3 3

En una matriz nos quedaría 2

A   A A

Jamás será correcto lo siguiente:

No se pueden aplicar el exponente a cada uno de los elementos de la matriz, eso es incorrecto.

Lo correcto es esto

MULTIPLICABILIDAD DE MATRICES: Dos matrices se pueden multiplicar si el número de las filas de la primera matriz es igual al de las columnas de la segunda matriz

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES (APLICAN A MATRICES CUADRADAS)

No es Conmutativa: A · B ≠ B · A

En general es cierto excepto casos especiales

Asociativa:

A · (B · C) = (A · B) · C

No importa el orden en que se multipliquen siempre que se respete el orden en que están escritas las matrices, por eso no se puede multiplicar A*C ni C*B

Elemento neutro: A · I = A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

Distributiva del producto respecto de la suma:

A · (B + C) = A · B + A · C

OPERACIÓN TRASPUESTA

Dada una matriz A a la cual aplicamos la operación de traspuesta, que denotamos

T

A

Diremos que BAT si B es la matriz traspuesta de A PROPIEDADES DE LA TRASPUESTA DE UNA MATRIZ http://www.vitutor.com/algebra/matrices/op eraciones.html 2 5 no igual a 25 3 5 9 4 25 2 2 5 = 5 x 5 3 3 3 = 31 20 30 31 5 2 5 2 5 2

(15)

15 EJEMPLOS DE OPERACIONES

COMBINADAS CON MATRICES

Ejemplo 1

Operación 3A-2B+C*D

Operamos primeros las constantes 3A

Para evitar errores el -2 lo convertimos en +(-2) = -2 = -(-(-2)) = -2

Da lo mismo tener: 3A-2B que tener: 3A+(-2)B

que tener: 3A-(-(-2))B

3A+(-2)B+C*D

Operamos -2B

Al unir los resultados anteriores nos queda:

Y operamos C*D

Y el resultado seria

Uniendo todo nos queda

Matriz Final

EJERCICIO 2

Dadas las matrices

Operar

3(2

A

3 )

B C

t

Convertimos la resta en suma

3 2

A

 

( 3)

B C

t 3 1 2 -2 6 7 + 10 11 * 20 21 3 4 8 9 12 14 22 23 A B C D

3

1

2 =

3(1)

3(2)

=

3

6

3

4

3(3)

3(4)

9 12

A

3 1 2 +(-2) 6 7 + 10 11 * 20 21 3 4 8 9 12 14 22 23 A B C D -2 6 7 = -2(6) -2(7) = -12 -14 8 9 -2(8) -2(9) -16 -18 B + + x 3 6 + -12 -14 + 10 11 x 20 21 9 12 -16 -18 12 14 22 23 C D 3A -2B 20 21 22 23 10 11 10(20)+11(22) 10(21)+11(23) 12 14 12(20)+14(22) 12(21)+14(23) CxD

10 11 *

20 21 =

442

12 14

22 23

548

463

574

CxD

C

D

+

+

3

6 +

-12 -14 +

442

9 12

-16 -18

548

3A

-2B

463

574

CxD

3+-12+442=433

6+-14+463=455

9+-16+548=541

12+-18+574=568

433

541

455

568

A= 1 3 B= 6 8 C= 10 11 2 4 7 9 12 14

2A =

2 1

3

=

2

6

2

4

4

8

-3B =

-3 6

8

=

-18 -24

7

9

-21 -27

t

t

c =

10

11

= 10 12

12

14

11 14

(16)

Unimos todo

3 2

A

 

( 3)

B C

t

=

Ejercicio 3 dadas las matrices

Convertimos la resta en suma

Nota: 3*A*B no es igual a 3*A*3*B porque no existe ninguna propiedad distributivas de la multiplicación respecto a la multiplicación.

Nota: cuando hay varias multiplicaciones que no se pueden hacer de un solo se hacen de dos en dos:

[2A+(-3)B] = 2 6 + -18 -24 = -16 -18 4 8 -21 -27 -17 -19

3 -16 -18 *

10

12

-17 -19

11

14

3 -16 -18

=

-48 -54

-17 -19

-51 -57

10 12 11 14 * -48 -54 -48(10)+-54(11) -48(12)+-54(14) -51 -57 -51(10)+-57(11) -51(12)+-57(14)

-1332

-1410

-1074

-1137

A= 1 3 B= 6 8 C= 10 11 2 4 7 9 12 14

t

t

(5A-7B)*C

=

[5A+(-7)B ]

*C

5A =

5 1

3

=

5 15

2

4

10 20

-7B =

-7 6

8

= -42 -56

7

9

-49 -63

[5A+(-7)B] = 5 15 + -42 -56 = -37 -41 10 20 -49 -63 -39 -43

t

t

[5A+(-7)B] = -37 -41 = -37 -39

-39 -43

-41 -43

t

[5A+(-7)B ]

*C

-37 -39 * 10 11

-41 -43

12 14

10 11 12 14 * -37 -39 -37(10)+-39(12) -37(11)+-39(14) -41 -43 -41(10)+-43(12) -41(11)+-43(14) -838 -953 -926 -1053

(17)

17

TAREA 3: P2: NOMBRE ____________________________ CUENTA_______________

2A+(-1/2)(B-C) 2A+(1/2)(C-B)

e) 2 2

2 ( 2)

(18)
(19)
(20)

ECUACIONES MATRICIALES:

IGUALDAD DE MATRICES: dos matrices A y B son iguales si se cumple:

a) Ambas matrices tienen la misma dimensión o tamaño,

b) Los elementos de A y B en la misma posición son iguales:

Ejemplo matrices iguales

Ejemplo matrices diferentes

En este caso caso porque un elemento en la posición 11 o sea 0 no es igual al de la otra matriz o sea 3.

En este caso porque ambas matrices son de diferentes tamaños

EJEMPLO 1:

Determinar el valor de las variables que hagan que ambas matrices sean

iguales:

En este caso simplemente igualamos elemento con elemento:

X=1 Y=2

Z=3 W=4

EJEMPLO 2:

Determinar el valor de las variables que hagan que ambas matrices sean

iguales:

Paso 1: Operamos el 3 que multiplica la primera matriz.

Paso 2: Sumamos las matrices.

Nota: evitar el error de pensar que

3x+1=4x, lo podemos verificar si decimos X= 2 entonces decimos 3(2) = 4(2) y nos queda 6 = 8 lo cual es un error.

Paso 3: Igualamos término a término:

Paso4: Despejamos el valor de la variable de cada ecuación

X=6/3 Y=7/3

Z=8/3 W=8/3

EJEMPLO 2:

Convertimos la resta en suma

Operamos las constantes

Realizamos la suma

Igualamos término a término

3 9 = 3 9 7 8 7 8 0 9

=

3 9 7 8 7 8 0 9

=

3 9 1 2 7 8 7 8 x y = 1 2 z w 3 4 3x+1 3y+2 = 7 9 3z+3 3w+4 11 12 3x+1=7 3y+2=9 3z+3=11 3w+4=12

5 x

2

-2 5

w

=

10 11

3

y

z

3

12 14

5 x 2 + (-2) 5 w = 10 11 3 y z 3 12 14 5x 10 + -10 -2w = 10 11 15 5y -2z -6 12 14 5x-10 10 -2w = 10 11 15 -2z 5y-6 12 14

(21)

21 Despejamos

La respuesta es:

X=4; w=-1/2; z=3/2; y=4

Verificamos

Sustituimos el valor de las variables en la original:

Operamos

Como nos queda igual en ambos lados entonces significa que esta correcta el valor de las variables:

EJEMPLO 3

Método de solución directa:

8x-4(3)=5 8x=5+4(3) 8x=5+12 x=17/8 8y - 4(7) = 9 8y - 28=9 8y = 9+28 8y = 37 y = 37/8 8(2x)-4(w) = 6 16x-4w = 6 16(17/8)-4w = 6 34-4w = 6 -4w = 6-34 -4w = -28 w = -28/(-4) = 7 8(3y)-4(z)=7 24y-4z = 7 24(37/8) -4z = 7 111-4z= 7 -4z= 7-111 z=(-104)/(-4) z=26 Solución: X = 17/8; y = 37/8; z = 26; w = 7

5x-10=10

10 -2w=11

15 -2z=12

5y-6=14

5x-10=10

10 -2w=11

5x=20

-2w= 11-10

x=4

-2W=1

w=1/(-2)

w=-1/2

15 -2z=12

5y-6=14

-2Z=12-15

5y=14+6

-2z= -3

y=20/5

z = -3/(-2) = 3/2

y=4

5 x

2

-2 5

w

=

10 11

3

y

z

3

12 14

5 (4) 2 -2 5 (-1/2) = 10 11 3 (4) (3/2) 3 12 14 20 10 + -10 1 = 10 11 15 20 -3 -6 12 14 10 11 = 10 11 12 14 12 14 8 x 2x -4 3 w = 5 6 3y y z 7 7 9

8(x)-4(3)=(5)

8(2x)-4(w)=(6)

8(3y)-4(z)=(7)

8(y)-4(7)=(9)

(22)

EJEMPLO 4 3(R)-7(3) = 10 3(6R)-7(M) = 50 3(3T)-7(Z) = 70 3(T)-7(7) = 80 3(R)-7(3) = 10 3(R) = 10+7(3) 3R=31 R=31/3 3(6R)-7(M) = 50 18R-7M = 50 Sustituimos la R 18(31/3)-7M = 50 186-7M=50 -7M=50-186 -7M=-136 M=-136/(-7) M=136/7 3(T)-7(7) = 80 3(T)-49 = 80 3(T) = 80+49 3(T) = 129 T=129/3 = 43 9T-7Z = 70 Sustituimos T 9(43)-7Z = 70 387-7Z=70 -7Z=70-387 -7Z=-317 Z=-317/(-7) Z=317/7 Solución R=31/3; M=136/7; T= 43; Z=317/7

Para verificar sustituimos

3 R 6R -7 3 M = 10 50

3T T Z 7 70 80

3 R 6R -7 3 M = 10 50

(23)

23

TAREA 4: P2: NOMBRE ____________________________ CUENTA _______________ Determine las variables que establecen la igualdad

(24)
(25)
(26)
(27)
(28)

OPERACIONES ELEMENTALES POR FILA EN MATRICES:

1) ESCALAR POR FILA (RENGLON): consiste en Multiplicar (o dividir) una Fila por un número diferente de cero.

cRi→ quiere decir “reemplaza el renglón i por esa misma Fila multiplicado por c”. EJEMPLO

2) SUMA DE FILAS: consiste en sumar o restar dos filas y colocar el resultado en una de ellas.

bRj + cRi → Rj Significa que la fila j que esta mulitplicada por b se suma a la fila i que esta multiplicada por c y se almacena todo en la fila j

.

Ejemplo:3R12R2R1

3) INTERCAMBIO DE FILAS: consiste en intercambiar dos filas entre si.

Ri ⇄ Rj quiere decir que la fila “i” se almacenara en la fila “j”

Ejemplo: R1R2

MATRIZ EQUIVALENTE

Dos matrices A y B son equivalentes si de la Matriz A se puede llegar a la Matriz B usando operaciones de fila (renglón). Lo contrario también es válido, de la fila B se puede llegar a la matriz A utilizando operaciones fila(renglón).

Nota: esto es importante al resolver sistemas de ecuaciones por el método de matrices.

Por ejemplo dado el sistema de ecuaciones siguiente;

Que como matriz se resuelve con la matriz extendida:

Buscamos ponerlo de la forma

Y como matriz de la forma

Donde las interrogantes son los valores de las variables.

MATRIZ ESCALONADA.

Se dice que una matriz esta escalonada si se cumple que:

1. Todas las filas de ceros están abajo 2. Cada numero pivote de la fila esta a la derecha de los numero pivotes de las filas superiores

MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA: es una matriz escalonada que además de cumplir las condiciones de la matriz escalonada cumple la condición que arriba y abajo del primer elemento que no es cero de la fila solo hay ceros

Operación: Escalar por fila

R1= 5 6 3R1 15 18

R2= 7 8 R2 7 8

Operación: Suma de dos filas

R1= 5 6 29 34

R2= 7 8 R2 7 8

3R1+2R2

Operación: Intercambio de Filas

R1= 5 6 7 8 R2= 7 8 5 6 R2 R1 3 X +4 Y = 11 5 X +9 Y = 13 3 4 11 5 9 13 1 X +0 Y = ? 0 X +1 Y = ? 1 0 ? 0 1 ?

(29)

29 MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA

CANONICA.

Una forma canónica reducida por filas es una matriz R ∈ M m×n con las siguientes características:

1. El primer elemento no nulo de cada fila es 1.

2. El elemento principal de cada fila aparece siempre en columnas posteriores al elemento principal de la fila anterior. 3. Encima y debajo de los elementos principales de cada una de las filas solo hay ceros. Ejemplos:

1 0 3 0

0 1 3 0

(30)

REDUCCION DE MATRICEZ

Es el proceso de obtener una matriz equivalente con la mayor cantidad de ceros posibles. Para lo cual se eligen celdas pivote donde arriba y abajo quedaran ceros, y solo debe haber una celda pivote en cada columna.

En este caso elegimos estas celdas pivote para la reducción

OPCION 1: REDUCCION DIRECTA

Con el fin de demostrar que la reducción no requiere que sea escalonada se eligen los valores de las diagonales como 3,6 y 8 como celdas pivote.

Fila pivote 2 elemento a21

Debemos hacer cero los valores de 2 y 4 en la columna 1, para esto:

eliminamos el 2, multiplicando por 3 la fila R1 y por -2 la fila R2, o sea intercambiamos los coeficientes.

Debemos hacer 0 el valor de 4 para lo cual multiplicamos 3 por la fila R3, y -4 por la fila R2 intercambiando los coeficientes.

Fila pivote 3 elemento a32

Eliminamos el -5 multiplicando por .2

Fila pivote 1

OPCION 2: REDUCCION ESCALONADA CONONICA:

Dada la matriz siguiente:

La reduciremos a su forma escalonada reducida canónica:

Y las celdas pivote a elegir serán

Primero reducimos el 2 a 1 y el 7 a cero.

Y nos queda

Luego buscamos hacer -15/2 a 1 y 3/2 a cero.

Y nos queda esta matriz que escalonada reducida canónica. 2 5 7 8 3 5 7 3 4 6 7 2 1 0 0 -3/5 0 1 4/3 31/15 R1 -> 0 0 96 -6 -6 R2 24 R1 -> -36 0 2880 0 -6 R3 -6 R1 -> 0 -12 -708 0 R1 -> 0 0 96 -6 -6 R2 24 R1 -> -36 0 2880 0 -6 R3 -6 R1 -> 0 -12 -708 0 2 3 4 5 7 3 4 2 Accion 1 Accion 2 2 3 4 5 1/2 R1 -> R1 7 3 4 2 R2 -> R2 -7 R1 1 3/2 2 5/2 7-7(1) 3-7(3/2) 4-7(2) 2-7(5/2) 1 3/2 2 5/2 0 -15/2 -10 -31/2 Accion 1 Accion 2 1 3/2 2 5/2 R1 -> R1 -3/2 R2 0 -15/2 -10 -31/2 -2/15 R2 -> R2 1 -3/2(0) 3/2 -3/2(1) 2 -3/2(4/3) 5/2 -3/2(31/15) 0 1 4/3 31/15

(31)

31 EJEMPLO 2: REDUCCION DE MATRICEZ Plan de reducción EJEMPLO 3 Plan de reducción Respuesta

Esto significa que las tres filas de la matriz original eran diferentes entre si. EJEMPLO 4

Dada la matriz

Tenemos el plan

EJEMPLO

Y nos queda

Esto significa que la matriz solo tenia dos filas diferentes, la tercera fila era una combinación de las dos primeras.

EJEMPLO 5 Dada la matriz Plan de acción Fila pivote 1 2 2 -6 3 6 4 -8 2 4 6 -10 14 6 5 6 1 0 0 - -0 1 0 - -0 0 1 - -Accion 1 Acccion 2 2 2 -6 3 6 0.5 R1 -> R1 -> 4 -8 2 4 6 R2 -> R2 -4 R1 -> -10 14 6 5 6 R3 -> R3 +10 R1 -> Accion 1 Acccion 2 1 1 -3 1.5 3 R1 -> R1 -1 R2 -> 0 -12 14 -2 -6 -0.083 R2 -> R2 -> 0 24 -24 20 36 R3 -> R3 -24 R2 -> Accion 1 Acccion 2 1 0 -2 1.3 2.5 R1 -> R1 +2 R3 -> 0 1 -1 0.2 0.5 R2 -> R2 +1 R3 -> 0 0 4 16 24 0.25 R3 -> R3 -> 1 0 0 8.7 14 0 1 0 4.8 7.5 0 0 1 4 6 5 3 -6 4 -8 2 -10 14 6 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Accion 1 Acccion 2 5 3 -6 0.2 R1 -> R1 -> 4 -8 2 R2 -> R2 -4 R1 -> -10 14 6 R3 -> R3 +10 R1 -> Accion 1 Acccion 2 1 0.6 -1 R1 -> R1 -1 R2 -> 0 -10 6.8 -0.096 R2 -> R2 -> 0 20 -6 R3 -> R3 -20 R2 -> Accion 1 Acccion 2 1 0 -1 R1 -> R1 +1 R3 -> 0 1 -1 R2 -> R2 +1 R3 -> 0 0 7.1 0.1413 R3 -> R3 -> 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 3 5 7 3 -7 -8 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Accion 1 1 2 3 5 7 3 -7 -8 3 Accion 1 Acccion 2 1 2 3 1 R1 -> R1 -> 5 7 3 R2 -> R2 -5 R1 -> -7 -8 3 R3 -> R3 +7 R1 -> Accion 1 Acccion 2 1 2 3 R1 -> R1 -2 R2 -> 0 -3 -12 -0 R2 -> R2 -> 0 6 24 R3 -> R3 -6 R2 -> 1 0 -5 0 1 4 0 0 0 2 5 4 10 -6 -15 1 0 0 1 0 0

(32)

Esto significa que solo una fila de la matriz original es diferente a las demás, y las demás son combinaciones de esta.

Accion 1 Acccion 2 2 5 0.5 R1 -> R1 -> 4 10 R2 -> R2 -4 R1 -> -6 -15 R3 -> R3 +6 R1 -> 1 2.5 0 0 0 0

(33)

33

TAREA 5: P2: NOMBRE ____________________________ CUENTA _______________ REDUCCION DE MATRICES.

(34)

e)

3 5 8 10 7

4 7 9 12 3

(35)

35 SOLUCION DE ECUACIONES POR

SUMAS Y RESTAS.

Con el fin de explicar la solución de ecuaciones por matrices antes lo haremos por sumas y restas:

El plan de solución es lograr esto

A partir de aquí podremos identificar la solución

Primero: que haremos será convertir 3 en 1 multiplicando por 1/3

Nota: ejemplos de los inversos multiplicativos

Segundo: Dejamos la fila primera sin hacer nada y la segunda, la copiamos y le restamos el resultado de -5 por la fila 1, aquí se muestra por pasos el proceso

El resultado final es

Tercero: ahora buscamos volver 1 el valor de 7/3 multiplicando por 3/7.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES POR REDUCCIÓN DE MATRICES

Sea el sistema de ecuaciones

Este sistema se puede expresar como matrices

Donde

A X B

Creamos la matriz extendida

A B

Lo que vamos a hacer es aplicar

operaciones fila renglón para lograr que nos quede la matriz.

O sea este es el objetivo

Que planteado como matriz nos queda

Y de esta dos matrices obtenemos la solución: 3 X +4 Y = 11 5 X +9 Y = 13 1 X +0 Y = ? 0 X +1 Y = ? 1 X = ? +1 Y = ? 1/3 R1 -> 1 X +4/3 Y = 11/3 R2 -> 5 X 9 Y = 13 3 * 1 = 1 1 3 4 * 7 = 1 7 4 -5 * -3 = 1 3 5 R1 -> 1 X +4/3 Y = 11/3 R2 5 X 9 Y = 13 -5 R1 -5(1) x -5( +4/3) Y = -5( 11/3) -> ? x ? y = ? Operamos R2 5 X 9 Y = 13 -5 R1 -5 x -20/3 Y = -55/3 Sumamos -> 0 X +7/3 Y = -16/3 Nota: R2-5R1 expresa dos operaciones, una de multiplicar la constante -5 por R1 y otra la de sumar dos renglones que son R2 y -5R1

R1 -> 1 X +4/3 Y = 11/3 R2 -5 R1 -> 0 X +7/3 Y = -16/3 R1 -> 1 X +4/3 Y = 11/3 3/7 R2 -> 3/7(0) X 3/7( +7/3) Y = 3/7( -16/3) 5 x + 6 y = 28 3 x + 2 y = 12 5 6 x = 28 3 2 y 12 A= 5 6 3 2 X= x y B= 28 12 5 6 28 3 2 12 1 0 2 0 1 3 1 0 x = 2 0 1 y 3

(36)

X= 2, Y =3

Planificamos Resultados:

Paso 1: Convertir en uno el elemento a11

Paso 2: Convertir en cero los demás elementos de la columna 1

Paso 3: convertir en 1 el elemento a22

Paso 4: Convertir en 0 los demás elementos de la columna 2

El resultado es: X= 2, y=3

Ejemplo con Solución de dos pasos en uno

En el proceso de dos pasos lo que se hará es hacer dos pasos en uno, lo cual se hará en dos momentos o dos acciones, la primera acción lo que busca es volver 1 la

fila pivote, y la sección acción es volver 0 todos los demás valores de la columna donde esta el uno. En el primer paso se vuelve 1 el primer elemento de la fila y luego 0 los demás elementos de la primera columna.

Nota: Si nos fijamos tanto en la acción 1, como en la acción 2 de la fila 1 se copian R1 y R2. SI en la acción 1, modificamos R1, no lo hacemos en la acción 2.

Ejemplo 2: resolver el sistema de ecuaciones

Planteamos como matriz

Planificamos Resultados: Paso 1 Paso 2 1 1 0 Paso 3 Paso 4 1 1 0 0 1 0 1 1/5 R1 (1/5)(5) (1/5)(6) (1/5)(28) 1 R2 3 2 12 1 6/5 28/5 3 2 12 1 R1 0 0 0 1 R2 -3 R1 3+(-3)(1) 2+(-3)(6/5) 12+(-3)(28/5) 1 6/5 28/5 0 -8/5 -24/5 1 R1 0 1 0 -5/8 R2 (-5/8)(0) (-5/8)(-8/5) (-5/8)(-24/5) 1 6/5 28/5 0 1 3 1 R1 -6/5 R2 1+(-6/5)(0) 6/5+(-6/5)(1) 28/5+(-6/5)(3) 1 R2 0 0 0 1 0 2 0 1 3

Paso 1: Pivote fila 1

accion 1 accion 2

5 28 28 1/5 R1 1 R1 1 6/5 28/5 3 2 12 1 R2 1 R2 -3 R1 0 -8/5 -24/5

Paso 2: Pivote fila 2

accion 1 accion 2 1 6/5 28/5 1 R1 1 R1 -6/5 R2 1 0 2 0 -8/5 -24/5 -5/8 R2 1 R2 0 1 3 matriz original +1 X +2 Y -3 Z = -5 -4 X +4 Y -3 Z = +8 +6 X -5 Y -1 Z = +4 Como Matriz +1 +2 -3 X -4 +4 -3 Y = +6 -5 -1 Z -5 +8 +4 Paso 1 Paso 2 1 1 0 0 Paso 3 Paso 4 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 Paso 5 Paso 6 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1

(37)

37 Proceso

FILA PIVOTE: PRIMERA

+1 +2 -3 R1 -> R1 -> -4 +4 -3 R2 -> R2 +4 R1 -> +6 -5 -1 R3 -> R3 -6 R1 -> 1 2 -3 -5 -4 + (+4)(1) 4 + (+4)(2) -3 + (+4)(-3) 8 + (+4)(-5) 6 + (-6)(1) -5 + (-6)(2) -1 + (-6)(-3) 4 + (-6)(-5) -5 +8 +4 1

FILA PIVOTE: SEGUNDA

1 2 -3 -5 R1 -> R1 R2 -> 0 12 -15 -12 1/12R2 -> R2 -> 0 -17 17 34 R3 -> R3 R2 -> 1 + (-2)(0) 2 + (-2)(1) -3 + (-2)(-5/4) -5 + (-2)(-1) 0 1 -5/4 -1 0 + (+17)(0) -17 + (+17)(1) 17 + (+17)(-5/4) 34 + (+17)(-1) -2 +17

FILA PIVOTE: TERCERA

1 0 -1/2 -3 R1 -> R1 R3 -> 0 1 -5/4 -1 R2 -> R2 R3 -> 0 0 -17/4 17 R3 -> R3 -> 1 + (+1/2)(0) 0 + (+1/2)() -1/2 + (+1/2)(0) -3 + (+1/2)() 0 + (+5/4)(0) 1 + (+5/4)() -5/4 + (+5/4)(0) -1 + (+5/4)() 0 0 1 -4 +1/2 +5/4 -4/17 RESPUESTA FINAL X B 1 0 0 -5 X -5 0 1 0 -6 Y = -6 0 0 1 -4 Z -4 VERIFICACION matriz original +1 (-5) +2 (-6) -3 (-4) = -5 -5 = -5 -4 (-5) +4 (-6) -3 (-4) = +8 8 = +8 +6 (-5) -5 (-6) -1 (-4) = +4 4 = +4

(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
(43)

43 INVERSA DE UNA MATRIZ

Dada una matriz cuadrada A, si existe otra matriz cuadrada B del mismo orden, dimensión o tamaño que verifique:

A * B = B * A = I

( I = matriz identidad ), se dice que B es la matriz inversa de A y se representa por 1

A .

Si existe la matriz inversa de A, se dice que la matriz A es invertible o regular.

En caso contrario, se dice que la matriz A es singular (o sea no tiene inversa).

¿Cómo se puede calcular la inversa de

una matriz? Básicamente hay dos

opciones:

OPCIÓN 1: Aplicando la

definición (Nota: Solo Sirve Para Matrices De 2x2 y no se debe usar en tareas o examen solo para verificación)

Igualamos a la matriz identidad y resolvemos:

X =d/(ad-bc) y =-b/(ad-bc) Z =-c/(ad-bc) w =a/(ad-bc)

Simplificando la respuestas nos queda esto:

Determinante de A ( |A| ):

Al cálculo a*d-c*b se le llama discriminante, y se calcula multiplicando los elementos de la diagonal principal (amarillo) menos los de la diagonal secundaria (verde)

|A| = a*d-c*b

Método de memorización: se calcula el determinante y luego la diagonal principal (amarilla) se intercambian los valores y en la diagonal secundaria (verde) se cambian de signo.

Ejemplo:

Calculamos el determinante

Para resolver intercambiamos los elementos de la diagonal principal (amarillo) y cambiamos de signo la diagonal secundaria (verde)

a b X Y = 1 0 c d W Z 0 1 A X B x y z w a b a(x) + b(z) a(y) + b(w) A= c d c(x) + d(z) c(y) + d(w) B= a(x) + b(z) = 1 c(x) + d(z) = 0 a(y) + b(w) = 0 c(y) + d(w) = 1 -1 a b = 1 d -b c d ad - bc -c a -1 a b = 1 d -b c d ad - bc -c a A= 2 4 3 5 |A| = 2 * 5 - 4 * 3 |A| = 10 - 12 |A| = -2

(44)

Y planteamos la formula

El resultado final es

Para verificar hacemos la multiplicación

El resultado es la matriz identidad

OPCIÓN 2 Reducción por el método de Gauss-Jordan: Por el método de Gauss. Para este método debemos aprender cómo reducir una matriz por el método de

operaciones fila (renglón)

Sabemos las reglas que:  A A 1I

A I  A

Si tenemos la matriz extendida

A I

Y la multiplicamos por la inversa

1 A  A I Nos queda

1 1

AA AI

Y utilizando las reglas nos queda

1

I A

Eso significa que si podemos operar la matriz extendida

A I

Y utilizamos operaciones fila renglón para lograr que el lado izquierdo nos quede matriz identidad (I), entonces el otro lado será la matriz inversa ( 1

A ).

1

I A

EJEMPLO DE MATRIZ INVERSA POR EL METODO DE GAUSS-JORDAN

Dado:

Paso 1: crear la matriz extendida (A|I)

Paso 2: Elaborar Planificación Planificamos Resultados para lograr

1

I A :

Paso 3: Reducir la matriz a su forma escalona reducida. -1 1 5 -4 A = -2 -3 2 -1 = -5/2 2 A 3/2 -1 -1 -5/2 2 A* A 3/2 -1 2 4 2(-5/2)+4(3/2) 2(2)+4(-1) 3 5 3(-5/2)+5(3/2) 3(2)+5(-1) 1 0 0 1 A= 5 6 3 2 5 6 1 0 3 2 0 1 Paso 1 Paso 2 1 1 0 Paso 3 Paso 4 1 1 0 0 1 0 1 5 6 1 0 1/5 R1 1 6/5 1/5 0 3 2 0 1 1 R2 3 2 0 1 1 6/5 1/5 0 1 R1 1 6/5 1/5 0 3 2 0 1 1 R2 -3 R1 0 -8/5 -3/5 1 1 6/5 1/5 0 1 R1 1 6/5 1/5 0 0 -8/5 -3/5 1 -5/8 R2 0 1 3/8 -5/8

(45)

45 Verificamos Y nos queda Ejemplo 2: Paso 1: Paso 2: Reducir: Fila pivote 1 Fila pivote 2 Fila pivote 3 La inversa será

CASOS ESPECIALES MATRIZ INVERSA CASO 1: cuando en la diagonal de la matriz inversa hay valores de 0: Dado esta matriz

Agregamos la matriz identidad

Vemos que no se puede resolver porque en la diagonal hay un cero, por lo que intercambiamos filas

Y resolvemos normalmente.

CASO 2: si al calcular una matriz inversa

Y al resolverla nos queda asi:

1 6/5 1/5 0 1 R1 -6/5 R2 1 0 -1/4 3/4 0 1 3/8 -5/8 1 R2 0 1 3/8 -5/8 -1 -1/4 3/4 A* A 3/8 -5/8 5 6 5(-1/4)+6(3/8) 5(3/4)+6(-5/8) 3 2 3(-1/4)+2(3/8) 3(3/4)+2(-5/8) 1 0 0 1 3 2 2 A= 2 3 4 1 5 2 3 2 2 1 0 0 2 3 4 0 1 0 1 5 2 0 0 1 1/3 R1 1 2/3 2/3 1/3 0 0 1 R2 2 3 4 0 1 0 1 R3 1 5 2 0 0 1 1 R1 1 2/3 2/3 1/3 0 0 1 R2 -2 R1 0 5/3 8/3 -2/3 1 0 1 R3 -1 R1 0 13/3 4/3 -1/3 0 1 1 R1 1 2/3 2/3 1/3 0 0 3/5 R2 0 1 8/5 -2/5 3/5 0 1 R3 0 13/3 4/3 -1/3 0 1 1 R1 -2/3 R2 1 0 -2/5 3/5 -2/5 0 1 R2 0 1 8/5 -2/5 3/5 0 1 R3 -13/3 R2 0 0 -28/5 7/5 -13/5 1 1 R1 1 0 -2/5 3/5 -2/5 0 1 R2 0 1 8/5 -2/5 3/5 0 -5/28 R3 0 0 1 -1/4 13/28 -5/28 1 R1 2/5 R3 1 0 0 1/2 -3/14 -1/14 1 R2 -8/5 R3 0 1 0 0 -1/7 2/7 1 R3 0 0 1 -1/4 13/28 -5/28 1/2 -3/14 -1/14 0 -1/7 2/7 -1/4 13/28 -5/28 1 4 2 2 0 3 3 5 4 1 4 2 1 0 0 2 0 3 0 1 0 3 5 4 0 0 1 R1 -> 1 4 2 1 0 0 R3 -> 3 5 4 0 0 1 R2 -> 2 0 3 0 1 0 2 2 -6 1 0 0 4 -8 2 0 1 0 -10 14 2 0 0 1

(46)

nos queda así:

Con la última fila de la matriz identidad con ceros significa que no tiene inversa

COMO RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES POR MATRIZ INVERSA Sabemos que un sistema de ecuaciones mediante matrices se expresa asi:

1

A XB

Si decidimos multiplicar por el lado izquierdo por la matriz inversa de A nos quedaría

1 1

A  A XA  B El resultado esto seria

Puesto que A inversa por A es igual a la Matriz Identidad (I)

1

I X AB

 

Toda matriz multiplicada por Identidad (I) nos dara la misma matriz, y nos queda

1 XA  B

NOTA: esta formula nos dice que podemos descubrir el valor de las variables si

multiplicamos la matriz inversa por B

Sea el sistema de ecuaciones

Este sistema se puede expresar como matrices

Donde

1

A XB

Calculamos por el método corto de formula

Para determinar la solución debemos operar

1 XA  B

Que nos da la siguiente solución

Que es la misma solución que el con el sistema de ecuaciones por reducción. 1 0 -2 0.3 0.1 0 0 1 -1 0.2 -0 0 0 0 0 1 2 1 5 x + 6 y = 28 3 x + 2 y = 12 5 6 x = 28 3 2 y 12 A= 5 6 3 2 X= x y B= 28 12 A= 5 6 3 2 -1 a b = 1 d -b c d ad - bc -c a |A| = 5 * 2 - 6 * 3 |A| = 10 - 18 |A| = -8 -1 1 2 -6 A = -8 -3 5 -1 = -1/4 3/4 A 3/8 -5/8 28 12 -1/4 3/4 -1/4(28)+3/4(12) 3/8 -5/8 3/8(28)+-5/8(12) X = 2 3

(47)

47

(48)
(49)
(50)
(51)

51

Si Ordeno el sistema antes de la inversa No ordeno el sistema

Aordenada *X = Bordenada A*X=B

(52)

SOLUCION DE MATRICES MEDIANTE LA INVERSA

Sistema representado como matrices * XAB

Para resolver un sistema de ecuaciones por matriz inversa primero calculamos la matriz inversa

Con la matriz inversa aplicamos la formula 1

*

XAB Y hacemos las operaciones obtenemos la solucion x=-4 ,y=7 ,z=3

Sistema de ecuaciones

+6 X +4 Y +2 Z =

-3 X -5 Y +6 Z =

-5 X +3 Y -7 Z =

+10

-5

+20

Presentado como matriz

6 4 2

X

-3 -5 6

Y

=

-5 3 -7

Z

+10

-5

+20

FILA PIVOTE: PRIMERA

+6 +4 +2 1 0 0 1/6 R1 -> R1 -> -3 -5 +6 0 1 0 R2 -> R2 R1 -> -5 +3 -7 0 0 1 R3 -> R3 R1 -> 1 2/3 1/3 1/6 0 0 -3 + (3)(1) -5 + (3)(2/3) 6 + (3)(1/3) 0 + (3)(1/6) 1 + (3)(0) 0 + (3)(0) -5 + (5)(1) 3 + (5)(2/3) -7 + (5)(1/3) 0 + (5)(1/6) 0 + (5)(0) 1 + (5)(0) 3 5

FILA PIVOTE: SEGUNDA

1 2/3 1/3 1/6 0 0 R1 -> R1 R2 -> 0 -3 7 1/2 1 0 R2 -> R2 -> 0 19/3 -16/3 5/6 0 1 R3 -> R3 R2 -> 1 + (-2/3)(0) 2/3 + (-2/3)(1) 1/3 + (-2/3)(-7/3) 1/6 + (-2/3)(-1/6) 0 + (-2/3)(-1/3) 0 + (-2/3)(0) 0 1 -7/3 -1/6 -1/3 0 0 + (-19/3)(0) 19/3 + (-19/3)(1) -16/3 + (-19/3)(-7/3) 5/6 + (-19/3)(-1/6) 0 + (-19/3)(-1/3) 1 + (-19/3)(0) -1/3 -2/3 -19/3

FILA PIVOTE: TERCERA

1 0 17/9 5/18 2/9 0 R1 -> R1 R3 -> 0 1 -7/3 -1/6 -1/3 0 R2 -> R2 R3 -> 0 0 85/9 17/9 19/9 1 R3 -> R3 -> 1 + (-17/9)(0) 0 + (-17/9)(0) 17/9 + (-17/9)(1) 5/18 + (-17/9)(1/5) 2/9 + (-17/9)(19/85) 0 + (-17/9)(9/85) 0 + (+7/3)(0) 1 + (+7/3)(0) -7/3 + (+7/3)(1) -1/6 + (+7/3)(1/5) -1/3 + (+7/3)(19/85) 0 + (+7/3)(9/85) 0 0 1 1/5 19/85 9/85 +7/3 9/85 -17/9

RESPUESTA FINAL inversa

1 0 0 -1/10 -1/5 -1/5 -1/10 -1/5 -1/5 suma de todos los valores

0 1 0 3/10 16/85 21/85 3/10 16/85 21/85 de la inversa 0 0 1 1/5 19/85 9/85 1/5 19/85 9/85 13/17 -1 X = A * B X -1/10 -1/5 -1/5 (-1/10)(10)+(-1/5)(-5)+(-1/5)(20) Y = 3/10 16/85 21/85 x = (3/10)(10)+(16/85)(-5)+(21/85)(20) = Z 1/5 19/85 9/85 (1/5)(10)+(19/85)(-5)+(9/85)(20) +10 -5 +20 -4 7 3

(53)
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(59)

Figure

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Referencias